Bài 5: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình – Sách bài tập Toán 9 tập 2

Bài 5: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình – Sách bài tập Toán 9 tập 2

Bài 35 trang 13 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Tổng của hai số bằng 59. Hai lần của số này bé hơn ba lần của số kia là 7. Tìm hai số đó.

Giải: Gọi hai số cần tìm là x và y.

Tổng hai số bằng 59. Ta có phương trình: x + y = 59

Hai lần số này bé hơn ba lần số kia là 7, ta có phương trình: 3y – 2x = 7

Ta có hệ phương trình:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{x + y = 59} cr
{3y – 2x = 7} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{2x + 2y = 118} cr
{ – 2x + 3y = 7} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{5y = 125} cr
{x + y = 59} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = 25} cr
{x + 25 = 59} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = 25} cr
{x = 34} cr} } right. cr} )

Vậy hai số phải tìm là 34 và 25.


Bài 36 trang 13 SBT Toán 9 tập 2

Bảy năm trước tuổi mẹ bằng năm lần tuổi con cộng thêm 4.

Năm nay tuổi mẹ vừa đúng gấp ba lần tuổi con.

Hỏi năm nay mỗi người bao nhiêu tuổi?

Giải: Gọi tuổi mẹ năm nay là x, tuổi con năm nay là y.

Điều kiện: x,y ∈ N*; x > y > 7

Năm nay tuổi mẹ gấp ba lần tuổi con, ta có phương trình: x = 3y

Bảy năm trước tuổi mẹ gấp năm lần tuổi con cộng thêm 4, ta có phương trình:

x – 7 = 5(y – 7 ) + 4

Ta có hệ phương trình:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{x = 3y} cr
{x – 7 = 5left( {y – 7} right) + 4} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 3y} cr
{x – 5y = – 24} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 3y} cr
{3y – 5y = – 24} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 3y} cr
{y = 12} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 36} cr
{y = 12} cr} } right. cr} )

x = 36, y = 12 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy hiện nay mẹ 36 tuổi, con 12 tuổi.


Bài 37 trang 13 Sách bt toán 9 tập 2

Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho là 63. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99. Tìm số đã cho.

Giải: Gọi chữ số hàng chục là x, chữ số hàng đơn vị là y.

Điều kiện: x ∈ N* và x ≤ 9; y ∈ N* và y ≤ 9

Số đã cho (overline {xy}  = 10x + y); số đổi chỗ (overline {yx}  = 10y + x)

Đổi chỗ hai chữ số ta được số mới lớn hơn số đã cho 63.

Ta có phương trình: (left( {10y + x} right) – left( {10x + y} right) = 63)

Tổng của số mới và số đã cho bằng 99, ta có phương trình:

(left( {10x + y} right) + left( {10y + x} right) = 99)

Ta có hệ phương trình:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{left( {10y + x} right) – left( {10x + y} right) = 63} cr
{left( {10x + y} right) + left( {10y + x} right) = 99} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{9y – 9x = 63} cr
{11x + 11y = 99} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{ – x + y = 7} cr
{x + y = 9} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{2y = 16} cr
{x + y = 9} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = 8} cr
{x + 8 = 9} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = 8} cr
{x + 1} cr} } right. cr} )

Với x =1; y = 8 thỏa mãn điều kiện bài toán

Vậy số đã cho là 18.


Bài 38 Đại số 9

Hai anh Quang và Hùng góp vốn kinh doanh. Anh Quang góp 15 triệu đồng, anh Hùng góp 13 triệu đồng. Sau một thời gian được lãi 7 triệu đồng. Lãi được chia tỉ lệ với vốn đã góp. Em hãy dùng cách giải hệ phương trình tính tiền lãi mà mỗi anh được hưởng.

Giải: Gọi số tiền lãi anh Quang nhận được là x (triệu đồng), anh Hùng nhận được là y ( triệu đồng).

