Bài 3. Phép vị tự và sự đồng dạng của các khối đa diện – Giải SBT chương 1 Hình học 12 nâng cao

Bài 3. Phép vị tự và sự đồng dạng của các khối đa diện – Giải SBT chương 1 Hình học 12 nâng cao


Bài 16 trang 8 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho phép vị tự tâm tỉ số (k ne 1) và phép vị tự Vtâm O tỉ số k. Chứng minh rằng nếu kk=1 thì hợp thành của V và Vlà một phép tịnh tiến.

Giải

Với mỗi điểm M, ta lấy M1 sao cho (overrightarrow {O{M_1}}  = koverrightarrow {OM} )rồi lấy điểm M sao cho (overrightarrow {{O’}M’}  = {k’}overrightarrow {{O’}{M_1}} ) thì hợp thành và Vbiến điểm M thành M.

Ta có:

(eqalign{  & overrightarrow {M{M’}}  = overrightarrow {M{M_1}}  + overrightarrow {{M_1}{M’}} cr& =overrightarrow {O{M_1}}  – overrightarrow {OM}  + overrightarrow {{O’}{M’}}  – overrightarrow {{O’}{M_1}}   cr  &  = overrightarrow {O{M_1}}  – {1 over k}overrightarrow {O{M_1}}  + {k’}overrightarrow {{O’}{M_1}}  – overrightarrow {{O’}{M_1}}   cr  &  = left( {1 – {1 over k}} right)overrightarrow {O{M_1}}  + left( {{k’} – 1} right)overrightarrow {{O’}{M_1}}   cr  &  = left( {1 – {1 over k}} right)overrightarrow {O{M_1}}  + left( {1 – {k’}} right)overrightarrow {{M_1}{O’}} . cr} )

Chú ý rằng vì kk=1 nên ({k’} = {1 over k}), bởi vậy đẳng thức trên trở thành :

(overrightarrow {M{M’}}  = left( {1 – {1 over k}} right)left( {overrightarrow {O{M_1}}  + overrightarrow {{M_1}{O’}} } right) = {{k – 1} over k}overrightarrow {O{O’}} .)

Từ đó suy ra hợp thành của V và V là phép tịnh tiến theo vectơ (overrightarrow v  = {{k – 1} over k}overrightarrow {O{O’}} ).


Bài 17:

Cho hai đường tròn có bán kính khác nhau và nằm trên hai mặt phẳng song song. Hãy chỉ ra những phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia.

Giải

Gọi (left( {O;R} right)) và (left( {{O’};{R’}} right)) là hai đường tròn nằm trên hai mặt phẳng song song, với (R ne {R’}).

Đặt (k = {{{R’}} over R}) thì (k ne 1). Khi đó, tồn tại hai điểm (I) và (I’) sao cho (overrightarrow {I{O’}}  = koverrightarrow {IO} ,overrightarrow {{I’}{O’}}  =  – koverrightarrow {{I’}O} ). Dễ thấy rằng phép vị tự tâm (I), tỉ số k và phép vị tự tâm (I’), tỉ số – k đều biến đường tròn (left( {O;R} right)) thành đường tròn (left( {{O’};{R’}} right)).


Bài 18:

Cho hai đường tròn có bán kính bằng nhau nằm trên hai mặt phẳng song song. Hãy chỉ ra các phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia.

Giải

Đó là phép vị tự có tâm là trung điểm của đoạn thẳng nối tâm hai đường tròn và có tỉ số vị tự k = – 1, đó cũng là phép đối xứng tâm.


Bài 19:

Cho hai hình tứ diện ABCD và A’B’C’D’ có các cạnh tương ứng song song: (AB//A’B’,AC//A’C’,AD//A’D’,)

(CB//C’B’,BD//B’D’,DC//D’C’.)

Chứng minh rằng hai tứ diện nói trên đồng dạng.

Giải

Vì (AB//A’B’) nên có số (k ne 0) sao cho (overrightarrow {AB}  = koverrightarrow {A’B’} ). Ta chứng minh rằng khi đó, ta cũng có (overrightarrow {AC}  = koverrightarrow {A’C’} ,overrightarrow {AD}  = koverrightarrow {A’D’} ,overrightarrow {CB}  = koverrightarrow {C’B’} ,)

(BD = koverrightarrow {B’D’} ,overrightarrow {DC}  = koverrightarrow {D’C’} .)

