Bài 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số – Sách bài tập Toán 9 tập 2

Bài 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số – Sách bài tập Toán 9 tập 2

Bài 25 trang 11 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

(a)left{ {matrix{
{2x – 11y = – 7} cr
{10x + 11y = 31} cr} } right.)

(b)left{ {matrix{
{4x + 7y = 16} cr
{4x – 3y = – 24} cr} } right.)

(c)left{ {matrix{
{0,35x + 4y = – 2,6} cr
{0,75x – 6y = 9} cr} } right.)

(d)left{ {matrix{
{sqrt 2 x + 2sqrt 3 y = 5} cr
{4x – 3y = – 24} cr} } right.)

(e)left{ {matrix{
{10x – 9y = 8} cr
{15x + 21y = 0,5} cr} } right.)

(f)left{ {matrix{
{3,3x + 4,2y = 1} cr
{9x + 14y = 4} cr} } right.)

Giải: a)

(eqalign{
& left{ {matrix{
{2x – 11y = – 7} cr
{10x + 11y = 31} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{12x = 24} cr
{2x – 11y = – 7} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 2} cr
{2.2 – 11y = – 7} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 2} cr
{ – 11y = – 11} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 2} cr
{y = 1} cr} } right. cr} )

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x; y) = (2; 1)

b)

(eqalign{
& left{ {matrix{
{4x + 7y = 16} cr
{4x – 3y = – 24} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{10y = 40} cr
{4x – 3y = – 24} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = 4} cr
{4x – 3.4 = – 24} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = 4} cr
{4x = – 12} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = 4} cr
{x = – 3} cr} } right. cr} )

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x; y) = (-3; 4)

c)

(eqalign{
& left{ {matrix{
{0,35x + 4y = – 2,6} cr
{0,75x – 6y = 9} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{1,05x + 12y = – 7,8} cr
{1,5x – 12y = 18} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{2,55x = 10,2} cr
{0,75x – 6y = 9} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 4} cr
{0,75.4 – 6y = 9} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 4} cr
{ – 6y = 6} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 4} cr
{y = – 1} cr} } right. cr} )

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x; y) = (4; -1)

d)

(eqalign{
& left{ {matrix{
{sqrt 2 x + 2sqrt 3 y = 5} cr
{3sqrt 2 x – sqrt 3 y = {9 over 2}} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{sqrt 2 x + 2sqrt 3 y = 5} cr
{6sqrt 2 x – 2sqrt 3 y = 9} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{7sqrt 2 x = 14} cr
{sqrt 2 x + 2sqrt 3 y = 5} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = {{14} over {7sqrt 2 }}} cr
{sqrt 2 x + 2sqrt 3 y = 5} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = sqrt 2 } cr
{sqrt 2 .sqrt 2 + 2sqrt 3 y = 5} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = sqrt 2 } cr
{2sqrt 3 y = 3} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = sqrt 2 } cr
{y = {{sqrt 3 } over 2}} cr} } right. cr} )

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x; y) = (left( {sqrt 2 ;{{sqrt 3 } over 2}} right))

e)

(eqalign{
& left{ {matrix{
{10x – 9y = 8} cr
{15x + 21y = 0,5} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{30x – 27y = 24} cr
{30x + 42y = 1} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{69y = – 23} cr
{10x – 9y = 8} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = – {1 over 3}} cr
{10x – 9.left( { – {1 over 3}} right) = 8} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = – {1 over 3}} cr
{10x = 5} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = – {1 over 3}} cr
{x = {1 over 2}} cr} } right. cr} )

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x; y) = $left ({{1 over 2}; – {1 over 3}} right)$

f)

(eqalign{
& left{ {matrix{
{3,3x + 4,2y = 1} cr
{9x + 14y = 4} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{33x + 42y = 10} cr
{27x + 42y = 12} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{6x = – 2} cr
{9x + 14y = 4} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = – {1 over 3}} cr
{9.left( { – {1 over 3}} right) + 14y = 4} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = – {1 over 3}} cr
{14y = 7} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = – {1 over 3}} cr
{y = {1 over 2}} cr} } right. cr} )

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x; y) = (left( { – {1 over 3};{1 over 2}} right))


Bài 26 trang 11 SBT Đại số 9 tập 2

Giải các hệ phương trình sau:

(a)left{ {matrix{
{8x – 7y = 5} cr
{12x + 13y = – 8} cr} } right.)