Điều kiện: 0 < x < 7; 0 < y < 7

Số tiền lãi cả hai anh nhận được là 7 triệu đồng , ta có phương trình:

x + y = 7

Vì số tiền lãi tỉ lệ với vốn đã góp, ta có phương trình: ({x over {15}} = {y over {13}})

Ta có hệ phương trình:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{x + y = 7} cr
{{x over {15}} = {y over {13}}} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{x + y = 7} cr
{x = {{15y} over {13}}} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{{{15y} over {13}} + y = 7} cr
{x = {{15y} over {13}}} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{15y + 13y = 91} cr
{x = {{15y} over {13}}} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{28y = 91} cr
{x = {{15y} over {13}}} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = 3,25} cr
{x = {{15.3,25} over {13}}} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = 3,25} cr
{x = 3,75} cr} } right. cr} )

Giá trị x = 3,75; y = 3,25 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy: Anh Quang nhận được 3 750 000 đồng tiền lãi

Anh Hùng nhận được 3 250 000 đồng tiền lãi.


Bài 39 trang 13 (SBT) Toán 9 tập 2

Hôm qua mẹ của Lan đi chợ mua 5 quả trứng gà và 5 quả trứng vịt hết 10 000 đồng. Hôm nay mẹ Lan mua 3 quả trứng gà và 7 quả trứng vịt hết 9 600 đồng mà giá trứng vẫn như cũ. Hỏi giá một quả trứng mỗi loại là bao nhiêu?

Lời giải: Gọi giá của một quả trứng gà là x (đồng)

Giá của một quả trứng vịt là y (đồng).

Điều kiện: x > 0; y > 0

Mua 5 quả trứng gà và 5 quả trứng vịt hết 10 000 đồng, ta có phương trình:

5x + 5y = 10 000

Mua 3 quả trứng gà và 7 quả trứng vịt hết 9 600 đồng, ta có phương trình:

3x + 7y = 9 600

Ta có hệ phương trình:

$eqalign{
& left{ {matrix{
{5x + 5y = 10000} cr
{3x + 7y = 9600} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{x + y = 2000} cr
{3x + 7y = 9600} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{3x + 3y = 6000} cr
{3x + 7y = 9600} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{4y = 3600} cr
{x + y = 2000} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = 900} cr
{x + 900 = 2000} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = 900} cr
{x = 1100} cr} } right. cr} $

x = 1100 và y = 900 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy: Giá một quả trứng gà là 1100 đồng

Giá một quả trứng vịt là 900 đồng.


Bài 40 trang 13 SBT Toán 9 tập 2

Một sân trường hình chữ nhật có chu vi 340m. Ba lần chiều dài hơn bốn lần chiều rộng là 20m. Tính chiều dài và chiều rộng của sân trường.

HD: Gọi chiều rộng của sân là x (m)

Chiều dài của sân là y (m).

Điều kiện: 0 < x < 170; 0 < y < 170

Chu vi của sân bằng 340m, ta có phương trình:

(left( {x + y} right).2 = 340 Leftrightarrow x + y = 170)

Ba lần chiều dài hơn bốn lần chiều rộng 20m, ta có phương trình:

3y – 4x = 20

Ta có hệ phương trình:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{x + y = 170} cr
{3y – 4x = 20} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{4x – 4y = 680} cr
{ – 4x + 3y = 20} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{7y = 700} cr
{x + y = 170} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = 100} cr
{x + 100 = 170} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = 100} cr
{x = 70} cr} } right. cr} )

Cả hai giá trị x = 70; y = 100 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy chiều rộng của sân 70m, chiều dài sân 100m.


