Bài 2 Đường kính và dây của đường tròn – Sách bài tập Toán 9 tập 1

Bài 2 Đường kính và dây của đường tròn – Sách bài tập Toán 9 tập 1

Câu 15 trang 158 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho tam giác ABC, các đường cao BH và CK. Chứng minh rằng:

a)      Bốn điểm B, C, H, K cùng thuộc một đường tròn;

b)      HK < BC.

Giải:

Bài 2 Đường kính và dây của đường tròn - Sách bài tập Toán 9 tập 1

a) Gọi M là trung điểm của BC

Tam giác BCH vuông tại H có HM  là đường

trung tuyến nên:

(HM = {1 over 2}BC) (tính chất tam giác vuông)

Tam giác BCK vuông tại K có KM là đường

trung tuyến nên:

(KM = {1 over 2}BC) (tính chất tam giác vuông)

Suy ra: MB = MC = MH = MK.

Vậy bốn điểm B, C, H, K  cùng nằm trên một đường tròn tâm M bán kính bằng ({1 over 2}BC).

b) Trong đường tròn tâm M ta có KH là dây cung không đi qua tâm, BC là đường kính nên: KH < BC.

 


Câu 16 trang 159 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Tứ giác ABCD có (widehat B = widehat D = 90^circ ).

a)      Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

b)      So sánh độ dài AC và BD. Nếu AC = BD thì tứ giác ABCD là hình gì?

Giải:

Bài 2 Đường kính và dây của đường tròn - Sách bài tập Toán 9 tập 1

a) Gọi M là trung điểm  của AC.

Tam giác ABC vuông tại B có BM là đường trung tuyến nên:

(BM = {1 over 2}AC) (tính chất tam giác vuông)

Tam giác ACD vuông tại D có DM là đường trung tuyến nên:

(DM = {1 over 2}AC) (tính chất tam giác vuông)

Suy ra: MA = MB = MC = MD.

Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn tâm M bán kính bằng ({1 over 2}AC).

b) BD là dây của đường tròn (I), còn AC là đường kính nên AC ≥ BD

AC = BD khi và chỉ khi BD cũng là đường kính, khi đó ABCD là hình chữ nhật

 


Câu 17 trang 159 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB và dây EF không cắt đường kính. Gọi I và K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến EF. Chứng minh rằng IE = KF.

Giải:

Bài 2 Đường kính và dây của đường tròn - Sách bài tập Toán 9 tập 1

Ta có: AI ⊥ EF (gt)

BK ⊥ EF (gt)

Suy ra: AI // BK

Suy ra tứ giác ABKI là hình thang

Kẻ OH ⊥ EF

Suy ra: OH // AI // BK

Ta có: OA = OB (= R)

Suy ra: HI = HK

Hay:          HE + EI = HF+FK                                       (1)

Lại có: HE = HF (đường kính dây cung)                       (2)

Từ (1) và (2) suy ra: IE = KF.

 


Câu 18 trang 159 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho đường tròn (O) có bán kính OA = 3cm. Dây BC của đường tròn vuông góc với OA tại trung điểm của OA. Tính độ dài BC.

Giải:

Bài 2 Đường kính và dây của đường tròn - Sách bài tập Toán 9 tập 1

Gọi I là trung điểm của AB

Suy ra: (IO = IA = {1 over 2}OA = {3 over 2})

Ta có: BC ⊥OA (gt)

Suy ra:   (widehat {OIB} = 90^circ )

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông OIB ta có: (O{B^2} = B{I^2} + I{O^2})

suy ra: (B{I^2} = O{B^2} – I{O^2})

(={3^2} – {left( {{3 over 2}} right)^2} = 9 – {9 over 4} = {{27} over 4})

(BI ={{3sqrt 3 } over 2}) (cm)

Ta có: BI = CI (đường kính dây cung)

Suy ra: (BC = 2BI=2.{{3sqrt 3 } over 2} = 3sqrt 3 ) (cm)


Câu 19 trang 159 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho đường tròn (O), đường kính AD = 2R. Vẽ cung tâm D bán kính R, cung này cắt đường tròn (O) ở B và C.

a)      Tứ giác OBDC là hình gì? Vì sao?

b)      Tính số đo các góc CBD, CBO, OBA.

c)      Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều.

