Bài 6 Hệ thức Vi-ét và ứng dụng – Sách bài tập Toán 9 tập 2

Bài 6 Hệ thức Vi-ét và ứng dụng – Sách bài tập Toán 9 tập 2

Câu 35 trang 57 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Giải phương trình rồi kiểm nghiệm hệ thức Vi-ét:

a) (3{x^2} – 2x – 5 = 0)

b) (5{x^2} + 2x – 16 = 0)

c) ({1 over 3}{x^2} + 2x – {{16} over 3} = 0)

d) ({1 over 2}{x^2} – 3x + 2 = 0)

Giải

Giải phương trình rồi kiểm nghiệm hệ thức Vi-ét

a) (3{x^2} – 2x – 5 = 0)

Có hệ số a = 3, b = -2, c = -5

(eqalign{
& Delta ‘ = {left( { – 1} right)^2} – 3.left( { – 5} right) = 1 + 15 = 16 > 0 cr
& sqrt {Delta ‘} = sqrt {16} = 4 cr
& {x_1} = {{1 + 4} over 3} = {5 over 3} cr
& {x_2} = {{1 – 4} over 3} = – 1 cr
& {x_1} + {x_2} = {5 over 3} + left( { – 1} right) = {2 over 3} cr
& {x_1}{x_2} = {5 over 3}.left( { – 1} right) = {{ – 5} over 3} cr} )

b) (5{x^2} + 2x – 16 = 0)

Có hệ số a = 5, b = 2, c = -16

(eqalign{
& Delta ‘ = {1^2} – 5.left( { – 16} right) = 1 + 80 = 81 > 0 cr
& sqrt {Delta ‘} = sqrt {81} = 9 cr
& {x_1} = {{ – 1 + 9} over 5} = {8 over 5} cr
& {x_2} = {{ – 1 – 9} over 5} = – 2 cr
& {x_1} + {x_2} = {8 over 5} + left( { – 2} right) = {{ – 2} over 5} cr
& {x_1}{x_2} = {8 over 5}.left( { – 2} right) = {{ – 16} over 5} cr} )

c) ({1 over 3}{x^2} + 2x – {{16} over 3} = 0 Leftrightarrow {x^2} + 6x – 16 = 0)

Có hệ số a = 1, b = 6, c = -16

(eqalign{
& Delta ‘ = {3^2}.left( { – 1} right).left( { – 16} right) = 9 + 16 = 25 > 0 cr
& sqrt {Delta ‘} = sqrt {25} = 5 cr
& {x_1} = {{ – 3 + 5} over 1} = 2 cr
& {x_2} = {{ – 3 – 5} over 1} = – 8 cr
& {x_1} + {x_2} = 2 + left( { – 8} right) = – 6 cr
& {x_1}{x_2} = 2.left( { – 8} right) = – 16 cr} )

d) ({1 over 2}{x^2} – 3x + 2 = 0 Leftrightarrow {x^2} – 6x + 4 = 0)

Có hệ số a = 1, b = -6, c = 4

(eqalign{
& Delta ‘ = {left( { – 3} right)^2} – 1.4 = 9 – 4 = 5 > 0 cr
& sqrt {Delta ‘} = sqrt 5 cr
& {x_1} = {{3 – sqrt 5 } over 1} = 3 – sqrt 5 cr
& {x_2} = {{3 + sqrt 5 } over 1} = 3 + sqrt 5 cr
& {x_1} + {x_2} = 3 – sqrt 5 + 3 + sqrt 5 = 6 cr
& {x_1}{x_2} = left( {3 – sqrt 5 } right)left( {3 + sqrt 5 } right) = 9 – 5 = 4 cr} )

 


Câu 36 trang 57 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Không giải phương trình, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng và tích các nghiệm của mỗi phương trình:

a) (2{x^2} – 7x + 2 = 0)

b) (2{x^2} + 9x + 7 = 0)

c) (left( {2 – sqrt 3 } right){x^2} + 4x + 2 + sqrt 2  = 0)

d) (1,4{x^2} – 3x + 1,2 = 0)

e) (5{x^2} + x + 2 = 0)

Giải

a)

(eqalign{
& 2{x^2} – 7x + 2 = 0 cr
& Delta = {left( { – 7} right)^2} – 4.2.2 = 49 – 16 = 33 > 0 cr} )

Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

({x_1} + {x_2} = {7 over 2};{x_1}{x_2} = {2 over 2} = 1)

b)

(eqalign{
& 5{x^2} + 2x – 16 = 0 cr
& a = 5;c = – 16;ac < 0 cr} )

Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

({x_1} + {x_2} =  – {2 over 5};{x_1}{x_2} =  – {{16} over 5})

c)

