Bài 5 Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn – Sách bài tập Toán 9 tập 1

Bài 5 Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn – Sách bài tập Toán 9 tập 1

Câu 42 trang 163 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Dùng thước và compa, hãy dựng các điểm B và C thuộc đường tròn (O) sao cho AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O).

Giải:

Bài 5 Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn - Sách bài tập Toán 9 tập 1

*        Phân tích

Giả sử tiếp tuyến AB và AC cần dựng thỏa mãn điều kiện bài toán.

Ta có:     AB ⊥ OB (widehat {ABO} = 90^circ )

(AC bot OC Rightarrow widehat {ACO} = 90^circ )

Tam giác ABO có (widehat {ABO} = 90^circ ) nội tiếp trong đường tròn đường kính AO và tam giác ACO có (widehat {ACO} = 90^circ ) nội tiếp trong đường tròn đường kính AO.

Suy ra B và C là giao điểm của đường tròn đường kính AO với đường tròn (O).

*        Cách dựng

−        Dựng I là trung điểm của OA.

−        Dựng đường tròn ( I; IO) cắt đường tròn (O) tại B và C.

−        Nối AB, AC ta được hai tiếp tuyến cần dựng.

*        Chứng minh

Tam giác ABO nội tiếp trong đường tròn (I) có OA là đường kính nên: (widehat {ABO} = 90^circ )

Suy ra: AB ⊥ OB tại B nên  AB là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Tam giác ACO nội tiếp trong đường tròn (I) có OA là đường kính nên : (widehat {ACO} = 90^circ )

Suy ra: AC ⊥ OC tại C nên AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)

*        Biện luận

Luôn dựng được đường tròn tâm I, cắt đường tròn tâm O tại hai điểm B và C và luôn có AB, AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O).

 


Câu 43 trang 163 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho điểm A nằm trên đường thẳng d, điểm B nằm ngoài đường thẳng d. Dựng đường tròn (O) đi qua  A và B, nhận đường thẳng d làm tiếp tuyến.

Giải:

Bài 5 Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn - Sách bài tập Toán 9 tập 1

*        Phân tích

−        Giả sử dựng được đường tròn (O) qua A, B và tiếp xúc với d. Khi đó đường tròn (O) phải tiếp xúc với d tại A.

−        Đường tròn (O) đi qua A và B nên tâm O nằm trên đường trung trực của AB.

−        Đường tròn (O) tiếp xúc với d tại A nên điểm O nằm trên đường thẳng vuông góc với d tại điểm A.

*        Cách dựng

−        Dựng đường thẳng trung trực của AB.

−        Dựng đường thẳng đi qua A và vuông góc với d. Đường thẳng này cắt đường trung trực của AB tại O.

−        Dựa đường tròn ( O; OA) ta được đường tròn cần dựng.

*        Chứng minh

Vì O nằm trên đường trung trực của AB nên OA = OB. Khi đó đường tròn (O; OA) đi qua hai điểm A và B.

Ta có: OA vuông góc với d tại A nên d là tiếp tuyến của (O).

Vậy (O) thỏa mãn điều kiện bài toán.

 


Câu 44 trang 163 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn (B ; BA) và đường tròn (C ; CA),  chúng cắt nhau tại điểm D (khác A). Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn (B).

Giải:

Bài 5 Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn - Sách bài tập Toán 9 tập 1

Xét hai tam giác ABC và DBC, ta có:

BA = BD (bán kính của (B; BA))

CA = CD (bán kính của (C; CA))

BC chung

Suy ra: ∆ABC = ∆DBC (c.c.c)

Suy ra: (widehat {BAC} = widehat {BDC})

Mà (widehat {BAC} = 90^circ ) (gt) ( Rightarrow widehat {BDC} = 90^circ )

Suy ra: CD ⊥ BD tại D

Vậy CD là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA).


Câu 45* trang 163 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Vẽ đường tròn (O) có đường kính AH. Chứng minh rằng:

a)      Điểm E nằm trên đường tròn(O);

b)      DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Giải:

Bài 5 Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn - Sách bài tập Toán 9 tập 1

a) Gọi O là trung điểm của AH

Tam giác AEH vuông tại E có EO là đường trung tuyến nên:

( EO = OA = OH ={{AH} over 2}) (tính chất tam giác vuông)

Vậy điểm E nằm trên đường tròn (left( {O;{{AH} over 2}} right))

b) Ta có: OH = OE

suy ra tam giác OHE cân tại O

suy ra: (widehat {OEH} = widehat {OHE})                      (1)

Mà (widehat {BHD} = widehat {OHE}) (đối đỉnh)            (2)

Trong tam giác BDH ta có:

(widehat {HDB} = 90^circ )

Suy ra: (widehat {HBD} + widehat {BHD} = 90^circ )            (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

(widehat {OEH} + widehat {HBD} = 90^circ )                          (4)

Tam giác ABC cân tại A có AD ⊥ BC nên BD = CD

Tam giác BCE vuông tại E có ED là đường trung tuyến nên:

(ED = BD = {{BC} over 2}) (tính chất tam giác vuông).

