1. Bài tập cơ bản

Bài 1: Từ điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O), kẻ cát tuyến MAB đi qua O và các tiếp tuyến MC,MD. Gọi K là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng: bốn điểm B,C,M,K thuộc cùng một đường tròn

Bài 6: Cung chứa góc

Hướng dẫn:

Ta đã biết MO là đường trung trực của CD nên AB là đường trung trực của CD, suy ra (widehat{MBK}=widehat{MBC})

Mặt khác (widehat{MBC}=widehat{MCK}) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung CA)

Do đó (widehat{MBK}=widehat{MCK})

Tứ giác MCBK có (widehat{MBK}=widehat{MCK}) nên M,C,B,K cùng thuộc một đường tròn.

 

Bài 2: Cho hình thang ABCD (AB//CD), O là giao điểm hai đường chéo. Trên tia OA lấy điểm M sao cho OM=OB. Trên tia OB lấy điểm M sao cho ON=OA. Chứng minh rằng: bốn điểm D,M,N,C cùng thuộc một đường tròn.

Bài 6: Cung chứa góc

Hướng dẫn:

Xét hai tam giác (bigtriangleup AOB) và (bigtriangleup NOM) có (widehat{AOB}) chung và OA=ON; OM=OB

nên (bigtriangleup AOB=bigtriangleup NOM)(c.g.c)

suy ra (widehat{BAO}=widehat{MNO})

Mặt khác do AB//CD (hình thang) nên (widehat{BAO}=widehat{DCO}), từ đó suy ra (widehat{MNO}=widehat{DCO})

Xét tứ giác DMNC có (widehat{MNO}=widehat{DCO}) mà hai góc này cùng nhìn cạnh MD nên bốn điểm D,M,N,C cùng thuộc một đường tròn.

 

Bài 3: Dựng tam giác ABC, biết BC=3cm, (widehat{A}=45^0) và trung tuyến AM=2,5cm

Hướng dẫn: 

Trình tự dựng gồm các bước sau:

– Dựng đoạn thằng BC=3cm.

– Dựng cung chứa góc (45^0) trên đoạn thẳng BC (cung BmC)

– Gọi M là trung điểm BC.

– Dựng đường tròn tâm M, bán kính 2,5cm, đường tròn này cắt cung BmC tại A và A’

Lúc đó tam giác ABC (hoặc A’BC) là tam giác thỏa yêu cầu bài toán (BC=3cm, (widehat{A}=45^0) và trung tuyến AM=2,5cm)

Bài 6: Cung chứa góc

2. Bài tập nâng cao

Bài 1: Cho cung AB cố định tạo bởi các bán kính OA,OB vuông góc với nhau, điểm I chuyển động trên cung AB. Trên tia OI lấy điểm M sao cho OM bằng tổng các khoảng cách từ I đến OA và OB. Tìm quỹ tích các điểm M.

Bài 6: Cung chứa góc

Hướng dẫn:

Phần thuận: Kẻ (IHperp OA,IKperp OB), điểm M thuộc OI có tính chất OM=IH+IK (1)

Kẻ (BEperp OI). Ta có (bigtriangleup OBE=bigtriangleup OIK) (cạnh huyền -góc nhọn) nên OE=OK=IH, BE=IK (2)

Từ (1) và (2) suy ra OM=IH+IK=OE+BE và do đó EM=EB

Suy ra tam giác EMB vuông cân tại E nên (widehat{EMB}=45^0). Điểm M nhìn OB cố định dới góc (45^0) nên M di chuyển trên cung chứa góc (45^0) dựng trên OB.

Mặt khác, vì điểm M chỉ nằm bên trong góc vuông AOB nên M chỉ di chuyển trên cung AmB, một phần của cung chứa góc (45^0) dựng trên OB.

Phần đảo: Lấy điểm M bất kì trên cung AmB. Kẻ (BEperp OM,IHperp OA, IKperp OB) ta sẽ chứng minh OM=IH+IK

Thật vậy, ta làm ngược lại với phần thuận

Do (widehat{OMB}=45^0) nên tam giác EMB vuông cân tại E, suy ra EM=EB

(bigtriangleup OBE=bigtriangleup OIK) (cạnh huyền -góc nhọn) nên OE=OK=IH, BE=IK. Do đó EM=IK

Vậy OM=OE+EM=IH+IK

Kết luận: Quỹ tích (tập hợp) các điểm M là cung AmB, một phần của cung chứa góc (45^0) dựng trên đoạn OB nằm bên trong góc vuông AOB.

 

Bài 2: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. C là một điểm trên nửa đường tròn. Trên bán kính OC lấy điểm D sao cho OD bằng khoảng cách từ C đến AB.

Bài 6: Cung chứa góc

Hướng dẫn: 

Phần thuận: Vẽ (OPperp AB) với P thuộc (O)

Xét (bigtriangleup OPD) và (bigtriangleup COH) có

OD=OH (giả thiết)

OP=OC (cùng bằng bán kính nửa đường tròn)

(widehat{POD}=widehat{OCH}) (so le trong)

Nên (bigtriangleup OPD=bigtriangleup {COH}) (c.g.c) suy ra (widehat{ODP}=90^0)

Mặt khác ta có O,P cố định nên D nằm trên đường tròn đường kính OP

Phần đảo: Lấy điểm D’ bất kì nằm trên đường tròn đường kính OP, tia OD’ cắt (O) tại C’. Hạ đường vuông góc C’H’ xuống AB. Ta sẽ chứng minh OD’=C’H’

Thật vậy, xét hai tam giác vuông OD’P và C’H’O có cạnh huyền OP=OC’ và một góc nhọn (widehat{POD’}=widehat{OC’H’})(so le trong)

Nên (bigtriangleup OD’P=bigtriangleup C’H’O) (cạnh huyền – góc nhọn) suy ra OD’=CH’

Kết luận: Quỹ tích (tập hợp) các điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn đường kính AB là đường tròn đường kính OP với P là điểm chính giữa cung AB.



Source link