(eqalign{
& left( {2 – sqrt 3 } right){x^2} + 4x + 2 + sqrt 2 = 0 cr
& Delta ‘ = {2^2} – left( {2 – sqrt 3 } right)left( {2 + sqrt 2 } right) = 4 – 4 – 2sqrt 2 + 2sqrt 3 + sqrt 6 cr
& = 2sqrt 3 + sqrt 6 – 2sqrt 2 > 0 cr} )

Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

(eqalign{
& {x_1} + {x_2} = {{ – 4} over {2 – sqrt 3 }} = – 4left( {2 + sqrt 3 } right) cr
& {x_1}{x_2} = {{2 + sqrt 2 } over {2 – sqrt 3 }} = {{left( {2 + sqrt 2 } right)left( {2 + sqrt 3 } right)} over {4 – 3}} = 4 + 2sqrt 3 + 2sqrt 2 + sqrt 6 cr} )

d)

(eqalign{
& 1,4{x^2} – 3x + 1,2 = 0 cr
& Delta = {left( { – 3} right)^2} – 4.1,4.1,2 = 9 – 6,72 = 2,28 > 0 cr} )

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

(eqalign{
& {x_1} + {x_2} = – {{ – 3} over {1,4}} = {{30} over {14}} = {{15} over 7} cr
& {x_1}{x_2} = {{1,2} over {1,4}} = {6 over 7} cr} )

e)

(eqalign{
& 5{x^2} + x + 2 = 0 cr
& Delta = 1 – 4.5.2 = 1 – 40 = – 39 < 0 cr} )

Phương trình vô nghiệm, không có tổng và tích của các nghiệm.

 


Câu 37 trang 57 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Tính nhẩm nghiệm của phương trình:

a) (7{x^2} – 9x + 2 = 0)

b) (23{x^2} – 9x – 32 = 0)

c) (1975{x^2} + 4x – 1979 = 0)

d) (left( {5 + sqrt 2 } right){x^2} + left( {5 – sqrt 2 } right)x – 10 = 0)

e) ({1 over 3}{x^2} – {3 over 2}x – {{11} over 6} = 0)

f) (31,1{x^2} – 50,9x + 19,8 = 0)

Giải

a) (7{x^2} – 9x + 2 = 0)

Ta có hệ số: a = 7, b = -9, c = 2

Phương trình có dạng: a + b + c = 0

(Rightarrow 7 + left( { – 9} right) + 2 = 0 Rightarrow {x_1} = 1;{x_2} = {2 over 7})

b) (23{x^2} – 9x – 32 = 0)

Ta có hệ số: a = 23, b = -9, c = -32

Phương trình có dạng: a – b + c = 0

(eqalign{
& Rightarrow 23 – left( { – 9} right) + left( { – 32} right) = 23 + 9 – 32 = 0 cr
& {x_1} = – 1;{x_2} = – {{ – 32} over {23}} = {{32} over {23}} cr} )

c) (1975{x^2} + 4x – 1979 = 0)

Ta có hệ số: a = 1975, b = 4, c = -1979

Phương trình có dạng: (a + b + c = 0)

(eqalign{
& Rightarrow 1975 + 4 + left( { – 1979} right) = 0 cr
& {x_1} = 1;{x_2} = {{ – 1979} over {1975}} cr} )

d) (left( {5 + sqrt 2 } right){x^2} + left( {5 – sqrt 2 } right)x – 10 = 0)

Ta có hệ số (a = 5 + sqrt 2 ,b = 5 – sqrt 2 ,c =  – 10)

Phương trình có dạng: (a + b + c = 0)

(eqalign{
& Rightarrow 5 + sqrt 2 + 5 – sqrt 2 + left( { – 10} right) = 0 cr
& {x_1} = 2;{x_2} = {{ – 10} over {5 + sqrt 2 }} = – {{10left( {5 – sqrt 2 } right)} over {23}} cr} )

e) ({1 over 3}{x^2} – {3 over 2}x – {{11} over 6} = 0)

Ta có hệ số: (a = {1 over 3},b =  – {3 over 2},c =  – {{11} over 6})

Phương trình có dạng: (a – b + c = 0)

(eqalign{
& Rightarrow {1 over 3} – left( { – {3 over 2}} right) + left( { – {{11} over 6}} right) = {1 over 3} + {3 over 2} – {{11} over 6} = {2 over 6} + {9 over 6} – {{11} over 6} = 0 cr
& {x_1} = 1;{x_2} = – {{ – 11} over 6}:{1 over 3} = {{11} over 6}.{3 over 1} = {{11} over 2} cr} )

f) (31,1{x^2} – 50,9x + 19,8 = 0)