Suy ra tam giác BDE cân tại D

Suy ra: (widehat {BDE} = widehat {DEB})                               (5)

Từ (4) và (5) suy ra: (widehat {OEH} + widehat {DEB} = 90^circ ) hay (widehat {DEO} = 90^circ )

Suy ra: DE ⊥ EO. Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn ((O).

 


Câu 46 trang 163 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho góc nhọn xOy, điểm A thuộc tia Ox. Dựng đường tròn tâm I tiếp xúc với Ox tại A và có tâm I nằm trên tia Oy.

Giải:

Bài 5 Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn - Sách bài tập Toán 9 tập 1

*        Phân tích

Giả sử đường tròn tâm I dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán.

−           Đường tròn tâm I tiếp xúc với Ox tại A nên I nằm trên đường thẳng vuông góc với Ox kẻ từ A.

−           Tâm I nằm trên tia Oy  nên I là giao điểm của Oy và đường thẳng vuông góc với Ox tại A.

*        Cách dựng

−           Dựng đường vuông góc với Ox tại A cắt Oy tại I.

−           Dựng đường tròn (I; IA).

*        Chứng minh

Ta có: I thuộc Oy, OA ⊥ IA tại A.

Suy ra Ox là tiếp tuyến của đường tròn ( I;IA)

hay (I; IA) tiếp xúc với Ox.

*        Biện luận

Vì (widehat {xOy}) là góc nhọn nên đường thẳng vuông góc với Ox tại A luôn cắt tia Oy nên tâm I luôn xác định và duy nhất.

 


Câu 47 trang 163 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không giao nhau. Dựng tiếp tuyến của đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến đó song song với d.

Giải:

Bài 5 Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn - Sách bài tập Toán 9 tập 1

*        Phân tích

Giả sử tiếp tuyến của đường tròn dựng được thỏa

mãn điều kiện bài toán.

−        d1 là tiếp tuyến của đường tròn tại  A nên d⊥ OA

−        Vì d1 // d nên d ⊥ OA.

Vậy A là giao điểm của đường thẳng kẻ từ O vuông góc với d.

*        Cách dựng

−        Dựng OH vuông góc với d cắt đường tròn (O) tại A và B.

−        Dựng đường thẳng d1 đi qua A và vuông góc với OA.

−        Dựng đường thẳng d2 đi qua B và vuông góc với OB.

Khi đó d1 và d2 là hai tiếp tuyến cần dựng.

*        Chứng minh

Ta có: A và B thuộc (O)

d// d mà d ⊥ OH nên d⊥ OH hay d⊥ OA tại A

Suy ra d1 là tiếp tuyến của đường tròn (O)

d2 // d mà d ⊥ OH nên d⊥ OH hay d2 ⊥ OB tại B

Suy ra dlà tiếp tuyến của đường tròn (O)

*        Biện luận

Đường thẳng OH luôn cắt đường tròn (O) nên giao điểm A và B luôn dựng được.


Câu 5.1 trang 164 Sách bài tập (SBT) Toán lớp 9 Tập 1

Xét tính đúng – sai của mỗi khẳng định sau:

a)      Nếu đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O) tại A thì d vuông góc với OA.

b)      Nếu đường thẳng d vuông góc với bán kính OA của đường tròn (O) thì d là tiếp tuyến của đường tròn.

Giải:

a)      Đúng ;          b) Sai.

 


Câu 5.2 trang 164 Sách bài tập (SBT) Toán lớp 9 Tập 1

Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD vuông góc với  OA tại trung điểm của OA. Gọi M là điểm đối xứng với O qua A. Chứng minh rằng MC là tiếp tuyến của đường tròn.

Giải:

Bài 5 Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn - Sách bài tập Toán 9 tập 1

CD là đường trung trực của OA nên CA = CO.

Suy ra CA = CO = AO = AM.

Do đó (widehat {MCO} = 90^circ ).

Vậy MC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

 

The post Bài 5 Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn – Sách bài tập Toán 9 tập 1 appeared first on Sách Toán – Học toán.

Goc hoc tap