Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế – Sách bài tập Toán 9 tập 2

Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế – Sách bài tập Toán 9 tập 2

Bài 16 trang 9 SBT Toán 9 tập 2

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

(a)left{ {matrix{
{4x + 5y = 3} cr
{x – 3y = 5} cr} } right.)

(b)left{ {matrix{
{7x – 2y = 1} cr
{3x + y = 6} cr} } right.)

(c)left{ {matrix{
{1,3x + 4,2y = 12} cr
{0,5x + 2,5y = 5,5} cr} } right.)

(d)left{ {matrix{
{sqrt 5 x – y = sqrt 5 left( {sqrt 3 – 1} right)} cr
{2sqrt 3 x + 3sqrt 5 y = 21} cr} } right.)

Bài giải: a)

(eqalign{
& left{ {matrix{
{4x + 5y = 3} cr
{x – 3y = 5} cr} Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 3y + 5} cr
{4left( {3y + 5} right) + 5y = 3} cr} } right.} right. cr& Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 3y + 5} cr
{17y = – 17} cr} Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 3y + 5} cr
{y = – 1} cr} } right.} right. cr& Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 2} cr
{y = – 1} cr} } right. cr} )

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất: (x; y) = (2; -1)

b) (eqalign{
& left{ {matrix{
{7x – 2y = 1} cr
{3x + y = 6} cr} Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = – 3x + 6} cr
{7x – 2left( { – 3x + 6} right) = 1} cr} } right.} right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = – 3x + 6} cr
{13x = 13} cr} Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 1} cr
{y = – 3x + 6} cr} } right.} right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 1} cr
{y = 3} cr} } right. cr} )

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất: (x; y) = (1; 3)

c) (eqalign{
& left{ {matrix{
{1,3x + 4,2y = 12} cr
{0,5x + 2,5y = 5,5} cr} Leftrightarrow left{ {matrix{
{1,3x + 4,2y = 12} cr
{x + 5y = 11} cr
} } right.} right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 11 – 5y} cr
{1,3left( {11 – 5y} right) + 4,2y = 12} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 11 – 5y} cr
{ – 23y = – 23} cr} Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 11 – 5y} cr
{y = 1} cr} } right.} right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 6} cr
{y = 1} cr} } right. cr} )

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất: (x; y) = (6; 1)

d) (eqalign{
& left{ {matrix{
{sqrt 5 x – y = sqrt 5 left( {sqrt 3 – 1} right)} cr
{2sqrt 3 x + 3sqrt 5 y = 21} cr
} Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = sqrt 5 left( {x + 1 – sqrt 3 } right)} cr
{2sqrt 3 x + 15left( {x + 1 – sqrt 3 } right) = 21} cr} } right.} right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = sqrt 5 left( {x + 1 – sqrt 3 } right)} cr
{left( {2sqrt 3 + 15} right)x = 3left( {2 + 5sqrt 3 } right)} cr} Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = sqrt 5 left( {x + 1 – sqrt 3 } right)} cr
{x = {{6 + 15sqrt 3 } over {2sqrt 3 + 15}}} cr} } right.} right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = sqrt 5 left( {x + 1 – sqrt 3 } right)} cr
{x = {{left( {6 + 15sqrt 3 } right)left( {15 – 2sqrt 3 } right)} over {225 – 12}}} cr
} Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = sqrt 5 left( {x + 1 – sqrt 3 } right)} cr
{x = {{90 – 12sqrt 3 + 225sqrt 3 – 90} over {213}}} cr} } right.} right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = sqrt 5 left( {x + 1 – sqrt 3 } right)} cr
{x = {{213sqrt 3 } over {213}}} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = sqrt 5 left( {x + 1 – sqrt 3 } right)} cr
{x = sqrt 3 } cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = sqrt 5 } cr
{x = sqrt 3 } cr} } right. cr} )

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất: (x; y) = (left( {sqrt 3 ;sqrt 5 } right))


Bài 17 trang 9 SBT Toán 9 tập 2

Giải các hệ phương trình:

(a)left{ {matrix{
{1,7x – 2y = 3,8} cr
{2,1x + 5y = 0,4} cr} } right.)

