Bài 4 liên hệ giữa phép chia và phép khai phương Sách bài tập Toán 9 tập 1

Câu 36 trang 10 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Áp dụng quy tắc khai phương một thương , hãy tính:

a) (sqrt {{9 over {169}}} );

b) (sqrt {{{25} over {144}}} );

c) (sqrt {1{9 over {16}}} );

d) (sqrt {2{7 over {81}}} ).

Gợi ý làm bài

a) (sqrt {{9 over {169}}}  = {{sqrt 9 } over {sqrt {169} }} = {3 over {13}})

b) (sqrt {{{25} over {144}}}  = {{sqrt {25} } over {sqrt {144} }} = {5 over {12}})

c) (sqrt {1{9 over {16}}}  = sqrt {{{25} over {16}}}  = {{sqrt {25} } over {sqrt {16} }} = {5 over 4})

d) (sqrt {2{7 over {81}}}  = sqrt {{{169} over {81}}}  = {{sqrt {169} } over {sqrt {81} }} = {{13} over 9})

 


Câu 37 trang 11 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Áp dụng quy tắc chia hai căn bậc hai, hãy tính:

a) ({{sqrt {2300} } over {sqrt {23} }})

b) ({{sqrt {12,5} } over {sqrt {0,5} }})

c) ({{sqrt {192} } over {sqrt {12} }})

d) ({{sqrt 6 } over {sqrt {150} }})

Gợi ý làm bài

a) ({{sqrt {2300} } over {sqrt {23} }} = sqrt {{{2300} over {23}}}  = sqrt {100}  = 10)

b) ({{sqrt {12,5} } over {sqrt {0,5} }} = sqrt {{{12,5} over {0,5}}}  = sqrt {25}  = 5)

c) ({{sqrt {192} } over {sqrt {12} }} = sqrt {{{192} over {12}}}  = sqrt {16}  = 4)

d) ({{sqrt 6 } over {sqrt {150} }} = sqrt {{6 over {150}}}  = sqrt {{1 over {50}}}  = {1 over 5})

 


Câu 38 trang 11 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho các biểu thức:

A= (sqrt {{{2x + 3} over {x – 3}}} ) và B = ({{sqrt {2x + 3} } over {sqrt {x – 3} }})

a) Tìm x để A có nghĩa. Tìm x để B có nghĩa .

b) Với giá trị nào của x thì A=B ?

Gợi ý làm bài

a) Ta có: (sqrt {{{2x + 3} over {x – 3}}} ) có nghĩa khi và chỉ khi ({{2x + 3} over {x – 3}} ge 0)

Trường hợp 1: 

(eqalign{
& left{ matrix{
2x + 3 ge 0 hfill cr
x – 3 ge 0 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
2x ge 3 hfill cr
x ge 3 hfill cr} right. cr
& Leftrightarrow left{ matrix{
x ge – {3 over 2} hfill cr
x ge 3 hfill cr} right. Leftrightarrow x ge 3 cr} )

Trường hợp 2: 

(eqalign{
& left{ matrix{
2x + 3 le 0 hfill cr
x – 3 < 0 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
2x < – 3 hfill cr
x < 3 hfill cr} right. cr
& Leftrightarrow left{ matrix{
x le – {3 over 2} hfill cr
x < 3 hfill cr} right. Leftrightarrow x le – {3 over 2} cr} )

Vậy với x > 3 hoặc x ( le ) ( – {3 over 2}) thì biểu thức A có nghĩa.

Ta có: ({{sqrt {2x + 3} } over {sqrt {x – 3} }})  có nghĩa khi và chỉ khi:

(eqalign{
& left{ matrix{
2x – 3 ge 0 hfill cr
x – 3 ge 0 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
2x ge – 3 hfill cr
x > 3 hfill cr} right. cr
& Leftrightarrow left{ matrix{
x ge – {3 over 2} hfill cr
x > 3 hfill cr} right. Leftrightarrow x > 3 cr} )

Vậy x > 3 thì biểu thức B có nghĩa.

b) Với x > 3 thì A và B đồng thời có nghĩa.

Vậy với x > 3 thì A = B.

 

Câu 39 trang 11 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Biểu diễn (sqrt {{a over b}} ) với a < 0 và b < 0 ở dạng thương của hai căn thức.