Bài 41 trang 13 SBT Toán 9 tập 2

Làm trần tầng một của nhà văn hóa xã phải dùng 30 cây sắt ∅18 (đọc là sắt “phi 18”; tức là đường kính thiết diện cây sắt bằng 18mm) và 350kg sắt ∅8 hết một khoản tiền. Vì trần tầng hai hẹp hơn nên chỉ cần 20 cây sắt ∅18 và 250kg sắt ∅8; do đó chỉ hết một khoản tiền ít hơn khoản tiền lần trước là 1 440 000 đồng. Tính giá tiền của một cây sắt ∅18 và giá tiền 1 kg sắt ∅8, biết rằng giá tiền một cây sắt ∅18 đắt gấp 22 lần giá tiền 1 kg sắt ∅8.

Giải: Gọi giá tiền của 1kg sắt ∅8 là x (đồng) và khoản tiền chi cho tầng I là y đồng.

Điều kiện: x > 0; y > 0 thì giá tiền một cây sắt ∅18 là 22x (đồng)

Tầng I dùng 30 cây sắt ∅18 và 350kg sắt ∅8 hết y đồng, ta có phương trình:

30.22x + 350x = y

Tầng II dùng 20 cây sắt ∅18 và 250kg sắt ∅8 hết ít hơn tầng I là 1440000 đồng, ta có phương trình:

20.22x + 250x =y – 1440000

Ta có hệ phương trình:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{30.22x + 350x = y} cr
{20.22x + 250x = y – 1440000} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{1010x = y} cr
{690x = y – 1440000} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{1010x = y} cr
{690x = 1010x – 1440000} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{1010x = y} cr
{320x = 1440000} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{1010x = y} cr
{x = 1440000:320} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{1010x = y} cr
{x = 4500} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = 4545000} cr
{x = 4500} cr} } right. cr} )

x = 4500; y = 4545000 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy: Giá 1kg sắt ∅8 bằng 4500 đồng

Giá 1 cây sắt ∅18 bằng 99000 đồng.


Bài 42 trang 14 SBT Toán 9

Trong phòng học có một số ghế dài. Nếu xếp mỗi ghế ba học sinh thì sáu học sinh không có chỗ. Nếu xếp mỗi ghế bốn học sinh thì thừa một ghế. Hỏi lớp có bao nhiêu ghế và bao nhiêu học sinh?

Lời giải: Gọi số ghế trong phòng học là x (ghế)

Số học sinh của lớp là y (học sinh)

Điều kiện: x ∈ N*; y ∈ N*

Nếu mỗi ghế 3 em thì có 6 em không có chỗ, ta có phương trình:

3x + 6 = y

Nếu mỗi ghế 4 học sinh thì thừa 1 ghế, ta có phương trình:

( x – 1 )4 = y

Ta có hệ phương trình:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{3x + 6 = y} cr
{left( {x – 1} right).4 = y} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{3x – y = – 6} cr
{4x – y = 4} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 10} cr
{4x – y = 4} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 10} cr
{y = 36} cr} } right. cr} )

x = 10 và y = 36 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy phòng học có 10 ghế và lớp có 36 học sinh.


Bài 43 trang 14 SBT Toán 9 tập 2

Trên một cánh đồng cấy 60 ha lúa giống mới và 40 ha lúa giống cũ. Thu hoạch được tất cả 460 tấn thóc). Hỏi năng suất mỗi loại lúa trên một ha là bao nhiêu biết rằng 3 ha trồng lúa mới thu hoạch được ít hơn 4 ha trồng lúa cũ là 1 tấn.

Giải: Gọi năng suất lúa trên một ha giống mới là x ( tấn), của lúa giống cũ là y ( tấn).

Điều kiện: x > 0; y > 0

Cả hai loại thu được 460 tấn lúa, ta có phương trình:

60x + 40y = 460

3 ha giống lúa mới thu hoạch ít hơn 4 ha giống lúa cũ 1 tấn, ta có phương trình:

4y – 3x = 1

Ta có hệ phương trình:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{60x + 40y = 460} cr
{4y – 3x = 1} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{6x + 4y = 46} cr
{ – 6x + 8y = 2} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{12y = 48} cr
{4y – 3x = 1} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = 4} cr
{4.4 – 3x = 1} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = 4} cr
{x = 5} cr} } right. cr} )

Giá trị x = 5; y = 4 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy: Năng suất 1 ha giống mới là 5 tấn

Năng suất 1 ha giống cũ là 4 tấn.