(b)left{ {matrix{
{left( {sqrt 5 + 2} right)x + y = 3 – sqrt 5 } cr
{ – x + 2y = 6 – 2sqrt 5 } cr} } right.)

Giải a)

(eqalign{
& left{ {matrix{
{1,7x – 2y = 2,8} cr
{2,1x + 5y = 0,4} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{17x – 20y = 28} cr
{21x + 50y = 4} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = {{17x – 28} over {20}}} cr
{21x + 50.{{17x – 28} over {20}} = 4} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = {{17x – 28} over {20}}} cr
{42x + 85x – 140 = 8} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = {{17x – 28} over {20}}} cr
{127x = 148} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = {{17x – 28} over {20}}} cr
{x = {{148} over {127}}} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = – {{52} over {127}}} cr
{x = {{148} over {127}}} cr} } right. cr} )

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất: (x; y) = (left( {{{148} over {127}}; – {{52} over {127}}} right))

b) (eqalign{
& left{ {matrix{
{left( {sqrt 5 x + 2} right)x + y = 3 – sqrt 5 } cr
{ – x + 2y = 6 – 2sqrt 5 } cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = 3 – sqrt 5 – left( {sqrt 5 – 2} right)x} cr
{ – x + 2left[ {3 – sqrt 5 – left( {sqrt 5 – 2} right)x} right] = 6 – 2sqrt 5 } cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = 3 – sqrt 5 – left( {sqrt 5 + 2} right)x} cr
{ – x + 6 – 2sqrt 5 – left( {2sqrt 5 + 4} right)x = 6 – 2sqrt 5 } cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = 3 – sqrt 5 – left( {sqrt 5 + 2} right)x} cr
{ – xleft( {2sqrt 5 + 5} right) = 0} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = 3 – sqrt 5 – left( {sqrt 5 + 2} right)x} cr
{x = 0} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = 3 – sqrt 5 } cr
{x = 0} cr} } right. cr} )

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất:(x; y) = (left( {0;3 – sqrt 5 } right)).


Bài 18 trang 9 SBT Toán 9

Tìm giá trị của a và b:

a) Để hệ phương trình

(left{ {matrix{
{3ax – left( {b + 1} right)y = 93} cr
{bx + 4ay = – 3} cr} } right.)

có nghiệm là (x; y) = (1; -5);

b) Để hệ phương trình

(left{ {matrix{
{left( {a – 2} right)x + 5by = 25} cr
{2ax – left( {b – 2} right)y = 5} cr} } right.)

có nghiệm là (x; y) = (3; -1)

Lời giải: a) Cặp (x; y) = (1; -5) là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Thay x = 1; y = -5 vào hệ phương trình ta có:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{3a + 5b = 88} cr
{b – 20a = – 3} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = 20a – 3} cr
{3a + 5left( {20a – 3} right) = 88} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = 20a – 3} cr
{3a + 100a – 15 = 88} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = 20a – 3} cr
{103a = 103} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = 20a – 3} cr
{a = 1} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = 17} cr
{a = 1} cr} } right. cr} )

Vậy hằng số a = 1 và hằng số b = 17.

b) Cặp (x; y) = (3; -1) là nghiệm của hệ phương trình đã cho:

Thay x = 3; y = -1 vào hệ phương trình ta có:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{3a – 5b = 31} cr
{6a + b = 7} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = 7 – 6a} cr
{3a – 5left( {7 – 6a} right) = 31} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = 7 – 6a} cr
{33a = 66} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = 7 – 6a} cr
{a = 2} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = – 5} cr
{a = 2} cr} } right. cr} )

Vậy hằng số a = 2 và hằng số b = -5.


Bài 19 trang 9 SBT Toán 9 tập 2

Tìm giá trị của a và b để hai đường thằng (d1): (left( {3a – 1} right)x + 2by = 56) và (d2): ({1 over 2}ax – left( {3b + 2} right)y = 3) cắt nhau tại điểm M(2; -5).

Hướng dẫn: Hai đường thẳng (d1): (left( {3a – 1} right)x + 2by = 56) và (d2): ({1 over 2}ax – left( {3b + 2} right)y = 3) cắt nhau tại điểm M(2; -5) nên tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

(left{ {matrix{
{left( {3a – 1} right)x + 2by = 56} cr
{{1 over 2}ax – left( {3b + 2} right)y = 3} cr} } right.)