Thật vậy, hai tam giác ABC và A’B’C’ có các cạnh tương ứng song song nên ta phải có các số l và m sao cho (overrightarrow {AC}  = loverrightarrow {A’C’} ) và (overrightarrow {CB}  = moverrightarrow {C’B’} ). Khi đó :

(eqalign{  & overrightarrow {AB}  = koverrightarrow {A’B’}  Leftrightarrow overrightarrow {AC}  – overrightarrow {BC}  = kleft( {overrightarrow {A’C’}  – overrightarrow {B’C’} } right)  cr  &  Leftrightarrow loverrightarrow {A’C’}  – moverrightarrow {B’C’}  = koverrightarrow {A’C’}  – koverrightarrow {B’C’}   cr  &  Leftrightarrow left( {l – k} right)overrightarrow {A’C’}  = left( {m – k} right)overrightarrow {B’C’} . cr} )

Vì hai vectơ (overrightarrow {A’C’} ) và (overrightarrow {B’C’} ) không cùng phương nên đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi (l – k = m – k = 0), tức là l=m=k, vậy (overrightarrow {AC}  = koverrightarrow {A’C’} ) và (overrightarrow {BC}  = koverrightarrow {B’C’} ).

Các đẳng thức còn lại được chứng minh tương tự.

Xét trường hợp (k = 1). Khi đó (overrightarrow {AB}  = overrightarrow {A’B’} ,overrightarrow {BC}  = overrightarrow {B’C’} ,…)nên

(overrightarrow {AA’}  = overrightarrow {BB’}  = overrightarrow {CC’}  = …)

Suy ra phép tịnh tiến theo vectơ (overrightarrow v  = overrightarrow {AA’} ) biến tứ diện ABCD thành tứ diện A’B’C’D’.

Nếu (k ne 1) thì hai đường thẳng AA’ và BB’ cắt nhau tại một điểm O nào đó.

Khi đó, rõ ràng phép vị tự V tâm O tỉ số ({1 over k}) biến tứ diện ABCD thành tứ diện A’B’C’D’.

Vậy trong cả hai trường hợp nói trên, hai tứ diện ABCD và A’B’C’D’ đồng dạng.


Bài 20:

Cho hai hình tứ diện ABCD và ABCD có các cạnh tương ứng tỉ lệ, nghĩa là:

({{A’B’} over {AB}} = {{B’C’} over {BC}} = {{C’D’} over {CD}} = {{D’A’} over {DA}} = {{A’C’} over {AC}} = {{B’D’} over {BD}} = k.)

Chứng minh rằng hai tứ diện đã cho đồng dạng.

Giải

Gọi V là một phép vị tự tâm O tỉ số k ( O là điểm bất kì), ({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}) là ảnh của tứ diện ABCD qua V.

Khi đó ({A_1}{B_1} = kAB,{B_1}{C_1} = kBC,{C_1}{D_1} = kCD,)

({D_1}{A_1} = kDA,{C_1}{A_1} = kCA,{B_1}{D_1} = kBD.)

Vậy ({A_1}{B_1} = A’B’,{B_1}{C_1} = B’C’,{C_1}{D_1} = C’D’,)

({D_1}{A_1} = D’A’,{C_1}{A_1} = C’A’,{B_1}{D_1} = B’D’.)

Do đó tứ diện A’B’C’D’ bằng tứ diện ({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}) suy ra hai tứ diện ABCD và A’B’C’D’ đồng dạng.


Bài 21:

Khẳng định sau đây đúng hay sai : “Nếu khối đa diện có 20 mặt là tam giác đều thì đó là khối hai mươi mặt đều” ?

Giải

Khẳng định đó không đúng.

Ta có thể ghép 9 khối tứ diện đều bằng nhau theo nhiều cách khác nhau để có được một khối đa diện có 20 mặt là tam giác đều.

 

The post Bài 3. Phép vị tự và sự đồng dạng của các khối đa diện – Giải SBT chương 1 Hình học 12 nâng cao appeared first on Sách Toán – Học toán.

Goc hoc tap