(b)left{ {matrix{
{3sqrt 5 x – 4y = 15 – 2sqrt 7 } cr
{ – 2sqrt 5 x + 8sqrt 7 y = 18} cr} } right.)

Bài Giải: a)

(eqalign{
& left{ {matrix{
{8x – 7y = 5} cr
{12x + 13y = – 8} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{24x – 21y = 15} cr
{24x + 26y = – 16} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{47y = – 31} cr
{8x – 7y = 5} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = – {{31} over {47}}} cr
{8x – 7.left( { – {{31} over {47}}} right) = 5} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = – {{31} over {47}}} cr
{8x = 5 – {{217} over {47}}} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = – {{31} over {47}}} cr
{x = {9 over {188}}} cr} } right. cr} )

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x; y) = (left( {{9} over {188}}; – {{31} over {47}} right))

b)

(eqalign{
& left{ {matrix{
{3sqrt 5 x – 4y = 15 – 2sqrt 7 } cr
{ – 2sqrt 5 x + 8sqrt 7 y = 18} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{6sqrt 5 x – 8y = 30 – 4sqrt 7 } cr
{ – 6sqrt 5 x + 24sqrt 7 y = 54} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{left( {24sqrt 7 – 8} right)y = 84 – 4sqrt 7 } cr
{ – 2sqrt 5 x + 8sqrt 7 y = 18} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = {{4left( {21 – sqrt 7 } right)} over {8left( {3sqrt 7 – 1} right)}}} cr
{ – 2sqrt 5 x + 8sqrt 7 y = 18} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = {{left( {21 – sqrt 7 } right)left( {3sqrt 7 + 1} right)} over {2.left( {9.7 – 1} right)}}} cr
{ – 2sqrt 5 x + 8sqrt 7 y = 18} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = {{62sqrt 7 } over {2.62}}} cr
{ – 2sqrt 5 x + 8sqrt 7 y = 18} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = {{sqrt 7 } over 2}} cr
{ – 2sqrt 5 x + 8sqrt 7 .{{sqrt 7 } over 2} = 18} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = {{sqrt 7 } over 2}} cr
{ – 2sqrt 5 x = – 10} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = {{sqrt 7 } over 2}} cr
{x = {{10} over {2sqrt 5 }}} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = {{sqrt 7 } over 2}} cr
{x = sqrt 5 } cr} } right. cr} )

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x; y) = (left( {sqrt 5 ;{{sqrt 7 } over 2}} right))


Bài 27 trang 11 Sách bài tập Toán 9 tập 2

Giải các hệ phương trình:

(a)left{ {matrix{
{5left( {x + 2y} right) = 3x – 1} cr
{2x + 4 = 3left( {x – 5y} right) – 12} cr} } right.)

(b)left{ {matrix{
{4{x^2} – 5left( {y + 1} right) = {{left( {2x – 3} right)}^2}} cr
{3left( {7x + 2} right) = 5left( {2y – 1} right) – 3x} cr} } right.)

(c)left{ {matrix{
{{{2x + 1} over 4} – {{y – 2} over 3} = {1 over {12}}} cr
{{{x + 5} over 2} = {{y + 7} over 3} – 4} cr} } right.)

(d)left{ {matrix{
{{{3s – 2t} over 5} + {{5s – 3t} over 3} = s + 1} cr
{{{2s – 3t} over 3} + {{4s – 3t} over 2} = t + 1} cr} } right.)