Ta có hệ số: a = 31,1; b = -50,9; c = 19,8

Phương trình có dạng: (a + b + c = 0)

(eqalign{
& Rightarrow 31,1 + left( { – 50,9} right) + 19,8 = 0 cr
& {x_1} = 1;{x_2} = {{19,8} over {31,1}} = {{198} over {311}} cr} )


Câu 38 trang 57 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của phương trình:

a) ({x^2} – 6x + 8 = 0)

b) ({x^2} – 12x + 32 = 0)

c) ({x^2} + 6x + 8 = 0)

d) ({x^2} – 3x – 10 = 0)

e) ({x^2} + 3x – 10 = 0)

Giải

a)

(eqalign{
& {x^2} – 6x + 8 = 0 cr
& Delta ‘ = {left( { – 3} right)^2} – 1.8 = 9 – 8 = 1 > 0 cr} )

Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

(left{ {matrix{
{{x_1} + {x_2} = 6} cr
{{x_1}{x_2} = 8} cr} Leftrightarrow {x_1} = 2;{x_2} = 4} right.)

b)

(eqalign{
& {x_2} – 12x + 32 = 0 cr
& Delta ‘ = {left( { – 6} right)^2} – 1.32 = 36 – 32 = 4 > 0 cr} )

Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

(left{ {matrix{
{{x_1} + {x_2} = 12} cr
{{x_1}{x_2} = 32} cr} Leftrightarrow {x_1} = 4;{x_2} = 8} right.)

c)

(eqalign{
& {x^2} + 6x + 8 = 0 cr
& Delta ‘ = {3^2} – 1.8 = 9 – 8 = 1 > 0 cr} )

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

(left{ {matrix{
{{x_1} + {x_2} = – 6} cr
{{x_1}{x_2} = 8} cr} Leftrightarrow {x_1} = – 2} right.;{x_2} = – 4)

d)

({x^2} – 3x – 10 = 0;a = 1;c =  – 10 Leftrightarrow ac < 0)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

(left{ {matrix{
{{x_1} + {x_2} = 3} cr
{{x_1}{x_2} = – 10} cr} Leftrightarrow {x_1} = – 2} right.;{x_2} = 5)

e) ({x^2} + 3x – 10 = 0;a = 1;c =  – 10;ac < 0)

Phương trình có hai nghiệm

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

(left{ {matrix{
{{x_1} + {x_2} = – 3} cr
{{x_1}{x_2} = – 10} cr} Leftrightarrow {x_1} = 2;{x_2} = – 5} right.)

 


Câu 39 trang 57 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

a) Chứng tỏ rằng phương trình (3{x^2} + 2x – 21 = 0) có một nghiệm là -3. Hãy tìm nghiệm kia

b) Chứng tỏ rằng phương trình ( – 4{x^2} – 3x + 115 = 0) có một nghiệm là 5. Tìm nghiệm kia

Giải

a) Thay x = -3 vào vế trái của phương trình ta có:

(3{left( { – 3} right)^2} + 2left( { – 3} right) – 21 = 27 – 6 – 21 = 0)

Vậy x = -3 là nghiệm của phương trình (3{x^2} + 2x – 21 = 0)

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

({x_1}{x_2} = {{ – 21} over 3} Rightarrow  – 3.{x_2} = {{ – 21} over 3} Leftrightarrow {x_2} = {7 over 3})

b) Thay x = 5 vào vế trái của phương trình ta có:

( – {4.5^2} – 3.5 + 115 =  – 100 – 15 + 115 = 0)

Vậy x = 5 là nghiệm của phương trình ( – 4{x^2} – 3x + 115 = 0)

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

({x_1}{x_2} = {{115} over { – 4}} Rightarrow 5{x_2} =  – {{115} over 4} Leftrightarrow {x_2} =  – {{23} over 4})

 


Câu 40 trang 57 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Dùng hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm x2 của phương trình rồi tìm giá trị của m trong mỗi trường hợp sau:

a) Phương trình ({x^2} + mx – 35 = 0), biết nghiệm x1 = 7

b) Phương trình ({x^2} – 13x + m = 0,) biết nghiệm x1 = 12,5

c) Phương trình (4{x^2} + 3x – {m^2} + 3m = 0,) biết nghiệm x1 = -2

d) Phương trình (3{x^2} – 2left( {m – 3} right)x + 5 = 0,) biết nghiệm ({x_1} = {1 over 3})

Giải

a) Phương trình ({x^2} + mx – 35 = 0) có nghiệm x1 = 7

Theo hệ thức Vi-ét ta có: ({x_1}{x_2} =  – 35 Rightarrow 7{x_2} =  – 35 Leftrightarrow {x_2} =  – 5)