Giải:

Bài 2 Đường kính và dây của đường tròn - Sách bài tập Toán 9 tập 1

a) Ta có:

OB = OC = R (vì B, C nằm trên (O ; R))

DB = DC = R ( vì B, C nằm trên (D ; R))

Suy ra : OB = OC = DB = DC.

Vậy tứ giác OBDC là hình thoi.

b) Ta có: OB = OD = BD = R

∆OBD đều ( Rightarrow widehat {OBD} = 60^circ )

Vì OBDC là hình thoi nên:

(widehat {CBD} = widehat {OBC} = {1 over 2}widehat {OBD} = 30^circ )

Tam giác ABD nội tiếp trong (O) có AD là đường kính nên:

(widehat {ABD} = 90^circ )

Mà            (widehat {OBD} + widehat {OBA} = 90^circ )

Nên           (widehat {OBA} = widehat {ABD} – widehat {OBD} = 90^circ  – 60^circ  = 30^circ )

c) Tứ giác OBDC là hình thoi nên OD ⊥ BC hay AD ⊥ BC

Ta có:      AB = AC ( tính chất đường trung trực)

Suy ra tam giác ABC cân tại A   (1)

Mà  (widehat {ABC} = widehat {OBC} – widehat {OBA} = 30^circ  + 30^circ  = 60^circ ).  (2)

Từ (1) và (2) suy ra tam giác ABC đều.

 


Câu 20 trang 159 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1

a)   Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, dây CD. Các đường vuông góc với CD tại C và D tương ứng cắt AB ở M và N. Chứng minh rằng AM = BN.

b)      Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên AB lấy các điểm M, N sao cho

AM = BN. Qua M và qua N, kẻ các đường thẳng song song với nhau, chúng cắt nửa đường tròn lần lượt ở C và D. Chứng minh rằng MC và ND vuông góc với CD.

Giải:

Bài 2 Đường kính và dây của đường tròn - Sách bài tập Toán 9 tập 1

a) Ta có: CM ⊥CD

DN⊥CD

Suy ra:      CM // DN

Kẻ OI ⊥CD

Suy ra: OI // CM // DN

Ta có: IC = ID (đường kính dây cung)

Suy ra: OM = ON                                              (1)

Mà:         AM + OM = ON + BM( = R)                (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AM = BN.

Bài 2 Đường kính và dây của đường tròn - Sách bài tập Toán 9 tập 1

b) Ta có: MC // ND (gt)

Suy ra tứ giác MCDN là hình thang

Lại có:   OM + AM = ON + BN (= R)

Mà          AM = BN (gt)

Suy ra: OM = ON

Kẻ OI ⊥ CD                                                         (3)

Suy ra: IC = ID (đường kính dây cung)

Khi đó OI là đường trung bình của hình thang ACDN

Suy ra: OI // MC // ND                                          (4)

Từ (3) và (4) suy ra: MC ⊥ CD, ND ⊥ CD.


Câu 21* trang 159 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Dây CD cắt đường kính AB tại I. Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD. Chứng minh rằng CH = DK.

Giải:

Bài 2 Đường kính và dây của đường tròn - Sách bài tập Toán 9 tập 1

Kẻ OM  ⊥ CD cắt AD tại N.