Giải: a)

(eqalign{
& left{ {matrix{
{5left( {x + 2y} right) = 3x – 1} cr
{2x + 4 = 3left( {x – 5y} right) – 12} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{5x + 10y = 3x – 1} cr
{2x + 4 = 3x – 15y – 12} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{2x + 10y = – 1} cr
{x – 15y = 16} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{2x + 10y = – 1} cr
{2x – 30y = 32} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{40y = – 33} cr
{x – 15y = 16} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = – {{33} over {40}}} cr
{x – 15.left( { – {{33} over {40}}} right) = 16} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = – {{33} over {40}}} cr
{x = 16 – {{99} over 8}} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = – {{33} over {40}}} cr
{x = {{29} over 8}} cr} } right. cr} )

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x; y) = (left( {{{29} over 8}; – {{33} over {40}}} right))

b) (eqalign{
& left{ {matrix{
{4{x^2} – 5left( {y + 1} right) = {{left( {2x – 3} right)}^2}} cr
{3left( {7x + 2} right) = 5left( {2y – 1} right) – 3x} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{4{x^2} – 5y – 5 = 4{x^2} – 12x + 9} cr
{21x + 6 = 10y – 5 – 3x} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{12x – 5y = 14} cr
{24x – 10y = – 11} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{24x – 10y = 28} cr
{24x – 10y = – 11} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{0x + 0y = 39} cr
{24x – 10y = – 11} cr} } right. cr} )

Phương trình: 0x + 0y = 39 vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

c) (eqalign{
& left{ {matrix{
{{{2x + 1} over 4} – {{y – 2} over 3} = {1 over {12}}} cr
{{{x + 5} over 2} = {{y + 7} over 3} – 4} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{3left( {2x + 1} right) – 4left( {y – 2} right) = 1} cr
{3left( {x + 5} right) = 2left( {y + 7} right) – 24} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{6x + 3 – 4y + 8 = 1} cr
{3x + 15 = 2y + 14 – 24} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{6x – 4y = – 10} cr
{3x – 2y = – 25} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{3x – 2y = – 5} cr
{3x – 2y = – 25} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{0x + 0y = 20} cr
{3x – 2y = 25} cr} } right. cr} )

Phương trình 0x + 0y = 20 vô nghiệm

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm

d) (eqalign{
& left{ {matrix{
{{{3s – 3t} over 5} + {{5s – 3t} over 3} = s + 1} cr
{{{2s – 3t} over 3} + {{4s – 3t} over 2} = t + 1} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{3left( {3s – 2t} right) + 5left( {5s – 3t} right) = 15s + 15} cr
{2left( {2s – 3t} right) + 3left( {4s – 3t} right) = 6t + 6} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{9s – 6t + 25s – 15t = 15s + 15} cr
{4s – 6t + 12s – 9t = 6t + 6} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{19s – 21t = 15} cr
{16s – 21t = 6} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{3s = 9} cr
{16s – 21t = 6} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{s = 3} cr
{16.3 – 21t = 6} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{s = 3} cr
{21t = 48 – 6} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{s = 3} cr
{t = 2} cr} } right. cr} )

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (s; t) = (3; 2).


Bài 28 trang 11 SBT Toán 9 tập 2

Tìm hai số a và b sao cho 5a – 4b = -5 và đường thẳng ax + by = -1 đi qua điểm A (-7; 4).

Giải: Đường thẳng ax + by = -1 đi qua điểm A (-7; 4) nên tọa độ của A nghiệm đúng phương trình đường thẳng nên -7a + 4b = -1.

Theo bài ra ta có phương trình:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{ – 7a + 4b = – 1} cr
{5a – 4b = – 5} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{ – 2a = – 6} cr
{5a – 4b = – 5} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{a = 3} cr
{5.3 – 4b = – 5} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{a = 3} cr
{ – 4b = – 20} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{a = 3} cr
{b = 5} cr} } right. cr} )

Vậy hai ẩn a và b tìm được (a; b) = (3; 5).


Bài 29 trang 11 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Tìm giá trị của a và b để đường thẳng ax – by = 4 đi qua hai điểm A (4; 3), B(-6; -7).