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

(eqalign{
& {x_1} + {x_2} = – m cr
& Rightarrow – m = 7 + left( { – 5} right) Leftrightarrow – m = 2 Leftrightarrow m = – 2 cr} )

Vậy m = -2 thì phương trình ({x^2} + mx – 35 = 0) có nghiệm x1 = 7 và nghiệm x2 = -5

b) Phương trình ({x^2} – 13x + m = 0) có nghiệm x1 = 12,5

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

({x_1} + {x_2} = 13 Rightarrow 12,5 + {x_2} = 13 Leftrightarrow {x_2} = 0,5)

Theo hệ thức Vi-ét ta có: ({x_1}{x_2} = m Rightarrow m = 12,5.0,5 = 6,25)

Vậy với m = 6,25 thì phương trình ({x^2} – 13x + m = 0) có nghiệm x1 = 12,5 và có nghiệm x2 = 0,5

c) Phương trình (4{x^2} + 3x – {m^2} + 3m = 0) có nghiệm x1 = -2

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

({x_1} + {x_2} =  – {3 over 4} Rightarrow  – 2 + {x_2} =  – {3 over 4} Leftrightarrow {x_2} = {5 over 4})

Theo hệ thức Vi-ét ta có: ({x_1}{x_2} = {{ – {m^2} + 3m} over 4})

(eqalign{
& Rightarrow 2.{5 over 4} = {{ – {m^2} + 3m} over 4} Leftrightarrow {m^2} – 3m – 10 = 0 cr
& Delta = {left( { – 3} right)^2} – 4.1.left( { – 10} right) = 9 + 40 = 49 > 0 cr
& Rightarrow sqrt Delta = sqrt {49} = 7 cr
& {m_1} = {{3 + 7} over {2.1}} = 5 cr
& {m_2} = {{3 – 7} over {2.1}} = – 2 cr} )

Vậy m = 5 hoặc m = -2 thì phương trình (4{x^2} + 3x – {m^2} + 3m = 0) có nghiệm x1 = -2 và nghiệm ({x_2} = {5 over 4})

d) Phương trình (3{x^2} – 2left( {m – 3} right)x + 5 = 0)

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

({x_1}{x_2} = {5 over 3} Rightarrow {1 over 3}{x_2} = {5 over 3} Leftrightarrow {x_2} = 5)

Theo hệ thức Vi-ét ta có: ({x_1} + {x_2} = {{2left( {m – 3} right)} over 3})

( Rightarrow {1 over 3} + 5 = {{2left( {m – 3} right)} over 3} Leftrightarrow 2left( {m – 3} right) = 16 Leftrightarrow m – 3 = 8 Leftrightarrow m = 11)

Vậy m = 11 thì phương trình (3{x^2} – 2left( {m – 3} right)x + 5 = 0) có nghiệm ({x_1} = {1 over 3}) và nghiệm ({x_2} = 5).

 


Câu 41 trang 58 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a) u + v = 14; uv = 40

b) (u + v =  – 7;uv = 12)

c) (u + v =  – 5;uv =  – 24)

d) (u + v = 4,uv = 19)

e) (u – v = 10,uv = 24)

f) ({u^2} + {v^2} = 85,uv = 18)

Giải

a) Hai số u và v có u + v = 14, uv = 40 nên nó là nghiệm của phương trình:

(eqalign{
& {x^2} – 14x + 40 = 0 cr
& Delta ‘ = {left( { – 7} right)^2} – 1.40 = 49 – 40 = 9 > 0 cr
& sqrt {Delta ‘} = sqrt 9 = 3 cr} )

({x_1} = {{7 + 3} over 1} = 10;{x_2} = {{7 – 3} over 1} = 4)

Vậy hai số: u = 10; v = 4 hoặc u = 4; v = 10

b) Hai số u và v có u + v = -7 và uv = 12 nên nó là nghiệm của phương trình ({x^2} + 7x + 12 = 0)

(eqalign{
& Delta = {7^2} – 4.1.12 = 49 – 48 = 1 > 0 cr
& sqrt Delta = sqrt 1 = 1 cr
& {x_1} = {{ – 7 + 1} over {2.1}} = – 3 cr
& {x_2} = {{ – 7 – 1} over {2.1}} = – 4 cr} )

Vậy hai số: u = -3; v = -4 hoặc u = -4; v = -3.

c) Hai số u và v có u + u = -5, uv = -24 nên nó là nghiệm của phương trình ({x^2} + 5x – 24 = 0)