Áp dụng tính (sqrt {{{ – 49} over { – 81}}} )

Gợi ý làm bài

Ta có:  a < 0 nên –a > 0; b < 0 nên –b > 0

(sqrt {{a over b}}  = sqrt {{{ – a} over { – b}}}  = {{sqrt { – a} } over {sqrt { – b} }})

Áp dụng: (sqrt {{{ – 49} over { – 81}}}  = {{sqrt {49} } over {sqrt {81} }} = {7 over 9})

 


Câu 40 trang 11 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Rút gọn các biểu thức:

a) ({{sqrt {63{y^3}} } over {sqrt {7y} }}) (y>0);

b) ({{sqrt {48{x^3}} } over {sqrt {3{x^5}} }}) (x > 0);

c) ({{sqrt {45m{n^2}} } over {sqrt {20m} }}) (m > 0 và n > 0);

d) ({{sqrt {16{a^4}{b^6}} } over {sqrt {128{a^6}{b^6}} }}) (a < 0 và b ≠ 0).

Gợi ý làm bài

a) (eqalign{
& {{sqrt {63{y^3}} } over {sqrt {7y} }} = sqrt {{{63{y^3}} over {7y}}} = sqrt {9{y^2}} cr
& = sqrt 9 .sqrt {{y^2}} = 3.left| y right| = 3y cr} ) (y>0)

b) (eqalign{
& {{sqrt {48{x^3}} } over {sqrt {3{x^5}} }} = sqrt {{{48{x^3}} over {3{x^5}}}} cr
& = sqrt {{{16} over {{x^2}}}} = {4 over {left| x right|}} = {4 over x} cr} ) (x > 0)

c) (eqalign{
& {{sqrt {45m{n^2}} } over {sqrt {20m} }} = sqrt {{{45m{n^2}} over {20m}}} cr
& = sqrt {{{9{n^2}} over 4}} = {{sqrt {9{n^2}} } over {sqrt 4 }} = {{3left| n right|} over 2} = {{3n} over 2} cr} ) (m > 0 và n > 0)

d) (eqalign{
& {{sqrt {16{a^4}{b^6}} } over {sqrt {128{a^6}{b^6}} }} = sqrt {{{16{a^4}{b^6}} over {128{a^6}{b^6}}}} = sqrt {{1 over {8{a^2}}}} cr
& = {{sqrt 1 } over {sqrt {4{a^2}.2} }} = {1 over {2left| a right|sqrt 2 }} = {{ – 1} over {2asqrt 2 }} cr} )

(a < 0 và b ≠0)

 


Câu 41 trang 11,12 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Rút gọn các biểu thức:

a) (sqrt {{{x – 2sqrt x  + 1} over {x + 2sqrt x  + 1}}} ) (x ≥ 0);

b) ({{x – 1} over {sqrt y  – 1}}sqrt {{{{{(y – 2sqrt y  + 1)}^2}} over {{{(x – 1)}^4}}}} ) (x ≠1, y ≠ 1 và y ≥ 0).

Gợi ý làm bài

a) Vì x ≥ 0 nên (x = {left( {sqrt x } right)^2})

Ta có:

(eqalign{
& sqrt {{{x – 2sqrt x + 1} over {x + 2sqrt x + 1}}} cr
& = sqrt {{{{{left( {sqrt x } right)}^2} – 2sqrt x + 1} over {{{left( {sqrt x } right)}^2} + 2sqrt x + 1}}} cr
& = sqrt {{{{{left( {sqrt x – 1} right)}^2}} over {{{left( {sqrt x + 1} right)}^2}}}} cr} )

( = {{sqrt {{{left( {sqrt x  – 1} right)}^2}} } over {sqrt {{{left( {sqrt x  + 1} right)}^2}} }} = {{left| {sqrt x  – 1} right|} over {left| {sqrt x  + 1} right|}} = {{left| {sqrt x  – 1} right|} over {sqrt x  + 1}})

– Nếu (sqrt x  – 1 ge 0 Leftrightarrow x ge 1)  thì (left| {sqrt x  – 1} right| = sqrt x  – 1)

Ta có: ({{left| {sqrt x  – 1} right|} over {sqrt x  + 1}} = {{sqrt x  – 1} over {sqrt x  + 1}}) (với x ≥ 1)

– Nếu (sqrt x  – 1 < 0 Leftrightarrow x < 1) thì (left| {sqrt x  – 1} right| = 1 – sqrt x )

