Bài 4 trang 17 sgk giải tích 11: Chứng minh rằng…

Bài 4 trang 17 sgk giải tích 11: Bài 1. Hàm số lượng giác. Bài 4. Chứng minh rằng

Bài 4. Chứng minh rằng (sin2(x + kπ) = sin 2x) với mọi số nguyên (k). Từ đó vẽ đồ thị hàm số (y = sin2x).

Đáp án :

Do (sin (t + k2π)) = (sint), (forall k in Z) (tính tuần hoàn của hàm số f((t) = sint)), từ đó

(sin(2π + k2π) = sin2x Rightarrow sin2(tx+ kπ) = sin2x), (∀k ∈ Z).

Do tính chất trên, để vẽ đồ thị của hàm số (y = sin2x), chỉ cần vẽ đồ thị của hàm số này trên một đoạn có độ dài (π) (đoạn (left[ { – {pi  over 2};{pi  over 2}} right]) Chẳng hạn), rồi lại tịnh tiến dọc theo trục hoành sang bên phải và bên trái từng đoạn có độ dài (π) .

Với mỗi (x_0 in) (left[ { – {pi  over 2};{pi  over 2}} right]) thì (x = 2x_0in [-π ; π]), điểm (M(x ; y = sinx)) thuộc đoạn đồ thị ((C)) của hàm số (y = sinx), ((x ∈ [-π ; π])) và điểm (M’(x_0 ; y_0 = sin2x_0)) thuộc đoạn đồ thị ((C’)) của hàm số (y = sin2x), ( (x ∈) (left[ { – {pi  over 2};{pi  over 2}} right])) (h.5).

Chú ý rằng, (x = 2x_0 Rightarrow sinx = sin2x_0) do đó hai điểm (M’) , (M) có tung độ bằng nhau nhưng hoành độ của (M’) bằng một nửa hoành độ của (M). Từ đó ta thấy có thể suy ra ((C’)) từ ((C)) bằng cách “co” ((C)) dọc theo trục hoành như sau :

– Với mỗi (M(x ; y) ∈ (C)) , gọi (H) là hình chiếu vuông góc của (M) xuống trục (Oy) và (M’) là trung điểm của đoạn (HM) thì (M’) (left( {{x over 2};y} right)) (∈ (C’)) (khi (M) vạch trên ((C)) thì (M’) vạch trên ((C’))). Trong thực hành, ta chỉ cần nối các điểm đặc biệt của ((C’)) (các điểm (M’) ứng với các điểm (M) của ((C)) với hoành độ (in left{ {0;,, pm {pi  over 6};,, pm {pi  over 4};,, pm {pi  over 3};,, pm {pi  over 2}} right}) ).

Goc hoc tap