Bài 44 trang 14 Toán 9 tập 2

Hai người thợ cùng xây một bức tường trong 7 giờ 12 phút thì xong (vôi vữa và gạch có công nhân khác vận chuyển). Nếu người thứ nhất làm trong 5 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai xây được ${3 over 4}$ bức tường. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xây xong bức tường?

Giải

Gọi thời gian người thứ nhất xây một mình xong công việc là x ( giờ)

Người thứ hai xây một mình xong là y (giờ)

Điều kiện: (x > 7{1 over 5};y > 7{1 over 5})

Trong 1 giờ người thứ nhất xây được ({1 over x}) bức tường

Trong 1 giờ người thứ hai xây được ({1 over y}) bức tường

Trong 1 giờ cả hai người xây được (1:{{36} over 5} = {5 over {36}}) bức tường

Ta có phương trình: ({1 over x} + {1 over y} = {5 over {36}})

Người thứ nhất làm 5 giờ, người thứ hai làm 6 giờ được ({3 over 4}) bức tường, ta có phương trình:

({5 over x} + {6 over y} = {3 over 4})

Ta có hệ phương trình:

(left{ {matrix{
{{1 over x} + {1 over y} = {5 over {36}}} cr
{{5 over x} + {6 over y} = {3 over 4}} cr} } right.)

Đặt ({1 over x} = a;{1 over y} = b) ta có:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{a + b = {5 over {36}}} cr
{5a + 6b = {3 over 4}} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{5a + 5b = {{25} over {36}}} cr
{5a + 6b = {3 over 4}} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = {1 over {18}}} cr
{a + b = {5 over {36}}} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = {1 over {18}}} cr
{a = {1 over {12}}} cr} } right. cr} )

Suy ra:

(left{ {matrix{
{{1 over x} = {1 over {12}}} cr
{{1 over y} = {1 over {18}}} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 12} cr
{y = 18} cr} } right.)

x = 12; y = 18 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy: Người thứ nhất làm một mình xong trong 12 giờ

Người thứ hai làm một mình xong trong 18 giờ.


Bài 45 trang 14

Hai công nhân cùng sơn cửa cho một công trình trong bốn ngày thì xong việc) Nếu người thứ nhất làm một mình trong chín ngày rồi người thứ hai đến cùng làm tiếp trong một ngày nữa thì xong việc). Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xong việc?

Giải: Gọi thời gian người thứ nhất làm riêng xong công việc là x ngày

Người thứ hai làm riêng xong công việc là y ngày

Điều kiện: x > 4; y > 4

Trong 1 ngày người thứ nhất làm được ({1 over x}) công việc

Trong 1 ngày người thứ hai làm được ({1 over y}) công việc

Trong 1 ngày cả hai người làm được (1:4 = {1 over 4}) công việc

Ta có phương trình: ({1 over x} + {1 over y} = {1 over 4})

Người thứ nhất làm riêng 9 ngày, người thứ hai đến làm chung 1 ngày nữa thì xong, ta có phương trình:

 ({{10} over x} + {1 over y} = 1)

Ta có hệ phương trình:

(left{ {matrix{
{{1 over x} + {1 over y} = {1 over 4}} cr
{{{10} over x} + {1 over y} = 1} cr} } right.)

Đặt ({1 over x} = a;{1 over y} = b) ta có:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{a + b = {1 over 4}} cr
{10a + b = 1} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{9a = {3 over 4}} cr
{a + b = {1 over 4}} cr} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{a = {1 over {12}}} cr
{{1 over {12}} + b = {1 over 4}} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{a = {1 over {12}}} cr
{b = {1 over 6}} cr} } right. cr} )

Suy ra:

(left{ {matrix{
{{1 over x} = {1 over {12}}} cr
{{1 over y} = {1 over 6}} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 12} cr
{y = 6} cr} } right.)

x = 12; y = 6 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy: Người thứ nhất làm riêng xong công việc trong 12 ngày

Người thứ hai làm riêng xong công việc trong 6 ngày.


