Bài 6 Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai Sách bài tập Toán 9 tập 1

Câu 56 trang 14 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

a) (sqrt {7{x^2}} ) với x > 0;

b) (sqrt {8{y^2}} ) với y < 0;

c) (sqrt {25{x^3}} ) với x > 0;

d) (sqrt {48{y^4}} )

Gợi ý làm bài

a) (sqrt {7{x^2}}  = left| x right|sqrt 7  = xsqrt 7 ) (với x > 0)

b) (eqalign{
& sqrt {8{y^2}} = sqrt {4.2{y^2}} cr
& = 2left| y right|sqrt 2 = – 2ysqrt 2 cr} ) (với y < 0)

c) (eqalign{
& sqrt {25{x^3}} = sqrt {25{x^2}x} cr
& = 5left| x right|sqrt x = 5xsqrt x cr} ) (với x > 0)

d) (sqrt {48{y^4}}  = sqrt {16.3{y^4}}  = 4{y^2}sqrt 3 )

 


Câu 57 trang 14 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Đưa thừa số vào trong dấu căn:

a) (xsqrt 5 ) với (x ge 0);

b) (xsqrt {13} ) với x < 0 ;

c) (xsqrt {{{11} over x}} ) với x > 0;

d) (xsqrt {{{ – 29} over x}} ) với x < 0.

Gợi ý làm bài

a) (xsqrt 5  = sqrt {{x^2}.5}  = sqrt {5{x^2}} ) (với (x ge 0))

b) (xsqrt {13}  =  – sqrt {{x^2}.13}  =  – sqrt {13{x^2}} ) (với x < 0)

c) (xsqrt {{{11} over x}}  = sqrt {{x^2}{{11} over x}}  = sqrt {11x} ) (với x > 0)

d) (xsqrt {{{ – 29} over x}}  = sqrt {{x^2}{{ – 29} over x}}  =  – sqrt { – 29x} ) (với x < 0)

 


Câu 58 trang 14 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Rút gọn các biểu thức :

a) (sqrt {75}  + sqrt {48}  – sqrt {300} );

b) (sqrt {98}  – sqrt {72}  + 0,5sqrt 8 );

c) (sqrt {9a}  – sqrt {16a}  + sqrt {49a} ) với (a ge 0);

d) (sqrt {16b}  + 2sqrt {40b}  – 3sqrt {90b} ) với (b ge 0).

Gợi ý làm bài

a) (eqalign{
& sqrt {75} + sqrt {48} – sqrt {300} cr
& = sqrt {25.3} + sqrt {16.3} – sqrt {100.3} cr} )

( = 5sqrt 3  + 4sqrt 3  – 10sqrt 3  =  – sqrt 3 )

b) (eqalign{
& sqrt {98} – sqrt {72} + 0,5sqrt 8 cr
& = sqrt {49.2} – sqrt {36.2} + 0,5sqrt {4.2} cr} )

( = 7sqrt 2  – 6sqrt 2  + sqrt 2  = 2sqrt 2 )

c) (eqalign{
& sqrt {9a} – sqrt {16a} + sqrt {49a} cr
& = 3sqrt a – 4sqrt a + 7sqrt a = 6sqrt a cr} ) (với (a ge 0))

d) (eqalign{
& sqrt {16b} + 2sqrt {40b} – 3sqrt {90b} cr
& = sqrt {16b} + 2sqrt {4.10b} – 3sqrt {9.10b} cr} )

(eqalign{
& = 4sqrt b + 4sqrt {10b} – 9sqrt {10b} cr
& = 4sqrt b – 5sqrt {10b} cr} ) (với (b ge 0))

 

Câu 59 trang 14 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Rút gọn các biểu thức:

a) (left( {2sqrt 3  + sqrt 5 } right)sqrt 3  – sqrt {60} );

b) (left( {5sqrt 2  + 2sqrt 5 } right)sqrt 5  – sqrt {250} );

c) (left( {sqrt {28}  – sqrt {12}  – sqrt 7 } right)sqrt 7  + 2sqrt {21} );

d) (left( {sqrt {99}  – sqrt {18}  – sqrt {11} } right)sqrt {11}  + 3sqrt {22} ).