(eqalign{
& Delta = {5^2} – 4.1.left( { – 24} right) = 25 + 96 = 121 > 0 cr
& sqrt Delta = sqrt {121} = 11 cr
& {x_1} = {{ – 5 + 11} over {2.1}} = 3 cr
& {x_2} = {{ – 5 – 11} over {2.1}} = – 8 cr} )

Vậy hai số u = 3; v = -8 hoặc u = -8; v = 3

d) Hai số u và v có u + v = 4, uv = 19 nên nó là nghiệm của phương trình ({x^2} – 4x + 19 = 0)

(Delta ‘ = {left( { – 2} right)^2} – 1.19 = 4 – 19 =  – 15 < 0)

Phương trình vô nghiệm, không có giá trị nào của u và v thỏa mãn điều kiện bài toán

e) Hai số u và v có u – v = 10 và uv = 24 suy ra: u + (-v) = 10 và u(-v) = -24 nên hai số u và –v là nghiệm của phương trình ({x^2} – 10x – 24 = 0)

(eqalign{
& Delta ‘ = {left( { – 5} right)^2} – 1.left( { – 24} right) = 25 + 24 = 49 > 0 cr
& sqrt {Delta ‘} = sqrt {49} = 7 cr
& {x_1} = {{5 + 7} over 1} = 12 cr
& {x_2} = {{5 – 7} over 1} = – 2 cr} )

Hai số: u = 12; -v = -2 ⇒ v = 2 hoặc u = -2; v = -12 ⇒ v = -12

Vậy: u = 12; v = 2 hoặc u = -2; v = -12

f) Hai số u và v có ({u^2} + {v^2} = 85) và uv = 18 suy ra: ({u^2}{v^2} = 324) nên hai số ({u^2}) và ({v^2}) là nghiệm của phương trình ({x^2} – 85x + 324 = 0)

(eqalign{
& Delta = {left( { – 85} right)^2} – 4.1.324 = 7225 – 1296 = 5929 > 0 cr
& sqrt Delta = sqrt {5929} = 77 cr
& {x_1} = {{85 + 77} over {2.1}} = 81 cr
& {x_2} = {{85 – 77} over {2.1}} = 4 cr} )

Hai số: ({u^2} = 81;{v^2} = 4) hoặc ({u^2} = 4;{v^2} = 81)

⇒ u = ± 9; v = ± 2 hoặc u = ± 2; v = ± 9

Vì uv = 18 nên u và v cùng dấu ta có:

Nếu u = 9 thì v = 2 hoặc u = -9 thì v = -2

Nếu u = 2 thì v = 9 hoặc nếu u = -2 thì v = -9


Câu 42 trang 58 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Lập phương trình có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau:

a) 3 và 5;

b) -4 và 7;

c) -5 và ({1 over 3});

d) 1,9 và 5,1;

e) 4 và (1 – sqrt 2 );

f) (3 – sqrt 5 ) và (3 + sqrt 5 )

Giải

a) Hai số 3 và 5 là nghiệm của phương trình:

(eqalign{
& left( {x – 3} right)left( {x – 5} right) = 0 cr
& Leftrightarrow {x^2} – 5x – 3x + 15 = 0 cr
& Leftrightarrow {x^2} – 8x + 15 = 0 cr} )

b) Hai số -4 và 7 là nghiệm của phương trình:

(eqalign{
& left( {x + 4} right)left( {x – 7} right) = 0 cr
& Leftrightarrow {x^2} – 7x + 4x – 28 = 0 cr
& Leftrightarrow {x^2} – 3x – 28 = 0 cr} )

c) Hai số -5 và ({1 over 3}) là nghiệm của phương trình:

(eqalign{
& left( {x + 5} right)left( {x – {1 over 3}} right) = 0 cr
& Leftrightarrow {x^2} – {1 over 3}x + 5x – {5 over 3} = 0 cr
& Leftrightarrow 3{x^2} + 14x – 5 = 0 cr} )

d) Hai số 1,9 và 5,1 là nghiệm của phương trình:

(eqalign{
& left( {x – 1,9} right)left( {x – 5,1} right) = 0 cr
& Leftrightarrow {x^2} – 5,1x – 1,9x + 9,69 = 0 cr
& Leftrightarrow {x^2} – 7x + 9,69 = 0 cr} )

e) Hai số 4 và (1 – sqrt 2 ) là nghiệm của phương trình:

(eqalign{
& left( {x – 4} right)left[ {x – left( {1 – sqrt 2 } right)} right] = 0 cr
& Leftrightarrow left( {x – 4} right)left( {x – 1 + sqrt 2 } right) = 0 cr
& Leftrightarrow {x^2} – x + sqrt 2 x – 4x + 4 – 4sqrt 2 = 0 cr
& Leftrightarrow {x^2} – left( {5 – sqrt 2 } right)x + 4 – 4sqrt 2 = 0 cr} )

f) Hai số (3 – sqrt 5 ) và (3 + sqrt 5 ) là nghiệm của phương trình:

