Bài 3 Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương Sách bài tập Toán 9 tập 1

Giải bài tập trang 9, 10 bài 3 Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 1.

Câu 23 trang 9 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Áp dụng quy tắc nhân các căn bậc hai, hãy tính:

a) (sqrt {10} .sqrt {40} 😉

b) (sqrt 5 .sqrt {45} 😉

c) (sqrt {52} .sqrt {13} 😉

d) (sqrt 2 .sqrt {162} .)

Gợi ý làm bài

a) (sqrt {10} .sqrt {40}  = sqrt {10.40}  = sqrt {400}  = 20)

b) (sqrt 5 .sqrt {45}  = sqrt {5.45}  = sqrt {255}  = 15)

c) (eqalign{
& sqrt {52} .sqrt {13} = sqrt {4.13.13} cr
& = sqrt {{{left( {2.13} right)}^2}} = 2.13 = 26 cr} )

d) (eqalign{
& sqrt {2.162} = sqrt {2.2.81} cr
& = sqrt {{{left( {2.9} right)}^2}} = 2.9 = 18 cr} )

 


Câu 24 trang 9 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Áp dụng quy tắc khai phương một tích, hãy tính:

a) (sqrt {45.80} );

b) (sqrt {75.48} );

c) (sqrt {90.6,4} );

d) (sqrt {2,5.14,4} ).

Gợi ý làm bài

a) (eqalign{
& sqrt {45.80} = sqrt {9.5.5.16} cr
& = sqrt 9 .sqrt {{5^2}} .sqrt {16} = 3.4.5 = 60 cr} )

b) (eqalign{
& sqrt {75.48} = sqrt {25.3.3.16} cr
& = sqrt {25} .sqrt {{3^2}} .sqrt {16} = 5.3.4 = 60 cr} )

c) (eqalign{
& sqrt {90.6,4} = sqrt {9.64} cr
& = sqrt 9 .sqrt {64} = 3.8 = 24 cr} )

d) (eqalign{
& sqrt {2,5.14,4} = sqrt {25.1,44} cr
& = sqrt {25} .sqrt {1,44} = 5.1,2 = 6 cr} )

 


Câu 25 trang 9 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Rút gọn rồi tính:

a) (sqrt {6,{8^2} – 3,{2^2}} );

b) (sqrt {21,{8^2} – 18,{2^2}} );

c) (sqrt {117,{5^2} – 26,{5^2} – 1440} );

d) (sqrt {146,{5^2} – 109,{5^2} + 27.256} ).

Gợi ý làm bài

a) (eqalign{
& sqrt {6,{8^2} – 3,{2^2}} cr
& = sqrt {left( {6,8 + 3,2} right)left( {6,8 – 3,2} right)} cr
& = sqrt {10.3,6} = sqrt {36} = 6 cr} )

b) (eqalign{
& sqrt {21,{8^2} – 18,{2^2}} cr
& = sqrt {left( {21,8 + 18,2} right)left( {21,8 – 18,2} right)} cr} )

(eqalign{
& = sqrt {40.3,6} = sqrt {4.36} cr
& = sqrt 4 .sqrt {36} = 2.6 = 12 cr} )

c) (eqalign{
& sqrt {117,{5^2} – 26,{5^2} – 1440} cr
& = sqrt {left( {117,5 + 26,5} right)left( {117,5 – 26,5} right) – 1440} cr} )

( = sqrt {144.91 – 1440}  = sqrt {144.left( {91 – 10} right)} )

( = sqrt {144.81}  = sqrt {144} .sqrt {81}  = 12.9 = 108)

d) (sqrt {146,{5^2} – 109,{5^2} + 27.256} )

( = sqrt {left( {144,5 + 109,5} right)left( {146,5 – 109,5} right) + 27.256} )

(eqalign{
& = sqrt {256.37 + 27.256} cr
& = sqrt {256.(36 + 27)} cr
& = sqrt {256} .sqrt {64} = 16.8 = 128 cr} )

 


Câu 26 trang 9 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Chứng minh:

a) (sqrt {9 – sqrt {17} } .sqrt {9 + sqrt {17} }  = 8)

b) (2sqrt 2 left( {sqrt 3  – 2} right) + {left( {1 + 2sqrt 2 } right)^2} – 2sqrt 6  = 9)

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

(eqalign{
& sqrt {9 – sqrt {17} } .sqrt {9 + sqrt {17} } cr
& = sqrt {left( {9 – sqrt {17} } right)left( {9 + sqrt {17} } right)} cr} )