Ta có: ({{left| {sqrt x  – 1} right|} over {sqrt x  + 1}} = {{1 – sqrt x } over {sqrt x  + 1}}) (với 0 ≤ x < 1)

b) Vì y ≥ 0 nên (y = {left( {sqrt y } right)^2})

Ta có:

(eqalign{
& {{x – 1} over {sqrt y – 1}}sqrt {{{{{left( {y – 2sqrt y + 1} right)}^2}} over {{{(x – 1)}^4}}}} cr
& = {{x – 1} over {sqrt y – 1}}{{sqrt {{{left( {y – 2sqrt y + 1} right)}^2}} } over {sqrt {{{(x – 1)}^4}} }} cr} )

(eqalign{
& = {{x – 1} over {sqrt y – 1}}{{left| {y – 2sqrt y + 1} right|} over {{{(x – 1)}^2}}} cr
& = {{left| {{{left( {sqrt y } right)}^2} – 2sqrt y + 1} right|} over {left( {sqrt y – 1} right)(x – 1)}} = {{left| {{{left( {sqrt y – 1} right)}^2}} right|} over {left( {sqrt y – 1} right)(x – 1)}} cr} )

( = {{{{left( {sqrt y  – 1} right)}^2}} over {left( {sqrt y  – 1} right)(x – 1)}} = {{sqrt y  – 1} over {x – 1}}) (x ≠ 1, y ≠ 1, y ≥ 0)

 


Câu 42 trang 12 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Rút gọn biểu thức với điều kiện đã cho của x rồi tính giá trị của nó:

a) (sqrt {{{{{(x – 2)}^4}} over {{{(3 – x)}^2}}}}  + {{{x^2} – 1} over {x – 3}})

(x < 3); tại x = 0,5 ;

b) (4x – sqrt 8  + {{sqrt {{x^3} + 2{x^2}} } over {sqrt {x + 2} }})

(x > -2); tại x = ( – sqrt 2 )

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

(eqalign{
& sqrt {{{{{(x – 2)}^4}} over {{{(3 – x)}^2}}}} + {{{x^2} – 1} over {x – 3}} cr
& = {{sqrt {{{(x – 2)}^4}} } over {sqrt {{{(3 – x)}^2}} }} + {{{x^2} – 1} over {x – 3}} cr
& = {{{{(x – 2)}^2}} over {left| {3 – x} right|}} + {{{x^2} – 1} over {x – 3}} cr} )

(eqalign{
& = {{{x^2} – 4x + 4} over {3 – x}} + {{{x^2} – 1} over {x – 3}} cr
& = {{ – {x^2} + 4x + 4} over {x – 3}} + {{{x^2} – 1} over {x – 3}} cr} )

( = {{4x – 5} over {x – 3}}) (x<3)

Với x = 0,5 ta có:

(eqalign{
& {{4.0,5 – 5} over {0,5 – 3}} = {{ – 3} over { – 2,5}} cr
& = {3 over {2,5}} = {6 over 5} = 1,2 cr} )

b) Ta có:

(eqalign{
& 4x – sqrt 8 + {{sqrt {{x^3} + 2{x^2}} } over {sqrt {x + 2} }} cr
& = 4x – sqrt 8 + sqrt {{{{x^3} + 2{x^2}} over {x + 2}}} cr} )

(eqalign{
& = 4x – sqrt 8 + sqrt {{{{x^2}(x + 2)} over {x + 2}}} cr
& = 4x – sqrt 8 + sqrt {{x^2}} = 4x – sqrt 8 + left| x right| cr} ) (x > -2)

– Nếu x > 0 thì (left| x right| = x)

Ta có:

(eqalign{
& 4x – sqrt 8 + left| x right| cr
& = 4x – sqrt 8 + x = 5x – sqrt 8 cr} )

Với (x =  – sqrt 2 ) ta có:

(5left( { – sqrt 2 } right) – sqrt 8  =  – 5sqrt 2  – 2sqrt 2  =  – 7sqrt 2 )

– Nếu -2 < x < 0 thì (left| x right| =  – x)

Ta có:

(4x – sqrt 8  + left| x right| = 4x – sqrt 8  – x = 3x – sqrt 8 )

Với (x =  – sqrt 2 ) ta có: (3left( { – sqrt 2 } right) – sqrt 8  =  – 3sqrt 2  – 2sqrt 2  =  – 5sqrt 2 )

Câu 43 trang 12 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Tìm x thỏa mãn điều kiện

a) (sqrt {{{2x – 3} over {x – 1}}}  = 2)

b) ({{sqrt {2x – 3} } over {sqrt {x – 1} }} = 2)

c) (sqrt {{{4x + 3} over {x + 1}}}  = 3)

d) ({{sqrt {4x + 3} } over {sqrt {x + 1} }} = 3.)