Bài 46 trang 14 Sách bt Toán 9 tập 2

Hai cần cẩu lớn bốc dỡ một lô hàng ở cảng Sài Gòn. Sau 3 giờ có thêm năm cần cẩu bé (công suất bé hơn) cùng làm việc) cả bảy cần cẩu làm việc 3 giờ nữa thì xong. Hỏi mỗi cần cẩu làm việc một mình thì bao lâu xong việc, biết rằng nếu cả bảy cần cẩu cùng làm việc từ đầu thì trong 4 giờ xong việc)

Giải: Gọi thời gian cần cẩu lớn làm một mình xong công việc là x (giờ)

Thời gian cần cẩu nhỏ làm một mình xong công việc là y (giờ)

Điều kiện: y > x > 12

Trong 1 giờ cần cẩu lớn làm được ({1 over x}) công việc

Trong 1 giờ cần cẩu nhỏ làm được ({1 over y}) công việc

2 cần cẩu lớn làm trong 6 giờ và 5 cần cẩu nhỏ làm 3 giờ thì xong công việc, ta có:

({{12} over x} + {{15} over y} = 1)

Trong 1 giờ cả 7 cần cẩu làm được (1:4 = {1 over 4}) công việc, ta có phương trình:

({2 over x} + {5 over y} = {1 over 4})

Ta có hệ phương trình:

(left{ {matrix{
{{{12} over x} + {{15} over y} = 1} cr
{{2 over x} + {5 over y} = {1 over 4}} cr} } right.)

Đặt ({1 over x} = a;{1 over y} = b) ta có:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{12a + 15b = 1} cr
{2a + 5b = {1 over 4}} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{12a + 15b = 1} cr
{12a + 30b = {3 over 2}} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{15b = {1 over 2}} cr
{2a + 5b = {1 over 4}} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = {1 over {30}}} cr
{2a + 5.{1 over {30}} = {1 over 4}} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = {1 over {30}}} cr
{a = {1 over {24}}} cr} } right. cr} )

Suy ra:

(left{ {matrix{
{{1 over x} = {1 over {24}}} cr
{{1 over y} = {1 over {30}}} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 24} cr
{y = 30} cr} } right.)

x = 24; y = 30 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy: Một cần cẩu loại lớn làm xong công việc trong 24 giờ

Một cần cẩu loại nhỏ làm xong công việc trong 30 giờ.


Bài 47 trang 14 SBT Toán 9 tập 2

Bác Toàn đi xe đạp từ thị xã về làng, cô Ba Ngần cũng đi xe đạp, nhưng từ làng lên thị xã. Họ gặp nhau khi bác Toàn đã đi được 1 giờ rưỡi, còn cô Ba Ngần đã đi được 2 giờ. Một lần khác hai người cũng đi từ hai địa điểm như thế nhưng họ khởi hành đồng thời; sau 1 giờ 15 phút họ còn cách nhau 10,5km. Tính vận tốc của mỗi người, biết rằng làng cách thị xã 38km.

Giải: Gọi vận tốc của bác Toàn đi là x (km/h)

Vận tốc cô Ba Ngần đi là y (km/h)

Điều kiện: x > 0; y > 0

Vì hai người đi ngược chiều nhau. Bác Toàn đi 1 giờ 30 phút, cô Ba Ngần đi 2 giờ thì gặp nhau.