Thay x = 2 và y = -5 vào hệ phương trình ta có:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{left( {3a – 1} right)2 + 2bleft( { – 5} right) = 56} cr
{{1 over 2}a.2 – left( {3b + 2} right).left( { – 5} right) = 3} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{6a – 10b = 58} cr
{a + 15b = – 7} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{a = – 7 – 15b} cr
{3left( { – 7 – 15b} right) – 5b = 29} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{a = – 7 – 15b} cr
{ – 50b = 50} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{a = – 7 – 15b} cr
{b = – 1} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{a = 8} cr
{b = – 1} cr} } right. cr} )

Vậy hằng số a = 8; b = -1.


Bài 20 trang 9

Tìm a và b:

a) Để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A (-5; 3), (Bleft( {{3 over 2}; – 1} right));

b) Để đường thẳng (ax – 8y = b) đi qua điểm M (9; -6) và đi qua giao điểm của hai đường thẳng (d1): (2x + 5y = 17,) (d2): (4x – 10y = 14)

Giải: a) Để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(-5; 3) và (Bleft( {{3 over 2}; – 1} right)); nên tọa độ của A và B nghiệm đúng phương trình đường thẳng:

Điểm A: 3 = -5a + b

Điểm B: ( – 1 = {3 over 2}a + b Leftrightarrow 3a + 2b =  – 2)

Hai số a và b là nghiệm của hệ phương trình:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{ – 5a + b = 3} cr
{3a + 2b = – 2} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = 3 + 5a} cr
{3a + 2left( {3 + 5a} right) = – 2} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = 3 + 5a} cr
{13a = – 8} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = 3 + 5a} cr
{a = – {8 over {13}}} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = – {1 over {13}}} cr
{a = – {8 over {13}}} cr} } right. cr} )

Vậy hệ số (a =  – {8 over {13}};b =  – {1 over {13}})

Đường thẳng cần tìm (y =  – {8 over {13}}x – {1 over {13}})

b) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d1): (2x + 5y = 17,) (d2): (4x – 10y = 14) là nghiệm của hệ phương trình:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{2x + 5y = 17} cr
{4x – 10y = 14} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{2x + 5y = 17} cr
{2x – 5y = 7} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = {{7 + 5y} over 2}} cr
{2left( {{{7 + 5y} over 2}} right) + 5y = 17} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = {{7 + 5y} over 2}} cr
{10y = 10} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = {{7 + 5y} over 2}} cr
{y = 1} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 6} cr
{y = 1} cr} } right. cr} )

Giao điểm của (d1) và (d2): A(6; 1)

Đường thẳng ax – 8y = b đi qua hai điểm M(9; -6) và A(6; 1) nên tọa độ của A và M nghiệm đúng phương trình đường thẳng.

Điểm M: 9a + 48 = b

Điểm A: 6a – 8 = b

Hai số a và b là nghiệm của hệ phương trình:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{9a + 48 = b} cr
{6a – 8 = b} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = 6a – 8} cr
{9a + 48 = 6a – 8} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = 6a – 8} cr
{3a = – 56} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = 6a – 8} cr
{a = – {{56} over 3}} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = – 120} cr
{a = – {{56} over 3}} cr} } right. cr} )

Vậy hằng số (a =  – {{56} over 3};b =  – 120).


Bài 21 trang 9 Sách bài tập (SBT) Toán 9

Tìm giá trị của m:

a) Để hai đường thẳng (d1): (5x – 2y = 3,) (d2): (x + y = m) cắt nhau tại một điểm trên trục Oy. Vẽ hai đường thẳng này trong cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Để hai đường thẳng (d1): (mx + 3y = 10), (d2): (x – 2y = 4) cắt nhau tại một điểm trên trục Ox. Vẽ hai đường thẳng này trong cùng  một mặt phẳng tọa độ.

Giải: a) Đường thẳng (d1): (5x – 2y = 3,) (d2): (x + y = m) cắt nhau tại một điểm trên trục tung nên giao điểm có hoành độ bằng 0.