( = sqrt {81 – 17}  = sqrt {64}  = 8)

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

b) Ta có:

(2sqrt 2 left( {sqrt 3  – 2} right) + {left( {1 + 2sqrt 2 } right)^2} – 2sqrt 6 )

(eqalign{
& = 2sqrt 6 – 4sqrt 2 + 1 + 4sqrt 2 + 8 – 2sqrt 6 cr
& = 1 + 8 = 9 cr} )

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

Câu 27 trang 9 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Rút gọn:

a) ({{sqrt 6  + sqrt {14} } over {2sqrt 3  + sqrt {28} }});

b) ({{sqrt 2  + sqrt 3  + sqrt 6  + sqrt 8  + sqrt {16} } over {sqrt 2  + sqrt 3  + sqrt 4 }}).

Gợi ý làm bài

a) (eqalign{
& {{sqrt 6 + sqrt {14} } over {2sqrt 3 + sqrt {28} }} = {{sqrt {2.3} + sqrt {2.7} } over {2sqrt 3 + sqrt 4 .sqrt 7 }} cr
& = {{sqrt 2 left( {sqrt 3 + sqrt 7 } right)} over {2left( {sqrt 3 + sqrt 7 } right)}} = {{sqrt 2 } over 2} cr} )

b) (eqalign{
& {{sqrt 2 + sqrt 3 + sqrt 6 + sqrt 8 + sqrt {16} } over {sqrt 2 + sqrt 3 + sqrt 4 }} cr
& = {{sqrt 2 + sqrt 3 + sqrt 6 + sqrt 8 + 4} over {sqrt 2 + sqrt 3 + sqrt 4 }} cr} )

(= {{sqrt 2  + sqrt 3  + sqrt 4  + sqrt 4  + sqrt 6  + sqrt 8 } over {sqrt 2  + sqrt 3  + sqrt 4 }})

( = {{left( {sqrt 2  + sqrt 3  + sqrt 4 } right) + sqrt 2 left( {sqrt 2  + sqrt 3  + sqrt 4 } right)} over {sqrt 2  + sqrt 3  + sqrt 4 }})

(= {{left( {sqrt 2  + sqrt 3  + sqrt 4 } right)left( {1 + sqrt 2 } right)} over {sqrt 2  + sqrt 3  + sqrt 4 }} = 1 + sqrt 2 )

 


Câu 28 trang 9 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

So sánh (không dùng bảng số hoặc máy tính bỏ túi):

a) (sqrt 2  + sqrt 3 ) và (sqrt {10} );

b) (sqrt 3  + 2) và (sqrt 2  + sqrt 6 );

c) 16 và (sqrt {15} .sqrt {17} );

d) 8 và (sqrt {15}  + sqrt {17} ).

Gợi ý làm bài

a)  (sqrt 2  + sqrt 3 ) và (sqrt {10} )

Ta có:

(eqalign{
& {left( {sqrt 2 + sqrt 3 } right)^2} = 2 + 2sqrt 6 + 3 cr
& = 5 + 2sqrt 6 cr} )

({left( {sqrt {10} } right)^2} = 10 = 5 + 5)

So sánh (2sqrt 6 ) và 5:

Ta có: ({left( {2sqrt 6 } right)^2} = {2^2}.{left( {sqrt 6 } right)^2} = 4.6 = 24)

({5^2} = 25)

Vì ({left( {2sqrt 6 } right)^2} < {5^2}) nên (2sqrt 6  < 5)

Vậy:

(eqalign{
& 5 + 2sqrt 6 < 5 + 5 cr
& Rightarrow {left( {sqrt 2 + sqrt 3 } right)^2} < {left( {sqrt {10} } right)^2} cr
& Rightarrow sqrt 2 + sqrt 3 < sqrt {10} cr} )

b) (sqrt 3  + 2) và (sqrt 2  + sqrt 6 )

Ta có:

({left( {sqrt 3  + 2} right)^2} = 3 + 4sqrt 3  + 4 = 7 + 4sqrt 3 )

(eqalign{
& {left( {sqrt 2 + sqrt 6 } right)^2} = 2 + 2sqrt {12} + 6 cr
& = 8 + 2sqrt {4.3} = 8 + 2.sqrt 4 .sqrt 3 = 8 + 4sqrt 3 cr} )