Ta có phương trình: 1,5x + 2y = 38

Quãng đường bác Toàn đi trong 1 giờ 15 phút ( = {5 over 4}) giờ là ({5 over 4}x) (km)

Quãng đường cô Ba Ngần đi trong 1 giờ 15 phút ( = {5 over 4}) giờ là ({5 over 4}y) (km)

Hai người còn cách nhau 10,5 km ta có phương trình:

({5 over 4}x + {5 over 4}y = 38 – 10,5)

Ta có hệ phương trình:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{1,5x + 2y = 38} cr
{{5 over 4}x + {5 over 4}y = 38 – 10,5} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{3x + 4y = 76} cr
{5x + 5y = 110} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{15x + 20y = 380} cr
{15x + 15y = 330} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{5y = 50} cr
{5x + 5y = 110} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = 10} cr
{5x + 5.10 = 110} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = 10} cr
{x = 12} cr} } right. cr} )

x = 12; y = 10 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy: Vận tốc của bác Toàn đi là 12 km/h

Vận tốc của cô Ba Ngần đi là 10 km/h.


Bài 48 trang 14 SBT Toán 9 tập 2

Ga Sài Gòn cách ga Dầu Giây 65km. Xe khách ở Thành phố Hồ Chí Minh, xe hàng ở Dầu Giây đi ngược chiều nhau và xe khách khởi hành sau xe hàng 36 phút, sau khi xe khách khởi hành 24 phút nó gặp xe hàng. Nếu hai xe khởi hành đồng thời và cùng đi Hà Nội thì sau 13 giờ hai xe gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng xe khách đi nhanh hơn xe hàng.

Giải: Gọi vận tốc của xe khách là x (km/h)

Vận tốc xe hàng là y (km/h)

Điều kiện: x > y > 0. Đổi 24 phút ( = {2 over 5}) giờ

Sau khi xe khách đi được ({2 over 5}) giờ thì xe hàng đi được 36 + 24 = 60 phút = 1 giờ

Hai xe đi ngược nhau gặp nhau, ta có phương trình: ({2 over 5}x + y = 65)

Hai xe khởi hành cùng một lúc cùng đi Hà Nội sau 13 giờ gặp nhau, ta có phương trình:

(13x – 13y = 65)

Ta có hệ phương trình:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{{2 over 5}x + y = 65} cr
{13x – 13y = 65} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{2x + 5y = 325} cr
{x – y = 5} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{2x + 5y = 325} cr
{2x – 2y = 10} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{7y = 315} cr
{x – y = 5} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = 45} cr
{x – 45 = 5} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = 45} cr
{x = 50} cr} } right. cr} )

x = 50; y = 45 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy: Vận tốc của xe khách là 50 km/h

Vận tốc của xe hàng là 45 km/h.


Bài 49 trang 14

Để sửa một ngôi nhà cần một số thợ làm việc trong một thời gian quy định. Nếu giảm ba người thì thời gian kéo dài sáu ngày. Nếu tăng thêm hai người thì xong sớm hai ngày. Hỏi theo quy định cần bao nhiêu thợ và làm trong bao nhiêu ngày, biết rằng khả năng lao động của mọi thợ đều như nhau?

Trả lời: Gọi số thợ cần thiết để làm xong là x (người)

Thời gian dự định để làm xong là y (ngày)

Điều kiện: x ∈ N*, y > 0

Số ngày công để hoàn thành công việc là xy (ngày)

Nếu giảm 3 người thì thời gian tăng thêm 6 ngày, ta có phương trình:

(left( {x – 3} right)left( {y + 6} right) = xy)

Nếu tăng 2 người thì thời gian làm giảm 2 ngày, ta có phương trình:

(left( {x + 2} right)left( {y – 2} right) = xy)

Ta có hệ phương trình:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{left( {x – 3} right)left( {y + 6} right) = xy} cr
{left( {x + 2} right)left( {y – 2} right) = xy} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{xy + 6x – 3y – 18 = xy} cr
{xy – 2x + 2y – 4 = xy} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{2x – y = 6} cr
{ – x + y = 2} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 8} cr
{ – x + y = 2} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 8} cr
{y = 10} cr} } right. cr} )

x = 8; y = 10 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy cần có 8 người thợ làm trong 10 ngày.