Ta có: B(0; y) là nghiệm của hệ phương trình:

(left{ {matrix{
{5.0 – 2y = 3} cr
{0 + y = m} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = – {3 over 2}} cr
{m = – {3 over 2}} cr} } right.)

Vậy (m =  – {3 over 2}) thì (d1) cắt (d2) tại một điểm trên trục tung.

(d2): (x + y =  – {3 over 2})

Vẽ (d2): Cho (x = 0 Rightarrow y =  – {3 over 2}left( {0; – {3 over 2}} right))

Cho (y = 0 Rightarrow x =  – {3 over 2}left( { – {3 over 2};0} right))

Vẽ (d1): (5x – 2y = 3)

Cho (x = 0 Rightarrow y =  – {3 over 2}left( {0; – {3 over 2}} right))

Cho (y = 0 Rightarrow x = {3 over 5}left( {{3 over 5};0} right))

b) Đường thẳng (d1): mx + 3y = 10 và đường thẳng (d2): x – 2y = 4 cắt nhau tại một điểm trên trục hoành nên tung độ giao điểm bằng 0.

Ta có: A(x; 0) là nghiệm của hệ phương trình:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{mx + 3.0 = 10} cr
{x – 2.0 = 4} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{mx = 10} cr
{x = 4} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{m = {5 over 2}} cr
{x = 4} cr} } right. cr} )

Vậy (m = {5 over 2}) thì (d1) cắt (d2) tại 1 điểm trên trục hoành.

(d1): ({5 over 2}x + 3y = 10 Leftrightarrow 5x + 6y = 20)

Vẽ (d1): Cho  (x = 0 Rightarrow y = {{10} over 3}left( {0;{{10} over 3}} right))

Cho (y = 0 Rightarrow x = 4left( {4;0} right))

Vẽ (left( {{d_2}} right):x – 2y = 4)

Cho (x = 0 Rightarrow y =  – 2left( {0; – 2} right))

Cho (y = 0 Rightarrow x = 4left( {4;0} right)).


Bài 22 trang 10

Tìm giao điểm của hai đường thẳng:

a) (left( {{d_1}} right):5x – 2y = c) và (left( {{d_2}} right):x + by = 2,) biết rằng (d1) đi qua điểm A (5; -1) và (d2) đi qua điểm B(-7; 3);

b) (left( {{d_1}} right):ax + 2y =  – 3) và (left( {{d_2}} right):3x – by = 5,) biết rằng (d1) đi qua điểm M(3; 9) và (d2) đi qua điểm N(-1; 2)

Đáp án: a) (d1) (5x – 2y = c) đi qua điểm A(5; -1) nên tọa độ của A nghiệm đúng phương trình đường thẳng:

(5.5 – 2.left( { – 1} right) = c Rightarrow c = 27)

Phương trình đường thẳng (d1): (5x – 2y = 27)

(left( {{d_2}} right):x + by = 2) đi qua điểm B( -7; 3) nên tọa độ của B nghiệm đúng phương trình đường thẳng:

( – 7 + 3b = 2 Leftrightarrow 3b = 9 Leftrightarrow b = 3)

Phương trình đường thẳng (left( {{d_2}} right):x + 3y = 2)

Tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là nghiệm của hệ phương trình:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{5x – 2y = 27} cr
{x + 3y = 2} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 2 – 3y} cr
{5left( {2 – 3y} right) – 2y = 27} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 2 – 3y} cr
{10 – 15y – 2y = 27} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 2 – 3y} cr
{ – 17y = 17} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 2 – 3y} cr
{y = – 1} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 5} cr
{y = – 1} cr} } right. cr} )

Tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là (5; -1)

b) (left( {{d_1}} right):ax + 2y = 3) đi qua điểm M (3; 9) nên tọa độ của M nghiệm đúng phương trình đường thẳng: (a.3 + 2.9 =  – 3 Leftrightarrow 3a =  – 21 Leftrightarrow a =  – 7)

Phương trình đường thẳng (left( {{d_1}} right): – 7x + 2y =  – 3)

(left( {{d_2}} right):3x – by = 5) đi qua điểm N (-1; 2) nên tọa độ của N nghiệm đúng phương trình đường thẳng: (3left( { – 1} right) – b.2 = 5 Leftrightarrow  – 2b = 8 Leftrightarrow b =  – 4)