Vì (7 + 4sqrt 3  < 8 + 4sqrt 3 ) nên ({left( {sqrt 3  + 2} right)^2} < {left( {sqrt 2  + sqrt 6 } right)^2})

Vậy (sqrt 3  + 2) < (sqrt 2  + sqrt 6 )

c) 16 và (sqrt {15} .sqrt {17} )

Ta có:

(eqalign{
& sqrt {15} .sqrt {17} = sqrt {16 – 1} .sqrt {16 + 1} cr
& = sqrt {(16 – 1)(16 + 1)} = sqrt {{{16}^2} – 1} cr} )

(16 = sqrt {{{16}^2}} )

Vì (sqrt {{{16}^2} – 1}  < sqrt {{{16}^2}} ) nên (16 > sqrt {15} .sqrt {17} )

Vậy (16 > sqrt {15} .sqrt {17} ).

d) 8 và (sqrt {15}  + sqrt {17} )

Ta có: ({8^2} = 64 = 32 + 32)

(eqalign{
& {left( {sqrt {15} + sqrt {17} } right)^2} = 15 + 2sqrt {15.17} + 17 cr
& = 32 + 2sqrt {15.17} cr} )

So sánh 16 và (sqrt {15.17} )

Ta có:

(eqalign{
& sqrt {15.17} = sqrt {(16 – 1)(16 + 1)} cr
& = sqrt {{{16}^2} – 1} < sqrt {{{16}^2}} cr} )

Vì (16 > sqrt {15.17} ) nên (32 > 2sqrt {15.17} )

Suy ra:

(eqalign{
& 64 > 32 + 32 + 2.sqrt {15.17} cr
& Rightarrow {8^2} > {left( {sqrt {15} + sqrt {17} } right)^2} cr} )

Vậy (8 > sqrt {15}  + sqrt {17} ).

 


Câu 29 trang 9 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

 So sánh (không dùng bảng số hoặc máy tính bỏ túi):

(sqrt {2003}  + sqrt {2005} ) và (2sqrt {2004} )

Gợi ý làm bài

Ta có:

(eqalign{
& {left( {2sqrt {2004} } right)^2} = 4.2004 cr
& = 4008 + 2.2004 cr} )

(eqalign{
& {left( {sqrt {2003} + sqrt {2005} } right)^2} cr
& = 2003 + 2sqrt {2003.2005} + 2005 cr} )

( = 4008 + 2sqrt {2003.2005} )

So sánh 2004 và (sqrt {2003.2005} )

Ta có:

(eqalign{
& sqrt {2003.2005} cr
& = sqrt {(2004 – 1)(2004 + 1)} cr
& = sqrt {{{2004}^2} – 1} < sqrt {{{2004}^2}} cr} )

Suy ra:

(eqalign{
& 2004 > sqrt {2003.2005} cr
& Rightarrow 2.2004 > 2.sqrt {2003.2005} cr} )

( Rightarrow 4008 + 2.2004 > 4008 + 2sqrt {2003.2005} )

( Rightarrow {left( {2sqrt {2004} } right)^2} > {left( {sqrt {2003}  + sqrt {2005} } right)^2})

Vậy (2sqrt {2004}  > sqrt {2003}  + sqrt {2005} ).

Câu 30 trang 9 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho các biểu thức:

(A = sqrt {x + 2} .sqrt {x – 3} ) và (B = sqrt {(x + 2)(x – 3)} .)

a) Tìm x để A có nghĩa. Tìm x của B có nghĩa.

b) Với giá trị nào của x thì A = B ?

Gợi ý làm bài

a) Ta có: (A = sqrt {x + 2} .sqrt {x – 3} ) có nghĩa khi và chỉ khi:

(left{ matrix{
x + 2 ge 0 hfill cr
x – 3 ge 0 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
x ge – 2 hfill cr
x ge 3 hfill cr} right. Leftrightarrow x ge 3)

(B = sqrt {(x + 2)(x – 3)} ) có nghĩa khi và chỉ khi:

((x + 2)(x – 3) ge 0)

Trường hợp 1: 

(left{ matrix{
x + 2 ge 0 hfill cr
x – 3 ge 0 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
x ge – 2 hfill cr
x ge 3 hfill cr} right. Leftrightarrow x ge 3)

Trường hợp 2: 

(left{ matrix{
x + 2 le 0 hfill cr
x – 3 le 0 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
x le – 2 hfill cr
x le 3 hfill cr} right. Leftrightarrow x le – 2)

Vậy với x ≥ 3 hoặc x ≤ -2 thì B có nghĩa

b) Để A và B đồng thời có nghĩa thì x ≥ 3

Vậy với x ≥ 3 thì A = B.