Gợi ý làm bài

(eqalign{
& a),left( {2sqrt 3 + sqrt 5 } right)sqrt 3 – sqrt {60} cr
& = 2sqrt {{3^2}} + sqrt {15} – sqrt {4.15} cr} )

( = 6 + sqrt {15}  – 2sqrt {15}  = 6 – sqrt {15} )

(eqalign{
& b),left( {5sqrt 2 + 2sqrt 5 } right)sqrt 5 – sqrt {250} cr
& = 5sqrt {10} + 2sqrt {{5^2}} – sqrt {25.10} cr} )

( = 5sqrt {10}  + 10 – 5sqrt {10}  = 10)

(eqalign{
& c),left( {sqrt {28} – sqrt {12} – sqrt 7 } right)sqrt 7 + 2sqrt {21} cr
& = left( {sqrt {4.7} – sqrt {4.3} – sqrt 7 } right)sqrt 7 + 2sqrt {21} cr} )

( = left( {2sqrt 7  – 2sqrt 3  – sqrt 7 } right)sqrt 7  + 2sqrt {21} )

( = 2sqrt {{7^2}}  – 2sqrt {21}  – sqrt {{7^2}}  + 2sqrt {21} )

( = 14 – 7 = 7)

(eqalign{
& d),left( {sqrt {99} – sqrt {18} – sqrt {11} } right)sqrt {11} + 3sqrt {22} cr
& = left( {sqrt {9.11} – sqrt {9.2} – sqrt {11} } right)sqrt {11} + 3sqrt {22} cr} )

( = left( {3sqrt {11}  – 3sqrt 2  – sqrt {11} } right)sqrt {11}  + 3sqrt {22} )

( = 3sqrt {{{11}^2}}  – 3sqrt {22}  – sqrt {{{11}^2}}  + 3sqrt {22} )

( = 33 – 11 = 22)

 


Câu 60 trang 15 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Rút gọn các biểu thức:

a) (2sqrt {40sqrt {12} }  – 2sqrt {sqrt {75} }  – 3sqrt {5sqrt {48} } );

b) (2sqrt {8sqrt 3 }  – 2sqrt {5sqrt 3 }  – 3sqrt {20sqrt 3 } ).

Gợi ý làm bài

a) (2sqrt {40sqrt {12} }  – 2sqrt {sqrt {75} }  – 3sqrt {5sqrt {48} } )

( = 2sqrt {40sqrt {4.3} }  – 2sqrt {sqrt {25.3} }  – 3sqrt {5sqrt {16.3} } )

( = 2sqrt {80sqrt 3 }  – 2sqrt {5sqrt 3 }  – 3sqrt {5.4sqrt 3 } )

( = 2sqrt {16.5sqrt 3 }  – 2sqrt {5sqrt 3 }  – 3sqrt {5.4sqrt 3 } )

( = 8sqrt {5sqrt 3 }  – 2sqrt {5sqrt 3 }  – 6sqrt {5sqrt 3 }  = 0)

(eqalign{
& b),2sqrt {8sqrt 3 } – 2sqrt {5sqrt 3 } – 3sqrt {20sqrt 3 } cr
& = 2sqrt {4.2sqrt 3 } – 2sqrt {5sqrt 3 } – 3sqrt {4.5sqrt 3 } cr} )

(eqalign{
& = 4sqrt {2sqrt 3 } – 2sqrt {5sqrt 3 } – 6sqrt {5sqrt 3 } cr
& = 4sqrt 2 – 8sqrt {5sqrt 3 } cr} )

 


Câu 61 trang 15 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Khai triển và rút gọn các biểu thức ( với x và y không âm):

a) (left( {1 – sqrt x } right)left( {1 + sqrt x  + x} right));

b) (left( {sqrt x  + 2} right)left( {x – 2sqrt x  + 4} right));

c) (left( {sqrt x  – sqrt y } right)left( {x + y – sqrt {xy} } right));

d) (left( {sqrt x  + sqrt y } right)left( {{x^2} + y – xsqrt y } right)).