Câu 5.1, 5.2 trang 15 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Câu 5.1

Tổng số tuổi của tôi và của em tôi năm nay bằng 26. Khi tổng số tuổi của chúng tôi gấp 5 lần tuổi của tôi hiện nay thì tuổi của tôi khi đó sẽ gấp 3 lần tuổi của em tôi hiện nay. Hãy tính tuổi hiện nay của mỗi người chúng tôi.

Giải

Gọi tuổi của tôi hiện nay là x (tuổi)

Điều kiện: x ∈ N*; 13 < x < 26 thì tuổi hiện nay của em tôi là 26 – x (tuổi)

Gọi số năm phải thêm là y (năm), điều kiện: y ∈ N*

Vì sau y năm tổng tuổi hai anh em gấp 5 lần tuổi tôi hiện nay, ta có phương trình:

(left( {x + y} right) + left( {26 – x + y} right) = 5x)

Tuổi của tôi sau y năm gấp 3 lần tuổi em tôi hiện nay, ta có phương trình:

(x + y = 3left( {26 – x} right))

Ta có hệ phương trình:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{left( {x + y} right) + left( {26 – x + y} right) = 5x} cr
{x + y = 3left( {26 – x} right)} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{5x – 2y = 26} cr
{4x + y = 78} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{5x – 2y = 26} cr
{8x + 2y = 156} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{13x = 182} cr
{4x + y = 78} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 14} cr
{4.14 + y = 78} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 14} cr
{y = 22} cr} } right. cr} )

x = 14; y = 22 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy hiện nay tuổi tôi là 14 tuổi, tuổi em tôi là 26 – 14 = 12 (tuổi)

Câu 5.2

Có hai bến xe khách P và Q. Một người đi xe đạp từ P đến Q với vận tốc không đổi, nhận thấy cứ 15 phút lại có một xe khách đi cùng chiều vượt qua và cứ 10 phút lại gặp một xe khách đi ngược chiều. Giả thiết rằng các xe khách chạy với cùng một vận tốc, không dừng lại trên đường và ở cả hai bến, cứ x phút lại có một xe rời bến. Hỏi thời gian x là bao nhiêu phút và vận tốc xe khách bằng bao nhiêu lần vận tốc người đi xe đạp?

Giải

Gọi vận tốc người đi xe đạp là y (km/phút)

Vận tốc xe khách là z (km/phút)

Điều kiện: z > y > 0

Xét trường hợp các xe khách đi cùng chiều với xe đạp.

Giả sử xe khách thứ nhất vượt xe đạp ở điểm B thì xe khách thứ hai ở điểm A như hình vẽ.

Bài 5: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình – Sách bài tập Toán 9 tập 2

Hai xe khởi hành cách nhau x phút nên quãng đường xe khách đi đoạn AB dài xz (km).

Gọi điểm xe khách thứ hai vượt xe đạp là C thì quãng đường BC người đi xe đạp hết 15 phút nên đoạn BC dài là: 15y (km). Quãng đường AC là quãng đường xe khách đi hết 15 phút nên đoạn AC dài 15z (km).

Ta có phương trình: xz + 15y = 15z

 Xét trường hợp các xe khách đi ngược chiều với xe đạp.

Giả sử người đi xe đạp gặp xe khách thứ nhất tại điểm D thì xe khách thứ hai ở vị trí E như hình vẽ.