 


Câu 31 trang 10 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Biểu diễn (sqrt {{rm{ab}}} ) ở dạng tích các căn bậc 2 với a < 0 và b < 0.

Áp dụng tính (sqrt {( – 25).( – 64)} )

Gợi ý làm bài

Vì a < 0 nên –a > 0 và b < 0 nên –b > 0

Ta có: (sqrt {ab}  = sqrt {( – a).( – b)}  = sqrt { – a} .sqrt { – b} )

Áp dụng: (sqrt {( – 25).( – 64)}  = sqrt {25} .sqrt {64}  = 5.8 = 40)

 


Câu 32 trang 10 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Rút gọn các biểu thức:

a) (sqrt {4{{(a – 3)}^2}} ) với a ≥ 3 ;

b) (sqrt {9{{(b – 2)}^2}} ) với b < 2 ;

c) (sqrt {{a^2}{{(a + 1)}^2}} ) với a > 0 ;

d) (sqrt {{b^2}{{(b – 1)}^2}} ) với b < 0 .

Gợi ý làm bài

a) (eqalign{
& sqrt {4{{(a – 3)}^2}} = sqrt 4 .sqrt {{{(a – 3)}^2}} cr
& = 2.left| {a – 3} right| = 2(a – 3) cr} ) (với a ≥ 3)

b) (eqalign{
& sqrt {9{{(b – 2)}^2}} = sqrt 9 sqrt {{{(b – 2)}^2}} cr
& = 3.left| {b – 2} right| = 3(2 – b) cr} ) (với b < 2)

c) (eqalign{
& sqrt {{a^2}{{(a + 1)}^2}} = sqrt {{a^2}} .sqrt {{{(a + 1)}^2}} cr
& = left| a right|.left| {a + 1} right| = a(a + 1) cr} ) (với a > 0)

d) (eqalign{
& sqrt {{b^2}{{(b – 1)}^2}} = sqrt {{b^2}} .sqrt {{{(b – 1)}^2}} cr
& = left| b right|.left| {b – 1} right| = – b(1 – b) cr} ) (với b < 0)

Câu 33 trang 10 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau có nghĩa và biến đổi chúng về dạng tích:

a) (sqrt {{x^2} – 4}  + 2sqrt {x – 2} );

b) (3sqrt {x + 3}  + sqrt {{x^2} – 9} ).

Gợi ý làm bài

a) Ta có: (sqrt {{x^2} – 4}  + 2sqrt {x – 2} ) có nghĩa khi và chỉ khi:

({x^2} – 4 ge 0) và (x – 2 ge 0)

Ta có: ({x^2} – 4 ge 0 Leftrightarrow (x + 2)(x – 2) ge 0)

Trường hợp 1: 

(left{ matrix{
x + 2 ge 0 hfill cr
x – 2 ge 0 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
x ge – 2 hfill cr
x ge 2 hfill cr} right. Leftrightarrow x ge 2)

Trường hợp 2: 

 

(left{ matrix{
x + 2 le 0 hfill cr
x – 2 le 0 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
x le – 2 hfill cr
x le 2 hfill cr} right. Leftrightarrow x le – 2)

(x – 2 ge 0 Leftrightarrow x ge 2)

Vậy x ≥ 2 thì biểu thức có nghĩa.

Biến đổi về dạng tích:

(eqalign{
& sqrt {{x^2} – 4} + 2sqrt {x – 2} cr
& = sqrt {(x + 2)(x – 2)} + 2sqrt {x – 2} cr})

(= sqrt {x – 2} .left( {sqrt {x + 2}  + 2} right))

b) Ta có: (3sqrt {x + 3}  + sqrt {{x^2} – 9} ) có nghĩa khi và chỉ khi:

(x + 3 ge 0) và ({x^2} – 9 ge 0)

Ta có: (x + 3 ge 0 Leftrightarrow x ge 3)

({x^2} – 9 ge 0 Leftrightarrow (x + 3)(x – 3) ge 0)

Trường hợp 1: 

(left{ matrix{
x + 3 ge 0 hfill cr
x – 3 ge 0 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
x ge – 3 hfill cr
x ge 3 hfill cr} right. Leftrightarrow x ge 3)

Trường hợp 2: 

(left{ matrix{
x + 3 le 0 hfill cr
x – 3 le 0 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
x le – 3 hfill cr
x le 3 hfill cr} right. Leftrightarrow x le – 3)

Vậy với x ≥ 3 thì biểu thức có nghĩa.