Gợi ý làm bài

(eqalign{
& a),left( {1 – sqrt x } right)left( {1 + sqrt x + x} right) cr
& = left( {1 – sqrt x } right)left[ {1 + 1sqrt x + {{left( {sqrt x } right)}^2}} right] cr} )

( = 1 – {left( {sqrt x } right)^3} = 1 – xsqrt x ) (với (x ge 0))

(eqalign{
& b),left( {sqrt x + 2} right)left( {x – 2sqrt x + 4} right) cr
& = left( {sqrt x + 2} right)left[ {{{left( {sqrt x } right)}^2} – sqrt x .2 + {2^2}} right] cr} )

( = {left( {sqrt x } right)^3} + {2^3} = xsqrt x  + 8) (với (x ge 0))

c) (left( {sqrt x  – sqrt y } right)left( {x + y – sqrt {xy} } right))

( = left( {sqrt x  – sqrt y } right)left[ {{{left( {sqrt x } right)}^2} – sqrt x .sqrt y  + {{left( {sqrt y } right)}^2}} right])

( = {left( {sqrt x } right)^3} – {left( {sqrt y } right)^3} = xsqrt x  – ysqrt y ) (với (x ge 0), (y ge 0))

(eqalign{
& d),,left( {sqrt x + sqrt y } right)left( {{x^2} + y – xsqrt y } right) cr
& = left( {sqrt x + sqrt y } right)left[ {{x^2} – xsqrt y + {{left( {sqrt y } right)}^2}} right] cr} )

( = {x^3} + {left( {sqrt y } right)^3} = {x^3} + ysqrt y ) (với (y ge 0))

 


Câu 62 trang 15 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Khai triển và rút gọn các biểu thức (với x, y không âm):

a) (left( {4sqrt x  – sqrt {2x} } right)left( {sqrt x  – sqrt {2x} } right));

b) (left( {2sqrt x  + sqrt y } right)left( {3sqrt x  – 2sqrt y } right)).

Gợi ý làm bài

a) (left( {4sqrt x  – 2sqrt x } right)left( {sqrt x  – sqrt {2x} } right))

( = 4sqrt {{x^2}}  – 4sqrt {2{x^2}}  – sqrt {2{x^2}}  + sqrt {4{x^2}} )

(eqalign{
& = 4x – 4xsqrt 2 – xsqrt 2 + 2x cr
& = 6x – 5xsqrt 2 cr} ) (với (x ge 0))

b) (left( {2sqrt x  + sqrt y } right)left( {3sqrt x  – 2sqrt y } right))

( = 6sqrt {{x^2}}  – 4sqrt {xy}  + 3sqrt {xy}  – 2sqrt {{y^2}} )

( = 6x – sqrt {xy}  – 2y) (với (x ge 0), (y ge 0))

 

Câu 63 trang 15 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Chứng minh:

a) ({{left( {xsqrt y  + ysqrt x } right)left( {sqrt x  – sqrt y } right)} over {sqrt {xy} }} = x – y)

với x > 0 và y > 0;

b) ({{sqrt {{x^3}}  – 1} over {sqrt x  – 1}} = x + sqrt x  + 1) với (x ge 0) và (x ne 1).

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

({{left( {xsqrt y  + ysqrt x } right)left( {sqrt x  – sqrt y } right)} over {sqrt {xy} }} = {{left( {sqrt {{x^2}y}  + sqrt {x{y^2}} } right)left( {sqrt x  – sqrt y } right)} over {sqrt {xy} }})

( = {{sqrt {xy} left( {sqrt x  + sqrt y } right)left( {sqrt x  – sqrt y } right)} over {sqrt {xy} }} = left( {sqrt x  + sqrt y } right)left( {sqrt x  – sqrt y } right))

( = {left( {sqrt x } right)^2} – {left( {sqrt y } right)^2} = x – y)

(với x > 0 và y > 0)

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

b) Vì x > 0 nên (sqrt {{x^3}}  = {left( {sqrt x } right)^3})

Ta có:

({{sqrt {{x^3}}  – 1} over {sqrt x  – 1}} = {{{{left( {sqrt x } right)}^3} – {1^3}} over {sqrt x  – 1}} = {{left( {sqrt x  – 1} right)left( {x + sqrt x  + 1} right)} over {sqrt x  – 1}})

( = x + sqrt x  + 1$ với (x ge 0) và (x ne 1).