Giải: Đường thẳng ax – by = 4 đi qua A(4; 3) và B(-6; -7) nên tọa độ A và B nghiệm đúng phương trình đường thẳng.

Điểm A: 4a – 3b = 4

Điểm B: – 6a + 7b = 4

Hai số a và b là nghiệm của hệ phương trình:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{4a – 3b = 4} cr
{ – 6a + 7b = 4} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{12a – 9b = 12} cr
{ – 12a + 14b = 8} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{5b = 20} cr
{4a – 3b = 4} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = 4} cr
{4a – 3.4 = 4} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = 4} cr
{4a = 16} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = 4} cr
{a = 4} cr} } right. cr} )

Vậy hằng số a = 4; b = 4.


Bài 30 trang 11 SBT Toán 9 tập 2

Giải các hệ phương trình sau theo hai cách (cách thứ nhất: đưa hệ phương trình về dạng

(left{ {matrix{
{ax + by = c} cr
{a’x + b’y = c’} cr} } right.);

cách thứ hai: đặt ẩn phụ, chẳng hạn 3x – 2 = s, 3y + 2 = t):

(a)left{ {matrix{
{2left( {3x – 2} right) – 4 = 5left( {3y + 2} right)} cr
{4left( {3x – 2} right) + 7left( {3y + 2} right) = – 2} cr} } right.)

(b)left{ {matrix{
{3left( {x + y} right) + 5left( {x – y} right) = 12} cr
{ – 5left( {x + y} right) + 2left( {x – y} right) = 11} cr} } right.)

Giải: a) Cách 1:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{2left( {3x – 2} right) – 4 = 5left( {3y + 2} right)} cr
{4left( {3x – 2} right) + 7left( {3y + 2} right) = – 2} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{6x – 4 – 4 = 15y + 10} cr
{12x – 8 + 21y + 14 = – 2} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{6x – 15y = 18} cr
{12x + 21y = – 8} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{12x – 30y = 36} cr
{12x + 21y = – 8} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{6x – 15y = 18} cr
{51y = – 44} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{2x – 5y = 6} cr
{y = – {{44} over {51}}} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{2x = 6 – {{220} over {51}}} cr
{y = – {{44} over {51}}} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{2x = {{86} over {51}}} cr
{y = – {{44} over {51}}} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = {{43} over {51}}} cr
{y = – {{44} over {51}}} cr} } right. cr} )

Cách 2: Đặt 3x – 2 = s, 3y + 2 = t ta có hệ phương trình:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{2s – 4 = 5t} cr
{4s + 7t = – 2} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{4s – 10t = 8} cr
{4s + 7t = – 2} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{17t = – 10} cr
{2s – 5t = 4} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{t = – {{10} over {17}}} cr
{2s – 5t = 4} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{t = – {{10} over {17}}} cr
{2s – 5.left( { – {{10} over {17}}} right) = 4} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{t = – {{10} over {17}}} cr
{2s = 4 – {{50} over {17}}} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{t = – {{10} over {17}}} cr
{s = {9 over {17}}} cr} } right. cr} )

Suy ra:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{3x – 2 = {9 over {17}}} cr
{3y + 2 = – {{10} over {17}}} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{3x = 2 + {9 over {17}}} cr
{3y = – {{10} over {17}} – 2} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{3x = {{43} over {17}}} cr
{3y = – {{44} over {17}}} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = {{43} over {51}}} cr
{y = – {{44} over {51}}} cr} } right. cr} )

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x; y) = (left( {{{43} over {51}}; – {{44} over {51}}} right))

b) Cách 1:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{3left( {x + y} right) + 5left( {x – y} right) = 12} cr
{ – 5left( {x + y} right) + 2left( {x – y} right) = 11} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{3x + 3y + 5x – 5y = 12} cr
{ – 5x – 5y + 2x – 2y = 11} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{8x – 2y = 12} cr
{ – 3x – 7y = 11} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{4x – y = 6} cr
{3x + 7y = – 11} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{12x – 3y = 18} cr
{12x + 28y = – 44} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{31y = – 62} cr
{4x – y = 6} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = – 2} cr
{4x + 2 = 6} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = – 2} cr
{x = 1} cr} } right. cr} )