(eqalign{
& left[ {x – left( {3 – sqrt 5 } right)} right]left[ {x – left( {3 + sqrt 5 } right)} right] = 0 cr
& Leftrightarrow {x^2} – left( {3 + sqrt 5 } right)x – left( {3 – sqrt 5 } right)x + left( {3 – sqrt 5 } right)left( {3 + sqrt 5 } right) = 0 cr
& Leftrightarrow {x^2} – 6x + 4 = 0 cr} )

 


Câu 43 trang 58 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Cho phương trình ({x^2} + px – 5 = 0) có nghiệm là x1, x2. Hãy lập phương trình có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau:

a) –x1 và –x2

b) ({1 over {{x_1}}}) và ({1 over {{x_2}}})

Giải

Phương trình: ({x^2} + px – 5 = 0) có hai nghiệm x1 và x2. Theo hệ thức Vi-ét ta có:

(eqalign{
& {x_1} + {x_2} = – {p over 1} = – p cr
& {x_1}{x_2} = {{ – 5} over 1} = – 5 cr} )    (1)

a) Hai số -x1 và –xlà nghiệm của phương trình:

(eqalign{
& left[ {x – left( { – {x_1}} right)} right]left[ {x – left( { – {x_2}} right)} right] = 0 cr
& Leftrightarrow {x^2} – left( { – {x_2}x} right) – left( { – {x_1}x} right) + left( { – {x_1}} right)left( { – {x_2}} right) = 0 cr
& Leftrightarrow {x_2} + left( {{x_1} + {x_2}} right)x + {x_1}{x_2} = 0(2) cr} )

Từ (1) và (2) phương trình phải tìm: ({x^2} – px – 5 = 0)

b) Hai số ({1 over {{x_1}}}) và ({1 over {{x_2}}}) là nghiệm của phương trình:

(eqalign{
& left( {x – {1 over {{x_1}}}} right)left( {x – {1 over {{x_2}}}} right) = 0 cr
& Leftrightarrow {x^2} – {1 over {{x_2}}}x – {1 over {{x_1}}}x + {1 over {{x_1}}}.{1 over {{x_2}}} = 0 cr
& Leftrightarrow {x^2} – left( {{1 over {{x_1}}} + {1 over {{x_2}}}} right)x + {1 over {{x_1}{x_2}}} = 0 cr
& Leftrightarrow {x^2} – {{{x_1} + {x_2}} over {{x_1}{x_2}}}x + {1 over {{x_1}{x_2}}} = 0(3) cr} )

Từ (1) và (3) suy ra phương trình phải tìm:

(eqalign{
& {x^2} – {{ – p} over { – 5}}x + {1 over { – 5}} = 0 cr
& Leftrightarrow {x^2} – {p over 5}x – {1 over 5} = 0 cr
& Leftrightarrow 5{x^2} – px – 1 = 0 cr} )

 


Câu 44 trang 58 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Cho phương trình ({x^2} – 6x + m = 0.) Tính giá trị của m, biết rằng phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện x1 – x2 = 4.

Giải

Phương trình ({x^2} – 6x + m = 0) có hai nghiệm x1, x2. Theo hệ thức Vi-ét ta có:

({x_1} + {x_2} =  – {{ – 6} over 1} = 6)

Theo bài ra ta có hệ phương trình:

(left{ {matrix{
{{x_1} + {x_2} = 6} cr
{{x_1} – {x_2} = 4} cr
} Leftrightarrow left{ {matrix{
{2{x_1} = 10} cr
{{x_1} – {x_2} = 4} cr
} Leftrightarrow left{ {matrix{
{{x_1} = 5} cr
{5 – {x_2} = 4} cr} Leftrightarrow left{ {matrix{
{{x_1} = 5} cr
{{x_2} = 1} cr} } right.} right.} right.} right.)

Theo hệ thức Vi-ét ta có: ({x_1}{x_2} = {m over 1} = m Rightarrow m = 5.1 = 5)

Vậy m = 5 thì phương trình ({x^2} – 6x + m = 0) có hai nghiệm thỏa mãn ({x_1} – {x_2} = 4)


Câu 6.1 trang 58 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (a{x^2} + bx + c = 0(a ne 0).)

Điều nào sau đây đúng?

