Bài 3 hình thang cân – Chương 1 Hình học SBT Toán 8 tập 1

Câu 22 trang 82 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Hình thang cân ABCD có AB// CD, AB < CD. Kẻ các đường cao AH, BK. Chứng minh rằng DH = CK.

Giải:

Bài 3 hình thang cân - Chương 1 Hình học SBT Toán 8 tập 1

Xét hai tam giác vuông AHD và BKC:

(widehat {AHD} = widehat {BKC} = {90^0})

AD=BC (tính chất hình thang cân)

(widehat C = widehat D) (gt)

Do đó: ∆ AHD = ∆ BKC (cạnh huyền, góc nhọn)

 


Câu 23 trang 82 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Hình thang cân ABCD có AB // CD, O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng OA=OB, OC=OD.

Giải:

Bài 3 hình thang cân - Chương 1 Hình học SBT Toán 8 tập 1

Xét ∆ ADC và ∆ BCD, ta có:

AD = BC (tính chất hình thang cân)

(widehat {ADC} = widehat {BCD})  (gt)

DC cạnh chung

Do đó: ∆ ADC = ∆ BCD (c.g.c)

( Rightarrow {widehat C_1} = {widehat D_1})

Trong ∆ OCD ta có: ({widehat C_1} = {widehat D_1})

⇒ ∆ OCD cân tại O

⇒ OC = OD  (1)

AC = BD ( tính chất hình thang cân)

⇒ AO + OC = BO + OD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AO = BO

 


Câu 24 trang 83 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh bên AB, AC lấy các điểm M, N sao cho BM = CN.

a. Tứ giác BMNC là hình gì ? Vì sao ?

b. Tính các góc của tứ giác BMNC biết rằng (widehat A = {40^0})

Giải:

Bài 3 hình thang cân - Chương 1 Hình học SBT Toán 8 tập 1

a. ∆ ABC cân tại A

( Rightarrow widehat B = widehat C = {{{{180}^0} – widehat A} over 2}) (tính chất tam giác cân)   (1)

AB = AC (gt)

⇒ AM + BM= AN+ CN

⇒ mà BM = CN (gt)

⇒ suy ra: AM = AN

⇒ ∆ AMN cân tại A

( Rightarrow {widehat M_1} = {widehat N_1} = {{{{180}^0} – widehat A} over 2}) ( tính chất tam giác cân)  (2)

⇒ Từ (1) và (2) suy ra:  ({widehat M_1} = widehat B)

⇒MN // BC ( vì có các cặp góc đồng vị bằng nhau)

Tứ giác BCMN là hình thang có (widehat B = widehat C). Vậy BCMN là hình thang cân.

b. (widehat B = widehat C = {{{{180}^0} – widehat A} over 2} = {{{{180}^0} – {{40}^0}} over 2} = {70^0})

Mà ({widehat M_2} + widehat B = {180^0}) (hai góc trong cùng phía)

( Rightarrow {widehat M_2} = {180^0} – widehat B = {180^0} – {70^0} = {110^0})

({widehat N_2} = {widehat M_2} = {110^0})   (tính chất hình thang cân)

 

 


Câu 25 trang 83 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BE, CF. Chứng minh rằng BFEC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.

Giải:

Bài 3 hình thang cân - Chương 1 Hình học SBT Toán 8 tập 1

Xét hai tam giác AEB và AFC

Có AB = AC (∆ ABC cân tại A)

(widehat {ABE} = {{widehat B} over 2} = {{widehat C} over 2} = widehat {ACF}) và (widehat A) là góc chung

( Rightarrow Delta ADB = Delta AECleft( {g.c.g} right) Rightarrow AE = AF Rightarrow Delta AEF) cân tại A

( Rightarrow widehat {AFE} = {{{{180}^0} – widehat A} over 2}) và trong tam giác  (Delta ABC:,,widehat B = {{{{180}^0} – widehat A} over 2})

( Rightarrow widehat {AFE} = widehat B Rightarrow FE//BC) ⟹ tứ giác BFEC là hình thang.


Câu 26 trang 83 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Chứng minh rằng hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Giải:

Bài 3 hình thang cân - Chương 1 Hình học SBT Toán 8 tập 1

Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng DC tại K.