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

 


Câu 64 trang 15 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

a) Chứng minh:

(x + 2sqrt {2x – 4}  = {left( {sqrt 2  + sqrt {x – 2} } right)^2}) với (x ge 2);

b) Rút gọn biểu thức:

(sqrt {x + 2sqrt {2x – 4} }  + sqrt {x – 2sqrt {2x – 4} } ) với (x ge 2).

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

(eqalign{
& x + 2sqrt {2x – 4} = x + 2sqrt {2left( {x – 2} right)} cr
& = 2 + 2sqrt 2 .sqrt {x – 2} + x – 2 cr} )

( = {left( {sqrt 2 } right)^2} + 2.sqrt 2 .sqrt {x – 2}  + {left( {sqrt {x – 2} } right)^2})

( = {left( {sqrt 2  + sqrt {x – 2} } right)^2}) (với (x ge 2))

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

b) Ta có:

(sqrt {x + 2sqrt {2x – 4} }  + sqrt {x – 2sqrt {2x – 4} } )

( = sqrt {2 + 2sqrt 2 .sqrt {x – 2}  + x – 2}  + sqrt {2 – 2sqrt 2 .sqrt {x – 2}  + x – 2} )

( = sqrt {{{left( {sqrt 2  + sqrt {x – 2} } right)}^2}}  + sqrt {{{left( {sqrt 2  – sqrt x  – 2} right)}^2}} )

( = left| {sqrt 2  + sqrt {x – 2} } right| + left| {sqrt 2  – sqrt {x – 2} } right|)

( = sqrt 2  + sqrt {x – 2}  + left| {sqrt 2  – sqrt {x – 2} } right|)

– Nếu (sqrt 2  – sqrt {x – 2}  ge 0) thì

(eqalign{
& sqrt {x – 2} le sqrt 2 Leftrightarrow x – 2 le 2 cr
& Leftrightarrow x – 2 le 2 Leftrightarrow x le 4 cr} )

Với (2 le x le 4) thì (left| {sqrt 2  – sqrt {x – 2} } right| = sqrt 2  – sqrt {x – 2} )

Ta có: (sqrt 2  + sqrt {x – 2}  + sqrt 2  – sqrt {x – 2}  = 2sqrt 2 )

– Nếu (sqrt 2  – sqrt {x – 2}  < 0) thì

(sqrt {x – 2}  > sqrt 2  Leftrightarrow x – 2 > 2 Leftrightarrow x > 4)

Với x > 4 thì (left| {sqrt 2  – sqrt {x – 2} } right| = sqrt {x – 2}  – sqrt 2 )

Ta có: (sqrt 2  + sqrt {x – 2}  + sqrt {x – 2}  – sqrt 2  = 2sqrt {x – 2} )

 


Câu 65 trang 15 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Tìm x, biết:

a) (sqrt {25x}  = 35);

b) (sqrt {4x}  le 162);

c) (3sqrt x  = sqrt {12} );

d) (2sqrt x  ge 10).