A) ({x_1} + {x_2} = {b over a},{x_1}{x_2} = {c over a})

B) ({x_1} + {x_2} =  – {b over a},{x_1}{x_2} =  – {c over a})

C) ({x_1} + {x_2} = {b over a},{x_1}{x_2} =  – {c over a})

D) ({x_1} + {x_2} =  – {b over a},{x_1}{x_2} = {c over a})

Giải

x1, x2 là nghiệm của phương trình: (a{x^2} + bx + c = 0(a ne 0))

Chọn D ({x_1} + {x_2} =  – {b over a},{x_1}{x_2} = {c over a})

 


Câu 6.2 trang 58 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Giả sử x1, x2 la hai nghiệm của phương trình ({x^2} + px + q = 0.) Hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 + x2, x1x2.

Giải

Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình: ({x^2} + px + q = 0)

Theo hệ thức Vi-ét ta có: ({x_1} + {x_2} =  – {p over 1} =  – p;{x_1}{x_2} = {q over 1} = q)

Phương trình có hai nghiệm là ({x_1} + {x_2}) và ({x_1}{x_2}) tức là phương trình có hai nghiệm là –p và q.

Hai số -p và q là nghiệm của phương trình.

(eqalign{
& left( {x + p} right)left( {x – q} right) = 0 cr
& Leftrightarrow {x^2} – qx + px – pq = 0 cr
& Leftrightarrow {x^2} + left( {q – p} right)x – pq = 0 cr} )

Phương trình cần tìm: ({x^2} + left( {p – q} right)x – pq = 0)

 


Câu 6.3 trang 58 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Dùng định lí Vi-ét, hãy chứng tỏ rằng nếu tam thức (a{x^2} + bx + c) có hai nghiệm x1 và x2 thì nó phân tích được thành

(a{x^2} + bx + c = aleft( {x – {x_1}} right)left( {x – {x_2}} right))

Áp dụng:

Phân tích các tam thức sau thành tích:

a) ({x^2} – 11x + 30)

b) (3{x^2} + 14x + 8)

c) (5{x^2} + 8x – 4)

d) ({x^2} – left( {1 + 2sqrt 3 } right)x – 3 + sqrt 3 )

Giải

a) Tam thức bậc hai: (a{x^2} + bx + c) có hai nghiệm x1, x2 nên phương trình: (a{x^2} + bx + c = 0(a ne 0)) có hai nghiệm x1, x2

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

(eqalign{
& {x_1} + {x_2} = – {b over a};{x_1}{x_2} = {c over a}(1) cr
& a{x^2} + bx + c = aleft( {{x^2} + {b over a}x + {c over a}} right)(2) cr} )

Từ (1) và (2) suy ra:

(eqalign{
& a{x^2} + bx + c = aleft[ {{x^2} – left( {{x_1} + {x_2}} right)x + {x_1}{x_2}} right] cr
& = aleft[ {{x^2} – {x_1}x – {x_2}x + {x_1}{x_2}} right] cr
& = aleft[ {xleft( {x – {x_1}} right) – {x_2}left( {x – {x_1}} right)} right] cr
& = aleft( {x – {x_1}} right)left( {x – {x_2}} right) cr} )

Áp dụng

a)

(eqalign{
& {x^2} – 11x + 30 = x cr
& Delta = {left( { – 11} right)^2} – 4.1.30 = 121 – 120 = 1 > 0 cr
& sqrt Delta = sqrt 1 = 1 cr
& {x_1} = {{11 + 1} over {2.1}} = 6 cr
& {x_2} = {{11 – 1} over {2.1}} = 5 cr} )

Ta có: ({x^2} – 11x + 30 = left( {x – 6} right)left( {x + 5} right))

b)

(eqalign{
& 3{x^2} + 14x + 8 = 0 cr
& Delta ‘ = {7^2} – 3.8 = 49 – 24 = 25 > 0 cr
& sqrt {Delta ‘} = sqrt {25} = 5 cr
& {x_1} = {{ – 7 + 5} over 3} = – {2 over 3} cr
& {x_2} = {{ – 7 – 5} over 3} = – 4 cr
& 3{x^2} + 14x + 8 = 3left( {x + {2 over 3}} right)left( {x + 4} right) = left( {3x + 2} right)left( {x + 4} right) cr} )

c)

(eqalign{
& 5{x^2} + 8x – 4 = 0 cr
& Delta ‘ = {4^2} – 5.left( { – 4} right) = 16 + 20 = 36 > 0 cr
& sqrt {Delta ‘} = sqrt {36} = 6 cr
& {x_1} = {{ – 4 – 6} over 5} = – 2 cr
& {x_2} = {{ – 4 + 6} over 5} = {2 over 5} cr
& Rightarrow 5{x^2} + 8x – 4 = 5left( {x – {2 over 5}} right)left( {x + 2} right) = left( {5x – 2} right)left( {x + 2} right) cr} )

d)