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

(sqrt {{{2x – 3} over {x – 1}}} )  xác định khi và chỉ khi  ({{2x – 3} over {x – 1}} ge 0)

Trường hợp 1:  

(eqalign{
& left{ matrix{
2x – 3 ge 0 hfill cr
x – 1 > 0 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
2x ge 3 hfill cr
x > 1 hfill cr} right. cr
& Leftrightarrow left{ matrix{
x ge 1,5 hfill cr
x > 1 hfill cr} right. Leftrightarrow x ge 1,5 cr} )

Trường hợp 2: 

(eqalign{
& left{ matrix{
2x – 3 le 0 hfill cr
x – 1 < 0 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
2x le 3 hfill cr
x < 1 hfill cr} right. cr
& Leftrightarrow left{ matrix{
x le 1,5 hfill cr
x < 1 hfill cr} right. Leftrightarrow x < 1 cr} )

Với x ≥ 1,5 hoặc x < 1 ta có:

(eqalign{
& sqrt {{{2x – 3} over {x – 1}}} = 2 Leftrightarrow {{2x – 3} over {x – 1}} = 4 cr
& Leftrightarrow 2x – 3 = 4(x – 1) cr} )

(eqalign{
& Leftrightarrow 2x – 3 = 4x – 4 cr
& Leftrightarrow 2x = 1 Leftrightarrow x = 0,5 cr} )

Giá trị x = 0,5 thỏa mãn điều kiện x < 1.

b) Ta có: ({{sqrt {2x – 3} } over {sqrt {x – 1} }}) xác định khi và chỉ khi:

(eqalign{
& left{ matrix{
2x – 3 ge 0 hfill cr
x – 1 > 0 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
2x ge 3 hfill cr
x > 1 hfill cr} right. cr
& Leftrightarrow left{ matrix{
x ge 1,5 hfill cr
x > 1 hfill cr} right. Leftrightarrow x ge 1,5 cr} )

Với x ≥ 1,5 ta có:

(eqalign{
& {{sqrt {2x – 3} } over {sqrt {x – 1} }} = 2 Leftrightarrow {{2x – 3} over {x – 1}} = 4 cr
& Leftrightarrow 2x – 3 = 4(x – 1) cr} )

(eqalign{
& Leftrightarrow 2x – 3 = 4x – 4 cr
& Leftrightarrow 2x = 1 Leftrightarrow x = 0,5 cr} )

Giá trị x = 0,5 không thỏa mãn điều kiện.

Vậy không có giá trị nào của x để  ({{sqrt {2x – 3} } over {sqrt {x – 1} }} = 2)

c) Ta có: (sqrt {{{4x + 3} over {x + 1}}} ) xác định khi và chỉ khi ({{4x + 3} over {x + 1}} ge 0)

Trường hợp 1:  

(eqalign{
& left{ matrix{
4x + 3 ge 0 hfill cr
x + 1 > 0 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
4x ge – 3 hfill cr
x > – 1 hfill cr} right. cr
& Leftrightarrow left{ matrix{
x ge – 0,75 hfill cr
x > – 1 hfill cr} right. Leftrightarrow x ge – 0,75 cr} )

Trường hợp 2:  

(eqalign{
& left{ matrix{
4x + 3 le 0 hfill cr
x + 1 < 0 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
4x le – 3 hfill cr
x < – 1 hfill cr} right. cr
& Leftrightarrow left{ matrix{
x ge – 0,75 hfill cr
x < – 1 hfill cr} right. Leftrightarrow x < – 1 cr} )

Với x ≥ -0,75 hoặc x < -1 ta có:

(eqalign{
& sqrt {{{4x + 3} over {x + 1}}} = 3 Leftrightarrow {{4x + 3} over {x + 1}} = 9 cr
& Leftrightarrow 4x + 3 = 9(x + 1) cr} )