Biến đổi về dạng tích:

(eqalign{
& 3sqrt {x + 3} + sqrt {{x^2} – 9} cr
& = 3sqrt {x + 3} + sqrt {(x + 3)(x – 3)} cr} )

(= sqrt {x + 3} left( {3 + sqrt {x – 3} } right))

 


Câu 34 trang 10 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Tìm x, biết:

a) (sqrt {x – 5}  = 3);

b) (sqrt {x – 10}  =  – 2);

c) (sqrt {2x – 1}  = sqrt 5 );

d) (sqrt {4 – 5x}  = 12).

Gợi ý làm bài

a) (sqrt {x – 5}  = 3) điều kiện: (x – 5 ge 0 Leftrightarrow x ge 5)

Ta có: (sqrt {x – 5}  = 3 Leftrightarrow x – 5 = 9 Leftrightarrow x = 14)

b) (sqrt {x – 10}  =  – 2) điều kiện: (x – 10 ge 0 Leftrightarrow x ge 10)

Vì (sqrt {x – 10}  ge 0) nên không có giá trị nào của x để (sqrt {x – 10}  =  – 2)

(sqrt {2x – 1}  = sqrt 5 ) điều kiện: (2x – 1 ge 0 Leftrightarrow x ge 0,5)

Ta có:

(eqalign{
& sqrt {2x – 1} = sqrt 5 Leftrightarrow 2x – 1 = 5 cr
& Leftrightarrow 2x = 6 Leftrightarrow x = 3 cr} )

d) (sqrt {4 – 5x}  = 12) điều kiện: (4 – 5x ge 0 Leftrightarrow x le {4 over 5})

Ta có:

(eqalign{
& sqrt {4 – 5x} = 12 Leftrightarrow 4 – 5x = 144 cr
& Leftrightarrow – 5x = 140 Leftrightarrow x = – 28 cr} )

 


Câu 35 trang 10 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Với n là số tự nhiên, chứng minh:

({(sqrt {n + 1}  – sqrt n )^2} = sqrt {{{(2n + 1)}^2}}  – sqrt {{{(2n + 1)}^2} – 1} )

Viết đẳng thức trên khi n bằng 1, 2, 3, 4.

Gợi ý làm bài

Ta có:

(eqalign{
& {left( {sqrt {n + 1} – sqrt n } right)^2} cr
& = n + 1 – 2sqrt {n(n + 1)} + n cr
& = 2n + 1 – 2sqrt {n(n + 1)} cr} )

(eqalign{
& = sqrt {{{(2n + 1)}^2}} – sqrt {{{(2n + 1)}^2} – 1} cr
& = left| {2n + 1} right| – sqrt {(2n + 1 + 1)(2n + 1 – 1)} cr} )

(eqalign{
& = 2n + 1 – sqrt {2(n + 1)2n} cr
& = 2n + 1 – sqrt {4(n + 1)n} cr} )

(eqalign{
& = 2n + 1 – sqrt 4 .sqrt {n(n + 1)} cr
& = 2n + 1 – 2sqrt {n(n + 1)} cr} )

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

– Với n = 1, ta có:  ({left( {sqrt 2  – sqrt 1 } right)^2} = sqrt 9  – sqrt 8 )

– Với n = 2, ta có: ({left( {sqrt 3  – sqrt 2 } right)^2} = sqrt {25}  – sqrt {24} )

– Với n = 3, ta có: ({left( {sqrt 4  – sqrt 3 } right)^2} = sqrt {49}  – sqrt {48} )

– Với n = 4, ta có: ({left( {sqrt 5  – sqrt 4 } right)^2} = sqrt {81}  – sqrt {80} )

 


Câu 3.1 trang 10 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 9 Tập 1

Giá trị của (sqrt {1,6} .sqrt {2,5} ) bằng:

(A) 0,20 ;

(B) 2,0 ;

(C) 20,0 ;

(D) 0,02;

Hãy chọn đáp án đúng.

Gợi ý làm bài

Chọn (B)

The post Bài 3 Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương Sách bài tập Toán 9 tập 1 appeared first on Sách Toán – Học toán.

Goc hoc tap