Cách 2: Đặt x + y = s; x – y = t ta có hệ phương trình:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{3s + 5t = 12} cr
{ – 5s + 2t = 11} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{15s + 25t = 60} cr
{ – 15s + 6t = 33} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{31t = 93} cr
{ – 5s + 2t = 11} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{t = 3} cr
{ – 5s + 2.3 = 11} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{t = 3} cr
{s = – 1} cr} } right. cr} )

Suy ra:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{x + y = – 1} cr
{x – y = 3} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{2x = 2} cr
{x – y = 3} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 1} cr
{1 – y = 3} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 1} cr
{y = – 2} cr} } right. cr} )

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x; y) =  (1; -2).

Câu 31 trang 12 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Tìm giá trị của m để nghiệm của hệ phương trình

(left{ {matrix{
{{{x + 1} over 3} – {{y + 2} over 4} = {{2left( {x – y} right)} over 5}} cr
{{{x – 3} over 4} – {{y – 3} over 3} = 2y – x} cr} } right.)

cũng là nghiệm của phương trình 3mx – 5y = 2m + 1.

Giải

Giải hệ phương trình:

(eqalign{
& left( I right)left{ {matrix{
{{{x + 1} over 3} – {{y + 2} over 4} = {{2left( {x – y} right)} over 5}} cr
{{{x – 3} over 4} – {{y – 3} over 3} = 2y – x} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{20x + 20 – 15y – 30 = 24x – 24y} cr
{3x – 9 – 4y + 12 = 24y – 12x} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{4x – 9y = – 10} cr
{15x – 28y = – 3} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{60x – 135y = – 150} cr
{60x – 112y = – 12} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{ – 23y = – 138} cr
{4x – 9y = – 10} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = 6} cr
{4x – 9.6 = – 10} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = 6} cr
{4x = 44} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = 6} cr
{x = 11} cr} } right. cr} )

Cặp (x; y) = (11; 6) là nghiệm của phương trình 3mx – 5y = 2m + 1

Thay x = 11; y = 6 ta có:

(33m – 30 = 2m + 1 Leftrightarrow 31m = 31 Leftrightarrow m = 1)

Vậy với m = 1 thì nghiệm của hệ (I) cũng là nghiệm của phương trình:

3mx – 5y = 2m + 1.


Bài 32 SBT Toán 9 trang 12

Tìm giá trị của m để đường thẳng (d): (y = left( {2m – 5} right)x – 5m) đi qua giao điểm của hai đường thẳng (left( {{d_1}} right):2x + 3y = 7) và (left( {{d_2}} right):3x + 2y = 13)

Giải

Tọa độ giao điểm M của (d1) và (d2) là nghiệm của hệ phương trình:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{2x + 3y = 7} cr
{3x + 2y = 13} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{4x + 6y = 14} cr
{9x + 6y = 39} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{5x = 25} cr
{3x + 2y = 13} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 5} cr
{3.5 + 2y = 13} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 5} cr
{y = – 1} cr} } right. cr} )

Tọa độ M (5; -1)

Đường thẳng (left( d right):y = left( {2m – 5} right)x – 5m) đi qua M(5; -1) nên tọa độ của M nghiệm đúng phương trình đường thẳng:

(eqalign{
& – 1 = left( {2m – 5} right).5 – 5m Leftrightarrow – 1 = 10m – 25 – 5m cr
& Leftrightarrow 5m = 24 Leftrightarrow m = 4,8 cr} )

Vậy với m = 4,8 thì đường thẳng (d) đi qua giao điểm của (d1) và (d2).