(eqalign{
& Leftrightarrow 4x + 3 = 9x + 9 cr
& Leftrightarrow 5x = – 6 Leftrightarrow x = – 1,2 cr} )

Giá trị x = -1,2 thỏa mãn điều kiện x < -1.

d) Ta có : ({{sqrt {4x + 3} } over {sqrt {x + 1} }}) xác định khi và chỉ khi:

(eqalign{
& left{ matrix{
4x + 3 ge 0 hfill cr
x + 1 > 0 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
4x ge – 3 hfill cr
x > – 1 hfill cr} right. cr
& Leftrightarrow left{ matrix{
x ge – 0,75 hfill cr
x > – 1 hfill cr} right. Leftrightarrow x ge – 0,75 cr} )

Với x ≥ -0,75 ta có:

(eqalign{
& {{sqrt {4x + 3} } over {sqrt {x + 1} }} = 3 Leftrightarrow {{4x + 3} over {x + 1}} = 9 cr
& Leftrightarrow 4x + 3 = 9(x + 1) cr} )

(eqalign{
& Leftrightarrow 4x + 3 = 9x + 9 cr
& Leftrightarrow 5x = – 6 Leftrightarrow x = – 1,2 cr} )

Vậy không có giá trị nào của x để ({{sqrt {4x + 3} } over {sqrt {x + 1} }} = 3.)

 


Câu 44 trang 12 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho hai số a, b không âm. Chứng minh:

({{a + b} over 2} ge sqrt {ab} )

(Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm)

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?

Gợi ý làm bài

Vì a ≥ 0 nên (sqrt a ) xác định, b ≥ 0 nên (sqrt b ) xác định

Ta có:

(eqalign{
& {left( {sqrt a – sqrt b } right)^2} ge 0 cr
& Leftrightarrow a – 2sqrt {ab} + b ge 0 cr} )

( Leftrightarrow a + b ge 2sqrt {ab}  Leftrightarrow {{a + b} over 2} ge sqrt {ab} )

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b.

 


Câu 45 trang 12 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Với a ≥ 0, b ≥ 0, chứng minh

(sqrt {{{a + b} over 2}}  ge {{sqrt a  + sqrt b } over 2})

Gợi ý làm bài

Vì a ≥ 0 nên (sqrt a ) xác định, b ≥ 0 nên (sqrt b ) xác định

Ta có:

(eqalign{
& {left( {sqrt a – sqrt b } right)^2} ge 0 cr
& Leftrightarrow a – 2sqrt {ab} + b ge 0 ge a + b ge 2sqrt {ab} cr} )

( Leftrightarrow a + b + a + b ge a + b + 2sqrt {ab} )

( Leftrightarrow 2(a + b) ge {left( {sqrt a } right)^2} + 2sqrt {ab}  + {left( {sqrt b } right)^2})

(eqalign{
& Leftrightarrow 2(a + b) ge {left( {sqrt a + sqrt b } right)^2} cr
& Leftrightarrow {{a + b} over 2} ge {{{{left( {sqrt a + sqrt b } right)}^2}} over 4} cr} )

(eqalign{
& Leftrightarrow sqrt {{{a + b} over 2}} ge sqrt {{{{{left( {sqrt a + sqrt b } right)}^2}} over 4}} cr
& Leftrightarrow sqrt {{{a + b} over 2}} ge {{sqrt a + sqrt b } over 2} cr} )

 

Câu 46 trang 12 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Với a dương, chứng minh:

(a + {1 over a} ge 2.)

Gợi ý làm bài

Với a dương, ta có:

(eqalign{
& {left( {sqrt a – {1 over {sqrt a }}} right)^2} ge 0 cr
& Leftrightarrow a – 2sqrt a .{1 over {sqrt a }} + {1 over a} ge 0 cr} )

( Leftrightarrow a – 2 + {1 over a} ge 0 Leftrightarrow a + {1 over a} ge 2)

 


Câu 4.1 trang 12 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 9 Tập 1

Giá trị của (sqrt {{{49} over {0,09}}} ) bằng

(A)  ;

(B)  ;

(C)  ;

(D)  .

Hãy chọn đáp án đúng.

Gợi ý làm bài

Chọn (B).

The post Bài 4 liên hệ giữa phép chia và phép khai phương Sách bài tập Toán 9 tập 1 appeared first on Sách Toán – Học toán.

Goc hoc tap