Ta có hình thang ABKC có hai cạnh bên BK // AC nên AC = BK

Mà AC = BD (gt)

Suy ra: BD = BK do đó ∆ BDK cân tại B

( Rightarrow {widehat D_1} = widehat K) (tính chất tam giác cân)

Ta lại có: ({widehat C_1} = widehat K) (hai góc đồng vị)

Suy ra:  ({widehat D_1} = {widehat C_1})

Xét ∆ ACD và ∆ BDC:

AC = BD (gt)

({widehat D_1} = {widehat C_1}) (chứng minh trên)

CD cạnh chung

Do đó: ∆ ACD = ∆ BDC (c.g.c) ( Rightarrow widehat {ADC} = widehat {BCD})

Hình thang ABCD có (widehat {ADC} = widehat {BCD}) nên là hình thang cân.

 


Câu 27 trang 83 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Tính các góc của hình thang cân, biết một góc bằng  ({50^0})

Giải:  

Giả sử hình thang cân ABCD có AB // CD và  (widehat D = {50^0})

Vì (widehat C = widehat D) (tính chất hình thang cân)

( Rightarrow widehat C = {50^0})

(widehat A + widehat D = {180^0}) (hai góc trong cùng phía)

( Rightarrow widehat A = {180^0} – widehat D = {180^0} – {50^0} = {130^0})

(widehat B = widehat A) (tính chất hình thang cân) (Rightarrow widehat B = {130^0})

 


Câu 28 trang 83 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB bằng cạnh bên AD. Chứng minh rằng CA là tia phân giác của góc C.

Giải:

Bài 3 hình thang cân - Chương 1 Hình học SBT Toán 8 tập 1

AB = AD (gt)

AD = BC (tính chất hình thang cân)

⇒ AB = BC do đó ∆ ABC cân tại B

(Rightarrow {widehat A_1} = {widehat C_1}) (tính chất tam giác cân)

Mặt khác: AB // CD (gt)

({widehat A_1} = {widehat C_2}) (hai góc so le trong)

Suy ra: ({widehat C_1} = {widehat C_2})

Vậy CA là tia phân giác của (widehat {BCD}).

 


Câu 29 trang 83 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại O. Biết rằng OA = OC, OB = OD. Tứ giác ACBD là hình gì ? Vì sao ?

Giải:

Bài 3 hình thang cân - Chương 1 Hình học SBT Toán 8 tập 1

Ta có: OA = OC (gt)

⇒ ∆ OAC cân tại O

( Rightarrow {widehat A_1} = {{{{180}^0} – widehat {AOC}} over 2}) (tính chất tam giác cân)   (1)

OB = OD (gt)

⇒ ∆ OBD cân tại O

( Rightarrow {widehat B_1} = {{{{180}^0} – widehat {BOD}} over 2}) (tính chất tam giác cân)   (2)

(widehat {AOC} = widehat {BOD}) (đối đỉnh)  (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: ({widehat A_1} = {widehat B_1})

⇒ AC // BD (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau)

Suy ra: Tứ giác ACBD là hình thang

Ta có: AB = OA + OB

CD = OC + OD

Mà OA = OC, OB = OD

Suy ra: AB = CD

Vậy hình thang ACBD là hình thang cân.


Câu 30 trang 83 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E trên cạnh AC sao cho AD = AE.

a. Tứ giác BDEC là hình gì ? Vì sao ?

b. Các điểm D, E ở vị trí nào thì BD = DE = EC ?