Bài 33 trang 12 Sách bt Toán 9

Tìm giá trị của m để ba đường thẳng sau đồng quy:

(eqalign{
& left( {{d_1}} right):5x + 11y = 8 cr
& left( {{d_2}} right):10x – 7y = 74 cr
& left( {{d_3}} right):4mx + left( {2m – 1} right)y = m + 2 cr} )

Giải: Tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là nghiệm của hệ phương trình:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{5x + 11y = 8} cr
{10x – 7y = 74} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{10x + 22y = 16} cr
{10x – 7y = 74} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{29y = – 58} cr
{5x + 11y = 8} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = – 2} cr
{5x + 11.left( { – 2} right) = 8} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = – 2} cr
{5x = 30} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = – 2} cr
{x = 6} cr} } right. cr} )

Tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là (x; y) = (6; -2)

Để ba đường thẳng đồng quy thì đường thẳng (d3) phải đi qua giao điểm của hai đường thẳng (d1) và (d2) nên cặp (6; -2) nghiệm đúng phương trình đường thẳng (d3).

Thay x = 6; y = -2 ta có:

(eqalign{
& 24m + left( {2m – 1} right)left( { – 2} right) = m + 2 cr
& Leftrightarrow 24m – 4m + 2 = m + 2 cr
& Leftrightarrow 19m = 0 cr
& Leftrightarrow + = 0 cr} )

Vậy với m = 0 thì ba đường thẳng (d1), (d2), (d3) đồng quy tại điểm có tọa độ (6; -2).


Bài 34 trang 12 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Nghiệm chung của ba phương trình đã cho được gọi là nghiệm của hệ gồm ba phương trình ấy. Giải hệ phương trình là tìm nghiệm chung của tất cả các phương trình trong hệ. Hãy giải các hệ phương trình sau:

(a)left{ {matrix{
{3x + 5y = 34} cr
{4x – 5y = – 13} cr
{5x – 2y = 5} cr} } right.)

(b)left{ {matrix{
{6x – 5y = – 49} cr
{ – 3x + 2y = 22} cr
{7x + 5y = 10} cr} } right.)

Giải: (a)left{ {matrix{
{3x + 5y = 34} cr
{4x – 5y = – 13} cr
{5x – 2y = 5} cr} } right.)

Ta giải hệ phương trình:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{3x + 5y = 34} cr
{4x – 5y = – 13} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{7x = 21} cr
{4x – 5y = – 13} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 3} cr
{4.3 – 5y = – 13} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 3} cr
{ – 5y = – 25} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 3} cr
{y = 5} cr} } right. cr} )

Thay x = 3 và y = 5 vào vế trái phương trình (3):

(5.3 – 2.5 = 15 – 10 = 5)

Vậy cặp nghiệm (x; y) = (3; 5) là nghiệm của phương trình (3).

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x; y) =  (3;5)

(b)left{ {matrix{
{6x – 5y = – 49} cr
{ – 3x + 2y = 22} cr
{7x + 5y = 10} cr} } right.)

Ta giải hệ phương trình:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{6x – 5y = – 49} cr
{7x + 5y = 10} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{13x = – 39} cr
{7x + 5y = 10} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = – 3} cr
{7.left( { – 3} right) + 5y = 10} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = – 3} cr
{y = {{31} over 5}} cr} } right. cr} )

Thay x = -3; (y = {{31} over 5}) vào vế trái phương trình (2):

( – 3.left( { – 3} right) + 2.{{31} over 5} = 9 + {{62} over 5} = {{107} over 5} ne 22)

Vậy cặp (left( {x =  – 3;y = {{31} over 5}} right)) không phải là nghiệm của phương trình (2).

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.


Câu 4.1, 4.2, 4.3 trang 12, 13 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Câu 4.1

Giải các hệ phương trình:

(a)left{ {matrix{
{{3 over x} + {5 over y} = – {3 over 2}} cr
{{5 over x} – {2 over y} = {8 over 3}} cr} } right.)

(b)left{ {matrix{
{{2 over {x + y – 1}} – {4 over {x – y + 1}} = – {{14} over 5}} cr
{{3 over {x + y – 1}} + {2 over {x – y + 1}} = – {{13} over 5}} cr} } right.)

Giải

(a)left{ {matrix{
{{3 over x} + {5 over y} = – {3 over 2}} cr
{{5 over x} – {2 over y} = {8 over 3}} cr} } right.)