Gợi ý làm bài

(eqalign{
& a),sqrt {25x} = 35 Leftrightarrow 5sqrt x = 35 cr
& Leftrightarrow sqrt x = 7 Leftrightarrow x = 49 cr} )

(eqalign{
& b),sqrt {4x} le 162 Leftrightarrow 2sqrt x le 162 cr
& Leftrightarrow sqrt x le 81 Leftrightarrow x le 6561 cr} )

Suy ra : (0 le x le 6561)

(eqalign{
& b),3sqrt x = 12 Leftrightarrow 3sqrt x = 2sqrt 3 cr
& Leftrightarrow sqrt x = {2 over 3}sqrt 3 Leftrightarrow x = {left( {{2 over 3}sqrt 3 } right)^2} cr
& Leftrightarrow x = – {4 over 3} cr} )

d) (2sqrt x  ge sqrt {10}  Leftrightarrow sqrt x  ge {{sqrt {10} } over 2} Leftrightarrow x = {5 over 2})

Câu 66 trang 15 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Tìm x, biết:

a) (sqrt {{x^2} – 9}  – 3sqrt {x – 3}  = 0);

b) (sqrt {{x^2} – 4}  – 2sqrt {x + 2}  = 0).

Gợi ý làm bài

a) Điều kiện: (x – 3 ge 0 Leftrightarrow x ge 3)

Ta có:

(eqalign{
& sqrt {{x^2} – 9} – 3sqrt {x – 3} = 0 cr
& Leftrightarrow sqrt {(x + 3)(x – 3)} – 3sqrt {x – 3} cr} )

(eqalign{
& Leftrightarrow sqrt {x – 3} (sqrt {x + 3} – 3) = 0 cr
& Leftrightarrow sqrt {x – 3} = 0 cr} ) hoặc (sqrt {x + 3}  – 3 = 0)

+) (sqrt {x – 3}  = 0 Leftrightarrow x – 3 = 0 Leftrightarrow x = 3) (thỏa mãn)

+) (eqalign{
& sqrt {x + 3} – 3 = 0 Leftrightarrow sqrt {x + 3} = 3 cr
& Leftrightarrow x + 3 = 9 Leftrightarrow x = 6 cr} ) (thỏa mãn)

Vậy x = 3 và x = 6.

b) Điều kiện: (x ge 2) hoặc x = -2

Ta có:

(eqalign{
& sqrt {{x^2} – 4} – 2sqrt {x + 2} = 0 cr
& Leftrightarrow sqrt {(x + 2)(x – 2)} – 2sqrt {x + 2} = 0 cr} )

(eqalign{
& Leftrightarrow sqrt {x + 2} (sqrt {x + 2} – 2) = 0 cr
& Leftrightarrow sqrt {x + 2} = 0 cr} $$ hoặc $$sqrt {x – 2}  – 2 = 0)

+) (eqalign{
& sqrt {x + 2} = 0 Leftrightarrow x + 2 = 0 cr
& Leftrightarrow x = – 2 cr} ) (thỏa mãn)

+) (eqalign{
& sqrt {x – 2} – 2 = 0 Leftrightarrow sqrt {x – 2} = 2 cr
& Leftrightarrow x – 2 = 4 Leftrightarrow x = 6 cr} ) (thỏa mãn)

Vậy x = -2 và x = 6.

 


Câu 67 trang 15 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm, chứng minh:

a) Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất.

b) Trong các hinh chữ  nhật có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi bé nhất.

Gợi ý làm bài

Với hai số không âm a và b, bất đẳng thức Cô-si cho hai số đó là:

({{a + b} over 2} ge sqrt {ab} )

a) Các hình chữ nhật có cùng chu vi thì ({{a + b} over 2}) không đổi. Từ bất đẳng thức:

({{a + b} over 2} ge sqrt {ab} ) và ({{a + b} over 2}) không đổi suy ra  ({{a + b} over 2}) (sqrt {ab} ) đạt giá trị lớn nhất bằng ({{a + b} over 2}) khi a = b.

Điều này cho thấy trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện thì hình vuông có diện tích lớn nhất.

b) Các hình chữ nhật có cùng diện tích thì ab không đổi. Từ bất đẳng thức:

({{a + b} over 2} ge sqrt {ab} ) và ab không đổi suy ra ({{a + b} over 2}) đạt giá trị nhỏ nhất bằng (sqrt {ab} ) khi a = b.

Điều này cho thấy trong các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi bé nhất.

The post Bài 6 Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai Sách bài tập Toán 9 tập 1 appeared first on Sách Toán – Học toán.

Goc hoc tap