Phương trình đường thẳng (left( {{d_2}} right):3x + 4y = 5)

Tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là nghiệm của hệ phương trình:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{ – 7x + 2y = – 3} cr
{3x + 4y = 5} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = {{7x – 3} over 2}} cr
{3x + 4.{{7x – 3} over 2} = 5} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = {{7x – 3} over 2}} cr
{17x = 11} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = {{7x – 3} over 2}} cr
{x = {{11} over {17}}} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = {{11} over {17}}} cr
{y = {{13} over {17}}} cr} } right. cr} )

Tọa độ của điểm (d1) và (d2) là (left( {{{11} over {17}};{{13} over {17}}} right)).


Bài 23 trang 10 SBT Toán 9 tập 2

Giải các hệ phương trình:

(a)left{ {matrix{
{left( {x – 3} right)left( {2y + 5} right) = left( {2x + 7} right)left( {y – 1} right)} cr
{left( {4x + 1} right)left( {3y – 6} right) = left( {6x – 1} right)left( {2y + 3} right)} cr} } right.)

(b)left{ {matrix{
{left( {x + y} right)left( {x – 1} right) = left( {x – y} right)left( {x + 1} right) + 2xy} cr
{left( {y – x} right)left( {y + 1} right) = left( {y + x} right)left( {y – 2} right) – 2xy} cr} } right.)

Giải: a) (eqalign{
& left{ {matrix{
{left( {x – 3} right)left( {2y + 5} right) = left( {2x + 7} right)left( {y – 1} right)} cr
{left( {4x + 1} right)left( {3y – 6} right) = left( {6x – 1} right)left( {2y + 3} right)} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{2xy + 5y – 6y – 15 = 2xy – 2x + 7y – 7} cr
{12xy – 24x + 3y – 6 = 12xy + 18x – 2y – 3} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{7x – 13y = 8} cr
{ – 42x + 5y = 3} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = {{42x + 3} over 5}} cr
{7x – 13.{{42x + 3} over 5} = 8} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = {{42x + 3} over 5}} cr
{35x – 546x – 39 = 40} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = {{42x + 3} over 5}} cr
{ – 511x = 79} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = {{42x + 3} over 5}} cr
{x = – {{79} over {511}}} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = – {{51} over {73}}} cr
{x = – {{79} over {511}}} cr} } right. cr} )

Giá trị của x và y thỏa mãn điều kiện.

Vậy hệ phương trình có nghiệm (left( {x;y} right) = left( { – {{79} over {511}}; – {{51} over {73}}} right))

b)

(eqalign{
& left{ {matrix{
{left( {x + y} right)left( {x – 1} right) = left( {x – y} right)left( {x + 1} right) + 2xy} cr
{left( {y – x} right)left( {y + 1} right) = left( {y + x} right)left( {y – 2} right) – 2xy} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{{x^2} – x + xy – y = {x^2} + x – xy – y + 2xy} cr
{{y^2} + y – xy – x = {y^2} – 2y + xy – 2x – 2xy} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{ – x – y = x – y} cr
{y – x = – 2x – 2y} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{2x = 0} cr
{x + 3y = 0} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 0} cr
{3y = 0} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 0} cr
{y = 0} cr} } right. cr} )

Hệ phương trình có nghiệm (left( {x;y} right) = left( {0;0} right)).


Bài 24 trang 10 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ:

a)

(left{ {matrix{
{{1 over x} + {1 over y} = {4 over 5}} cr
{{1 over x} – {1 over y} = {1 over 5}} cr} } right.)

b)

(left{ {matrix{
{{{15} over x} – {7 over y} = 9} cr
{{4 over x} + {9 over y} = 35} cr} } right.)

c)

(left{ {matrix{
{{1 over {x + y}} + {1 over {x – y}} = {5 over 8}} cr
{{1 over {x + y}} – {1 over {x – y}} = – {3 over 8}} cr} } right.)

d)

(left{ {matrix{
{{4 over {2x – 3y}} + {5 over {3x + y}} = – 2} cr
{{3 over {3x + y}} – {5 over {2x – 3y}} = 21} cr} } right.)

e)

(left{ {matrix{
{{7 over {x – y + 2}} – {5 over {x + y – 1}} = 4,5} cr
{{3 over {x – y + 2}} + {2 over {x + y – 1}} = 4} cr} } right.)