Bài 5: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình – Sách bài tập Toán 9 tập 2

Hai xe khách khởi hành cách nhau x phút nên đoạn đường DE xe khách đi dài xz (km). Sau đó 10 phút xe đạp gặp xe khách thứ hai tại điểm F thì quãng đường hai xe đi bằng đoạn đường DE)

Ta có phương trình:  10y + 10z = xz

Ta có hệ phương trình:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{xz + 15y = 15z} cr
{10y + 10z = xz} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{xz + 15y = 15z} cr
{xz – 10y = 10z} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{x + 15{y over z} = 15} cr
{x – 10{y over z} = 10} cr} } right. cr} )

Đặt ({y over z} = t) ta có:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{x + 15t = 15} cr
{x – 10t = 10} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{25t = 5} cr
{x – 10t = 10} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{t = {1 over 5}} cr
{x – 10.{1 over 5} = 10} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{t = {1 over 5}} cr
{x = 12} cr} } right. cr} )

Suy ra: (x = 12;{y over z} = {1 over 5} Rightarrow 5y = z)

Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy cứ 12 phút lại có một chuyến xe khách rời bến và vấn tốc của xe khách gấp 5 lần vận tốc của xe đạp.


Bài 50 trang 15 SBT Toán 9 tập 2

Cho hình vuông ABCD cạnh y (cm). Điểm E thuộc cạnh AB. Điểm G thuộc tia AD sao cho $AG = AD + {3 over 2}EB.$. Dựng hình chữ nhật GAEF. Đặt EB = 2x (cm). Tính x và y để diện tích của hình chữ nhật bằng diện tích hình vuông và ngũ giác ABCFG có chu vi bằng $100 + 4sqrt {13} $ (cm)

Giải

Theo giả thiết ta có: EB = 2x (cm)

Điều kiện: y > 2x > 0

AE = AB – EB = y – 2x (cm)

AG = AD + DG ( = y + {3 over 2}EB = y + {3 over 2}.2x = y + 3x) (cm)

Diện tích hình chữ nhật bằng diện tích hình vuông, ta có phương trình:

(left( {y – 2x} right)left( {y + 3x} right) = {y^2})

Mặt khác theo định lí Pitago ta có:

(FC = sqrt {E{B^2} + D{G^2}}  = sqrt {4{x^2} + 9{x^2}}  = xsqrt {13} ) (cm)

Chu vi của ngũ giác ABCFG bằng:

(eqalign{
& AB + BC + CF + FG + GA cr
& = AB + BC + CF + FG + GD + AD cr
& = y + y + xsqrt {13} + y – 2x + 3x + y cr
& = xleft( {1 + sqrt {13} } right) + 4y cr} )

Chu vi ngũ giác bằng (100 + 4sqrt {13} ) (cm), ta có phương trình:

(xleft( {1 + sqrt {13} } right) + 4y = 100 + 4sqrt {13} )

Ta có hệ phương trình:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{left( {y – 2x} right)left( {y + 3x} right) = {y^2}} cr
{xleft( {1 + sqrt {13} } right) + 4y = 100 + 4sqrt {13} } cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{{y^2} + 3xy – 2xy – 6{x^2} = {y^2}} cr
{left( {1 + sqrt {13} } right)x + 4y = 100 + 4sqrt {13} } cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{xy – 6{x^2} = 0} cr
{left( {1 + sqrt {13} } right)x + 4y = 100 + 4sqrt {13} } cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{xleft( {y – 6x} right) = 0} cr
{left( {1 + sqrt {13} } right)x + 4y = 100 + 4sqrt {13} } cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y – 6x = 0} cr
{left( {1 + sqrt {13} } right)x + 4y = 100 + 4sqrt {13} } cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = 6x} cr
{left( {1 + sqrt {13} } right)x + 4.6x = 100 + 4sqrt {13} } cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = 6x} cr
{left( {25 + sqrt {13} } right)x = 100 + 4sqrt {13} } cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = 6x} cr
{x = {{4left( {25 + sqrt {13} } right)} over {25 + sqrt {13} }}} cr
} } right. cr
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = 6x} cr
{x = 4} cr
} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{
{y = 24} cr
{x = 4} cr} } right. cr} )

Giá trị x = 4 và y = 24 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy x = 4 (cm); y = 24 (cm).

 

The post Bài 5: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình – Sách bài tập Toán 9 tập 2 appeared first on Sách Toán – Học toán.

Goc hoc tap