Giải:

Bài 3 hình thang cân - Chương 1 Hình học SBT Toán 8 tập 1

a. AD = AE (gt)

⇒ ∆ ADE cân tại A

( Rightarrow widehat {ADE} = {{{{180}^0} – widehat A} over 2})

∆ ABC cân tại A

( Rightarrow widehat {ABC} = {{{{180}^0} – widehat A} over 2})

Suy ra:  (widehat {ADE} = widehat {ABC})

⇒ DE // BC (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)

Tứ giác BDEC là hình thang

(widehat {ABC} = widehat {ACB}) (tính chất tam giác cân)

Hay (widehat {DBC} = widehat {ECB}). Vậy BDEC là hình thang cân

b. Ta có: BD = DE ⇒ ∆ BDE cân tại D

( Rightarrow {widehat B_1} = {widehat E_1})

Mà ({widehat E_1} = {widehat B_2}) (so le trong)

( Rightarrow {widehat B_1} = {widehat B_2})

DE = EC ⇒∆ DEC cân tại E

( Rightarrow {widehat D_1} = {widehat C_1})

({widehat D_1} = {widehat C_2}) (so le trong)

( Rightarrow {widehat C_1} = {widehat C_2})

Vậy khi BE là tia phân giác của (widehat {ABC}), CD là tia phân giác của (widehat {ACB}) thì BD = DE = EC.

 


Câu 31 trang 83 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Hình thang cân ABCD có O là giao điểm của hai đường thẳng chứa cạnh bên AD, BC và E là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng OE là đường trung trực của hai đáy.

Giải:

Bài 3 hình thang cân - Chương 1 Hình học SBT Toán 8 tập 1

(eqalign{
& widehat {ADC} = widehat {BCD},,,,(gt) cr
& Rightarrow widehat {ODC} = widehat {OCD} cr} )

⇒ ∆ OCD cân tại O

⇒ OC = OD

⇒ OA + AD = OB + BC

Mà AD = BC (tính chất hình thang cân)

⇒ OA = OB

Xét ∆ ADC và ∆ BCD :

AD = BC (chứng minh trên)

AC = BD (tính chất hình thang cân)

CD cạnh chung

Do đó: ∆ ADC = ∆ BCD (c.c.c)

( Rightarrow {widehat D_1} = {widehat C_1})

⇒ ∆ EDC cân tại E

⇒ EC = ED nên E thuộc đường trung trực của CD

OC = OD nên O thuộc đường trung trực của CD

E≢ O. Vậy OE là đường trung trực của CD.

BD = AC (chứng minh trên)

⇒ EB + ED = EA + EC mà ED = EC

⇒ EB = EA nên E thuộc đường trung trực AB

E≢ O. Vậy OE là đường trung trực của AB.

 


Câu 32 trang 83 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

a. Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = b, đáy lớn CD = a, đường cao AH.

Chứng minh rằng  (a và b có cùng đơn vị đo)

b. Tính đường cao của hình thang cân có hai đáy 10cm, 26cm và cạnh bên 17cm

Giải:

Bài 3 hình thang cân - Chương 1 Hình học SBT Toán 8 tập 1

a. Kẻ đường cao BK

Xét hai tam giác vuông AHD và BKC, ta có:

(widehat {AHB} = widehat {BKC} = {90^0})

AD = BC (tính chất hình thang cân)

(widehat D = widehat C)  (gt)

Do đó: ∆ AHD = ∆ BKC (cạnh huyền, góc nhọn)

⇒ HD = KC

Hình thang ABKH có hai cạnh bên song song nên AB = HK

a−b = DC – AB = DC – HK = HD + KC = 2HD

( Rightarrow HD = {{a – b} over 2})

(HD = DC-HD = a – {{a – b} over 2} = {{a + b} over 2})

b. (HD = {{CD – AB} over 2} = {{26 – 10} over 2} = 8left( {cm} right))

Trong tam giác vuông AHD có (widehat {AHD} = {90^0})

(A{D^2} = A{H^2} + H{D^2}) (định lí Pi-ta-go)

(eqalign{
& Rightarrow A{H^2} = A{D^2} – H{D^2} cr
& A{H^2} = {17^2} – {8^2} = 289 – 64 = 225 cr
& AH = 15(cm) cr} )

 


Câu 33 trang 83 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Hình thang cân ABCD có đường chéo DB vuông góc với cạnh bên BC, BD là tia phân giác của góc D. Tính chu vi của hình thang, biết BC = 3cm.