Ta có: MC = MD ( đường kính dây cung)

Hay MH + CH = MK + KD     (1)

Ta có: OM // BK (cùng vuông góc với CD)

Hay:     MN // BK

Mà:         OA = OB (= R)

Suy ra: NA = NK (tính chất đường trung bình của tam giác)

Lại có: OM // AH ( cùng vuông góc với CD)

Hay:     MN // AH

Mà:       NA = NK (chứng minh trên)

Suy ra:  MH = MK ( tính chất đường trung bình của tam giác)                   (2)

Từ (1) và (2) suy ra: CH = DK.

 


Câu 22 trang 159 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho đường tròn (O; R) và điểm M nằm bên trong đường tròn.

a)      Hãy nêu cách dựng dây AB nhận M làm trung điểm.

b)      Tính độ dài AB ở câu a) biết rằng R = 5cm; Om = 1,4cm.

Giải:

Bài 2 Đường kính và dây của đường tròn - Sách bài tập Toán 9 tập 1

a) * Cách dựng

−        Dựng đoạn OM.

−        Qua M dựng đường thẳng vuông góc với OM cắt O tại A và B.

Nối A và B ta được dây cần dựng.

*        Chứng minh

Ta có: OM ⊥  AB ⟹MA = MB.

b) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông OMB, ta có:

(O{B^2} = O{M^2} + M{B^2})

Suy ra: (M{B^2} = O{B^2} – O{M^2} = {5^2} – 1,{4^2} = 25 – 1,96 = 23,04)

MB = 4,8 (cm)

Vậy AB = 2.MB = 2.4,8 = 9,6 (cm).


Câu 23 trang 159 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên trong đường tròn, điểm B nằm ngoài đường tròn sao cho trung điểm I của AB nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây CD vuông góc với OI tại I. hãy cho biết ACBD là hình gì? Vì sao?

Giải:

Bài 2 Đường kính và dây của đường tròn - Sách bài tập Toán 9 tập 1

Ta có: OI ⊥ CD (gt)

Suy ra: IC = ID (đường kính dây cung)

Mà: IA = IB (gt)

Tứ giác ACBD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành.

 


Câu 2.1 trang 159 Sách bài tập (SBT) Toán lớp 9 Tập 1

Độ dài cạnh của tam giác đều nội tiếp đường tròn (O; R) bằng:

(A) ({R over 2}) ;                      (B) ({{Rsqrt 3 } over 2}) ;

(B)   (C) (Rsqrt 3 ) ;         (D) Một đáp số khác.

Hãy chọn phương án đúng.

Giải:

Chọn (C).

 


Câu 2.2 trang 160 Sách bài tập (SBT) Toán lớp 9 Tập 1

Cho đường tròn (O; 2cm). Vẽ hai dây AB và CD vuông góc với nhau. Tính diện tích lớn nhất của tứ giác ABCD.

Giải:

Bài 2 Đường kính và dây của đường tròn - Sách bài tập Toán 9 tập 1

Ta có (AB le 4cm),

(CD le 4cm.)  Do AB ^ CD nên

({S_{ABCD}} = {1 over 2}AB.CD le {1 over 2}.4.4 = 8) (cm2).

Giá trị lớn nhất của ({S_{ABC{rm{D}}}}) bằng 8 cm2 khi AB và CD đều là đường kính của đường tròn.

 


Câu 2.3 trang 160 Sách bài tập (SBT) Toán lớp 9 Tập 1

Cho đường tròn (O; R), dây AB khác đường kính. Vẽ về hai phía của AB các dây AC, AD.  Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ B và AC và AD. Chứng minh rằng:

a)      Bốn điểm A, H, B, K  thuộc cùng một đường tròn;

b)      HK < 2R.

Giải:

Bài 2 Đường kính và dây của đường tròn - Sách bài tập Toán 9 tập 1

a) Bốn điểm A, H, B, K cùng thuộc đường tròn đường kính AB.

b) Ta có (HK le AB le 2R).

The post Bài 2 Đường kính và dây của đường tròn – Sách bài tập Toán 9 tập 1 appeared first on Sách Toán – Học toán.

Goc hoc tap