Đặt ({1 over x} = a;{1 over y} = b.) Điều kiện: (x ne 0;y ne 0)

Ta có hệ phương trình:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{3a + 5b = – {3 over 2}} cr
{5a – 2b = {8 over 3}} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{6a + 10b = – 3} cr
{15a – 6b = 8} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{30a + 50b = – 15} cr
{30a – 12b = 16} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{62b = – 31} cr
{6a + 10b = – 3} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = – {1 over 2}} cr
{6a + 10.left( { – {1 over 2}} right) = – 3} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = – {1 over 2}} cr
{6a = 2} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = – {1 over 2}} cr
{a = {1 over 3}} cr} } right. cr} )

Suy ra:

(left{ {matrix{
{{1 over x} = {1 over 3}} cr
{{1 over y} = – {1 over 2}} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 3} cr
{y = – 2} cr} } right.)

Hai giá trị của x và y thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x; y) =  (3; -2)

(b)left{ {matrix{
{{2 over {x + y – 1}} – {4 over {x – y + 1}} = – {{14} over 5}} cr
{{3 over {x + y – 1}} + {2 over {x – y + 1}} = – {{13} over 5}} cr} } right.)

Đặt ({1 over {x + y – 1}} = a;{1 over {x – y + 1}} = b.) Điều kiện: (x + y – 1 ne 0;x – y + 1 ne 0)

Ta có hệ phương trình:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{2a – 4b = – {{14} over 5}} cr
{3a + 2b = – {{13} over 5}} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{2a – 4b = – {{14} over 5}} cr
{6a + 4b = – {{26} over 5}} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{8a = – 8} cr
{3a + 2b = – {{13} over 5}} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{a = – 1} cr
{ – 3 + 2b = – {{13} over 5}} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{a = – 1} cr
{b = {1 over 5}} cr} } right. cr} )

Suy ra:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{{1 over {x + y – 1}} = – 1} cr
{{1 over {x – y + 1}} = {1 over 5}} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{x + y – 1 = – 1} cr
{x – y + 1 = 5} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{x + y = 0} cr
{x – y = 4} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{2x = 4} cr
{x – y = 4} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 2} cr
{2 – y = 4} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 2} cr
{y = – 2} cr} } right. cr} )

Hai giá trị x = 2; y = -2 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x; y) =  (2; -2)

Câu 4.2

Hãy xác định hàm số bậc nhất thỏa mãn mỗi điều kiện sau:

a) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm M(-3; 1) và N(1; 2)

b) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm (Mleft( {sqrt 2 ;1} right)) và (Nleft( {3;3sqrt 2  – 1} right))

c) Đồ thị đi qua điểm M(-2; 9) và cắt đường thẳng (d): 3x – 5y = 1 tại điểm có hoành độ bằng 2.

Giải

Hàm số bậc nhất có dạng y = ax + b (a ≠ 0)

a) Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua M(-3; 1) và N(1; 2) nên tọa độ của M và N nghiệm đúng phương trình hàm số.

Điểm M: 1 = -3a + b

Điểm N: 2 = a + b

Hai số a và b là nghiệm của hệ phương trình:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{ – 3a + b = 1} cr
{a + b = 2} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{4a = 1} cr
{a + b = 2} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{a = {1 over 4}} cr
{{1 over 4} + b = 2} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{a = {1 over 4}} cr
{b = {7 over 4}} cr} } right. cr} )

Hàm số cần tìm: $y = {1 over 4}x + {7 over 4})

b) Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua (Mleft( {sqrt 2 ;1} right)) và (Nleft( {3;3sqrt 2  – 1} right)) nên tọa độ của M và N nghiệm đúng phương trình hàm số.