Giải:

Bài 3 hình thang cân - Chương 1 Hình học SBT Toán 8 tập 1

Ta có: AD = BC = 3 (cm)  (tính chất hình thang cân)

(widehat {ABD} = widehat {BDC}) (so le trong)

(eqalign{
& widehat {ADB} = widehat {BDC}(gt) cr
& Rightarrow widehat {ABD} = widehat {ADB} cr} )

⇒ ∆ ABD cân tại A

⇒ AB = AD = 3 (cm)

∆ BDC vuông tại B

( Rightarrow widehat {BDC} + widehat C = {90^0})

(widehat {ADC} = widehat C) (gt)

Mà (widehat {BDC} = {1 over 2}widehat {ADC}) nên  (widehat {BDC} = {1 over 2}widehat C)

(widehat C + {1 over 2}widehat C = {90^0} Rightarrow widehat C = {60^0})

Từ B kẻ đường thẳng song song AD cắt CD tại E.

Hình thang ABED có hai cạnh bên song song nên AB = DE và AD = BE

⇒ DE = 3 (cm), BE = 3 (cm)

(widehat {BEC} = widehat {ADC})  (đồng vị )

Suy ra:  (widehat {BEC} = widehat C)

⇒ ∆ BEC cân tại B có (widehat C = {60^0})

⇒ ∆ BEC đều

⇒ EC = BC = 3 (cm)

CD = CE + ED = 3 + 3 = 6 (cm)

Chu vi hình thang ABCD bằng:

AB + BC + CD + DA = 3+3 +6 +3=15 (cm)


Câu 3.1 trang 83 Sách bài tập (SBT) Toán lớp 8 tập 1

Hình thang cân ABCD (AB // CD) có (widehat A = {70^0}). Khẳng định nào dưới đây là đúng ?

A. (widehat C = {110^0})

B. (widehat B = {110^0})

C. (widehat C = {70^0})

D. (widehat D = {70^0})

Giải:

Chọn A. (widehat C = {110^0})

 


Câu 3.2 trang 84 Sách bài tập (SBT) Toán lớp 8 tập 1

Hình thang cân ABCD (AB// CD) có hai đường chéo cắt nhau tại I, hai đường thẳng chứa các cạnh bên cắt nhau ở K. Chứng minh rằng KI là đường trung trực của hai đáy.

Giải:

Bài 3 hình thang cân - Chương 1 Hình học SBT Toán 8 tập 1

∆ACD = ∆BDC (c.c.c) suy ra

do đó ID = IC           (1)

Tam giác KCD có hai góc ở đấy bằng nhau nên KD = KC          (2)

Từ (1) và (2) suy ra KI là đương trung trực của CD.

Chứng minh tương tự có IA = IB, KA = KB

Suy ra KI là đường trung trực của AB

 


Câu 3.3 trang 84 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Hình thang cân ABCD (AB // CD) có  , DB là tia phân giác của góc D. Tính các cạnh của hình thang, biết chu vi hình thang bằng 20cm.

Giải:

Bài 3 hình thang cân - Chương 1 Hình học SBT Toán 8 tập 1

Hình thang ABCD cân có AB // CD

( Rightarrow widehat D = widehat C = {60^0})

DB là tia phân giác của góc D

( Rightarrow widehat {ADB} = widehat {BDC})

(widehat {ABD} = widehat {BDC}) (hai góc so le trong)

Suy ra: (widehat {ADB} = widehat {ABD})

⇒ ∆ ABD cân tại A  ⇒ AB = AD (1)

Từ B kẻ đường thẳng song song với AD cắt CD tại E

Hình thang ABED có hai cạnh bên song song nên AB = ED, AD= BE   (2)

(widehat {BEC} = widehat {ADC}) (đồng vị )

Suy ra:  (widehat {BEC} = widehat C = {60^0})

⇒∆ BEC đều ⇒ EC = BC    (3)

AD = BC (tính chất hình thang cân)   (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) ⇒ AB = BC = AD = ED = EC

⇒ Chu vi hình thang bằng:

AB + BC + CD + AD = AB + BC + EC +ED +AD = 5AB

⇒AB = BC = AD = 20:5 = 4 (cm)

CD = CE + DE = 2 AB = 2.4 = 8 (cm)

The post Bài 3 hình thang cân – Chương 1 Hình học SBT Toán 8 tập 1 appeared first on Sách Toán – Học toán.

Goc hoc tap