Giải

a) Đặt ({1 over x} = a;{1 over y} = b) điều kiện (x ne 0;y ne 0.) Ta có hệ phương trình:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{a + b = {4 over 5}} cr
{a – b = {1 over 5}} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{a = b + {1 over 5}} cr
{b + {1 over 5} + b = {4 over 5}} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{a = b + {1 over 5}} cr
{2b = {3 over 5}} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{a = b + {1 over 5}} cr
{b = {3 over {10}}} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{a = {1 over 2}} cr
{b = {3 over {10}}} cr} } right. cr} )

Suy ra:

(left{ {matrix{
{{1 over x} = {1 over 2}} cr
{{1 over y} = {3 over {10}}} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 2} cr
{y = {{10} over 3}} cr} } right.)

Vậy hệ phương trình có nghiệm (left( {x;y} right) = left( {2;{{10} over 3}} right))

b) Đặt ({1 over x} = a;{1 over y} = b) điều kiện (x ne 0;y ne 0) ta có hệ phương trình:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{15a – 7b = 9} cr
{4a + 9b = 35} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = {{15a – 9} over 7}} cr
{4a + 9.{{15a – 9} over 7} = 35} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = {{15a – 9} over 7}} cr
{28a + 135a – 81 = 245} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = {{15a – 9} over 7}} cr
{163a = 326} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = {{15a – 9} over 7}} cr
{a = 2} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = 3} cr
{a = 2} cr} } right. cr} )

Suy ra:

(left{ {matrix{
{{1 over x} = 2} cr
{{1 over y} = 3} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = {1 over 2}} cr
{y = {1 over 3}} cr} } right.)

Hai giá trị x, y thỏa mãn điều kiện

Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x; y) = (left( {{1 over 2};{1 over 3}} right))

c) Đặt ({1 over {x + y}} = a;{1 over {x – y}} = b.) Điều kiện (x ne  pm y). Ta có hệ phương trình:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{a + b = {5 over 8}} cr
{a – b = – {3 over 8}} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{a = b – {3 over 8}} cr
{b – {3 over 8} + b = {5 over 8}} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{a = b – {3 over 8}} cr
{b = {1 over 2}} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{a = {1 over 8}} cr
{b = {1 over 2}} cr} } right. cr} )

Suy ra:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{{1 over {x + y}} = {1 over 8}} cr
{{1 over {x – y}} = {1 over 2}} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{x + y = 8} cr
{x – y = 2} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = y + 2} cr
{y + 2 + y = 8} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = y + 2} cr
{2y = 6} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = y + 2} cr
{y = 3} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 5} cr
{y = 3} cr} } right. cr} )

Hai giá trị x, y thỏa mãn điều kiện

Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x; y) =  (5; 3).

d) Đặt ({1 over {2x – 3y}} = a;{1 over {3x + y}} = b.) Điều kiện (x ne {3 over 2}y;x ne  – {1 over 3}y.) Ta có hệ phương trình:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{4a + 5b = – 2} cr
{3b – 5a = 21} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = {{5a + 21} over 3}} cr
{4a + 5.{{5a + 21} over 3} = – 2} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = {{5a + 21} over 3}} cr
{12a + 25a + 105 = – 6} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = {{5a + 21} over 3}} cr
{37a = – 111} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = {{5a + 21} over 3}} cr
{a = – 3} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = 2} cr
{a = – 3} cr} } right. cr} )

Suy ra:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{{1 over {2x – 3y}} = – 3} cr
{{1 over {3x + y}} = 2} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{2x – 3y = – {1 over 3}} cr
{3x + y = {1 over 2}} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = {1 over 2} – 3x} cr
{2x – 3left( {{1 over 2} – 3x} right) = {1 over 3}} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = {1 over 2} – 3x} cr
{2x + 9x = – {1 over 3} + {3 over 2}} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = {1 over 2} – 3x} cr
{11x = {7 over 6}} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = {1 over 2} – 3x} cr
{x = {7 over {66}}} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = {1 over 2} – {7 over {22}}} cr
{x = {7 over {66}}} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = {2 over {11}}} cr
{x = {7 over {66}}} cr} } right. cr} )

Hai giá trị (x = {7 over {66}};y = {2 over {11}}) thỏa mãn điều kiện

Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x; y) = (left( {{7 over {66}};{2 over {11}}} right))

e) Đặt ({1 over {x – y + 2}} = a;{1 over {x + y – 1}} = b.) Điều kiện (x – y + 2 ne 0;x + y – 1 ne 0.)