Điểm M: (1 = asqrt 2  + b)

Điểm N:  (3sqrt 2  – 1 = 3a + b)

Hai số a và b là nghiệm của hệ phương trình:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{asqrt 2 + b = 1} cr
{3a + b = 3sqrt 2 – 1} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{left( {3 – sqrt 2 } right)a = 3sqrt 2 – 2} cr
{asqrt 2 + b = 1} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{left( {3 – sqrt 2 } right)a = sqrt 2 left( {3 – sqrt 2 } right)} cr
{asqrt 2 + b = 1} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{a = sqrt 2 } cr
{{{left( {sqrt 2 } right)}^2} + b = 1} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{a = sqrt 2 } cr
{2 + b = 1} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{a = sqrt 2 } cr
{b = – 1} cr} } right. cr} )

Hàm số cần tìm: (y = sqrt 2 x – 1)

c) Điểm N nằm trên đường thẳng (d): 3x – 5y = 1 có hoành độ bằng 2 nên tung độ của N bằng: (3.2 – 5y = 1 Leftrightarrow  – 5y =  – 5 Leftrightarrow y = 1)

Điểm N( 2; 1)

Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua M(-2; 9) và N(2; 1) nên tọa độ của M và N nghiệm đúng phương trình hàm số.

Điểm M: 9 = -2a + b

Điểm N: 1 =2a + b

Hai số a và b là nghiệm của hệ phương trình:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{ – 2a + b = 9} cr
{2a + b = 1} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{2b = 10} cr
{2a + b = 1} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = 5} cr
{2a + 5 = 1} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = 5} cr
{2a = – 4} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = 5} cr
{a = – 2} cr} } right. cr} )

Hàm số cần tìm là y =  – 2x + 5

Câu 4.3

Giải hệ phương trình:

(left{ {matrix{
{{{xy} over {x + y}} = {2 over 3}} cr
{{{yz} over {y + z}} = {6 over 5}} cr
{{{zx} over {z + x}} = {3 over 4}} cr} } right.)

Giải

Điều kiện: (x ne  – y;y ne  – z;z ne  – x)

Từ hệ phương trình đã cho suy ra: $x ne 0;y ne 0;z ne 0)

(left{ {matrix{
{{{xy} over {x + y}} = {2 over 3}} cr
{{{yz} over {y + z}} = {6 over 5}} cr
{{{zx} over {z + x}} = {3 over 4}} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{{{x + y} over {xy}} = {3 over 2}} cr
{{{y + z} over {yz}} = {5 over 6}} cr
{{{z + x} over {zx}} = {4 over 3}} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{{1 over x} + {1 over y} = {3 over 2}} cr
{{1 over y} + {1 over z} = {5 over 6}} cr
{{1 over z} + {1 over x} = {4 over 3}} cr} } right.)

Đặt ({1 over x} = a;{1 over y} = b;{1 over z} = c)

Ta có hệ phương trình:

(left{ {matrix{
{a + b = {3 over 2}} cr
{b + c = {5 over 6}} cr
{c + a = {4 over 3}} cr} } right.)

Cộng từng vế ba phương trình ta có:

(eqalign{
& a + b + b + c + c + a = {3 over 2} + {5 over 6} + {4 over 3} cr
& Leftrightarrow 2left( {a + b + c} right) = {9 over 6} + {5 over 6} + {8 over 6} cr
& Leftrightarrow a + b + c = {{11} over 6} cr
& a = left( {a + b + c} right) – left( {b + c} right) = {{11} over 6} – {5 over 6} = 1 cr
& b = left( {a + b + c} right) – left( {c + a} right) = {{11} over 6} – {4 over 3} = {{11} over 6} – {8 over 6} = {1 over 2} cr
& c = left( {a + b + c} right) – left( {a + b} right) = {{11} over 6} – {3 over 2} = {{11} over 6} – {9 over 6} = {1 over 3} cr} )

Suy ra:

(left{ {matrix{
{{1 over x} = 1} cr
{{1 over y} = {1 over 2}} cr
{{1 over z} = {1 over 3}} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 1} cr
{y = 2} cr
{z = 3} cr} } right.)

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x; y; z) = (1; 2; 3).

 

The post Bài 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số – Sách bài tập Toán 9 tập 2 appeared first on Sách Toán – Học toán.

Goc hoc tap