(eqalign{
& {x^2} – left( {1 + 2sqrt 3 } right)x – 3 + sqrt 3 = 0 cr
& Delta = {left[ { – left( {1 + 2sqrt 3 } right)} right]^2} – 4.1.left( { – 3 + sqrt 3 } right) cr
& = 1 + 4sqrt 3 + 12 + 12 – 4sqrt 3 = 25 > 0 cr
& sqrt Delta = sqrt {25} = 5 cr
& {x_1} = {{1 + 2sqrt 3 + 5} over {2.1}} = 3 + sqrt 3 cr
& {x_2} = {{1 + 2sqrt 3 – 5} over {2.1}} = sqrt 3 – 2 cr
& {x^2} – left( {1 + 2sqrt 3 } right)x – 3 + sqrt 3 = left[ {x – left( {3 + sqrt 3 } right)} right]left[ {x – left( {sqrt 3 – 2} right)} right] cr
& = left( {x – 3 – sqrt 3 } right)left( {x – sqrt 3 + 2} right) cr} )

 


Câu 6.4 trang 59 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Cho phương trình

(left( {2m – 1} right){x^2} – 2left( {m + 4} right)x + 5m + 2 = 0(m ne {1 over 2}).)

a) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm.

b) Khi phương trình có nghiệm x1, x2, hãy tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo m.

c) Tìm hệ thức giữa S và P sao cho trong hệ thức này không có m.

Giải

Phương trình: (left( {2m – 1} right){x^2} – 2left( {m + 4} right)x + 5m + 2 = 0(m ne {1 over 2}))             (1)

a) Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi (sqrt {Delta ‘}  ge 0)

(eqalign{
& Delta ‘ = {left[ { – left( {m + 4} right)} right]^2} – left( {2m – 1} right)left( {5m + 2} right) cr
& = {m^2} + 8m + 16 – 10{m^2} – 4m + 5m + 2 cr
& = – 9m + 9m + 18 cr
& = – 9mleft( {{m^2} – m – 2} right) cr
& = – 9left( {m – 2} right)left( {m + 1} right) cr
& Delta ‘ ge 0 Rightarrow – 9left( {m – 2} right)left( {m + 1} right) ge 0 Leftrightarrow left( {m – 2} right)left( {m + 1} right) le 0 cr} )

( Rightarrow left{ {matrix{
{m – 2 ge 0} cr
{m + 1 le 0} cr} } right.)  hoặc

(left{ {matrix{
{m – 2 le 0} cr
{m + 1 ge 0} cr} } right.)

(left{ {matrix{
{m – 2 ge 0} cr
{m + 1 le 0} cr
} Leftrightarrow left{ {matrix{
{m ge 2} cr
{m le – 1} cr} } right.} right.)

vô nghiệm

(left{ {matrix{
{m – 2 le 0} cr
{m + 1 ge 0} cr
} Leftrightarrow left{ {matrix{
{m le 2} cr
{m ge – 1} cr} Leftrightarrow – 1 le m le 2} right.} right.)

Vậy với -1 ≤ m ≤ 2 thì phương trình (1) có nghiệm.

b) Phương trình có hai nghiệm x1, x2. Theo hệ thức Vi-ét ta có:

({x_1} + {x_2} = {{2left( {m + 4} right)} over {2m – 1}};{x_1}{x_2} = {{5m + 2} over {2m – 1}})

c) Đặt ({x_1} + {x_2} = S;{x_1}{x_2} = P)

(S = {{2m + 8} over {2m – 1}} Leftrightarrow 2mS – S = 2m + 8 Leftrightarrow 2mleft( {S – 1} right) = S + 8)

Ta có:

(eqalign{
& 2m + 8 ne 2m – 1 Rightarrow S ne 1 cr
& Rightarrow m = {{S + 8} over {2left( {S – 1} right)}} cr} )

Thay vào biểu thức P ta có:

(eqalign{
& P = {{5.{{S + 8} over {2left( {S – 1} right)}} + 2} over {2.{{S + 8} over {2left( {S – 1} right)}} – 1}} = {{5S + 40 + 4S – 4} over {2S + 16 – 2S + 2}} = {{9S + 36} over {18}} = {{S + 4} over 2} cr
& Rightarrow 2P = S + 4 Rightarrow 2P – S = 4 cr
& Rightarrow 2{x_1}{x_2} – left( {{x_1} + {x_2}} right) = 4 cr} )

Biểu thức không phụ thuộc vào m

The post Bài 6 Hệ thức Vi-ét và ứng dụng – Sách bài tập Toán 9 tập 2 appeared first on Sách Toán – Học toán.

Goc hoc tap