Ta có hệ phương trình:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{7a – 5b = 4,5} cr
{3a + 2b = 4} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = {{4 – 3a} over 2}} cr
{7a – 5.{{4 – 3a} over 2} = 4,5} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = {{4 – 3a} over 2}} cr
{14a – 20 + 15a = 9} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = {{4 – 3a} over 2}} cr
{29a = 29} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = {{4 – 3a} over 2}} cr
{a = 1} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = {1 over 2}} cr
{a = 1} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{{1 over {x – y + 2}} = 1} cr
{{1 over {x + y – 1}} = {1 over 2}} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{x – y + 2 = 1} cr
{x + y – 1 = 2} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = y – 1} cr
{y – 1 + y – 1 = 2} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = y – 1} cr
{2y = 4} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = y – 1} cr
{y = 2} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 1} cr
{y = 2} cr} } right. cr} )

Giá trị của x và y thỏa mãn điều kiện

Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x; y) =  (1; 2).


Câu 3.1, 3.2 trang 10 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Câu 3.1

Tìm a và b để hệ

(left{ {matrix{
{ax + by = 17} cr
{3bx + ay = – 29} cr} } right.)

có nghiệm là (x; y) = (1; -4)

Giải: Cặp (x; y) = (1; -4) là nghiệm của hệ phương trình. Thay x = 1; y = -4 vào hệ phương trình ta có:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{a – 4b = 17} cr
{3b – 4a = – 29} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{a = 4b + 17} cr
{3b – 4left( {4b + 17} right) = – 29} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{a = 4b + 17} cr
{3b – 16b – 68 = – 29} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{a = 4b + 17} cr
{ – 13b = 39} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{a = 4b + 17} cr
{b = – 3} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{a = 5} cr
{b = – 3} cr} } right. cr} )

Vậy hằng số a = 5; b = -3

Câu 3.2. Giải hệ phương trình:

(left{ {matrix{
{2x – y = 5} cr
{left( {x + y + 2} right)left( {x + 2y – 5} right) = 0} cr} } right.)

Giải: (left{ {matrix{
{2x – y = 5} cr
{left( {x + y + 2} right)left( {x + 2y – 5} right) = 0} cr} } right.)

Ta đưa về giải hai hệ phương trình:

(left{ {matrix{
{2x – y = 5} cr
{x + y + 2 = 0} cr} } right.)

hoặc

(left{ {matrix{
{2x – y = 5} cr
{x + 2y – 5 = 0} cr} } right.)

Giải hệ:

(left{ {matrix{
{2x – y = 5} cr
{x + y + 2 = 0} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = 2x – 5} cr
{x + 2x – 5 + 2 = 0} cr} } right.)

(eqalign{
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = 2x – 5} cr
{3x – 3 = 0} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = 2x – 5} cr
{x = 1} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = – 3} cr
{x = 1} cr} } right. cr} )

Giải hệ:

(left{ {matrix{
{2x – y = 5} cr
{x + 2y – 5 = 0} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = 2x – 5} cr
{x + 2left( {2x – 5} right) – 5 = 0} cr} } right.)

(eqalign{
& left{ {matrix{
{y = 2x – 5} cr
{5x – 15 = 0} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = 2x – 5} cr
{x = 3} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = 1} cr
{x = 3} cr} } right. cr} )

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm

(left( {{x_1};{y_1}} right) = left( {1; – 3} right)) và (left( {{x_2};{y_2}} right) = left( {3;1} right)).

The post Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế – Sách bài tập Toán 9 tập 2 appeared first on Sách Toán – Học toán.

Goc hoc tap