Bài 6 Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau – Giải bài 56 → 63, 6.1, 6.2, 6.3 – Sách bài tập Toán 9 tập 1

Bài 6 Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau – Giải bài 56 → 63, 6.1, 6.2, 6.3– Sách bài tập Toán 9 tập 1

 

Câu 56 trang 165 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (A ; AH). Kẻ các tiếp tuyến BD, CE với đường tròn (D, E là các tiếp điểm khác H). Chứng minh rằng:

a)      Ba điểm D, A, E thẳng hàng;

b)      DE tiếp xúc với đường tròn có đường kính BC.

Giải:

Bài 6 Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau – Giải bài 56 → 63, 6.1, 6.2 – Sách bài tập Toán 9 tập 1

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

AB là tia phân giác của góc HAD

Suy ra: (widehat {DAB} = widehat {BAH})

AC là tia phân giác của góc HAE

Suy ra: (widehat {HAC} = widehat {CAE})

Ta có: (widehat {HAD} + widehat {HAE} = 2(widehat {BAH} + widehat {HAC}) = 2.widehat {BAC} = 2.90^circ  = 180^circ )

Vậy ba điểm D, A, E thẳng hàng.

b) Gọi M là trung điểm của BC

Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:

(AD bot BD;AE bot CE)

Suy ra: BD // CE

Vậy tứ giác BDEC là hình thang

Khi đó MA là đường trung bình của hình thang BDEC

Suy ra: (MA // BD  Rightarrow MA bot DE)

Trong tam giác vuông ABC ta có: MA = MB = MC

Suy ra M là tâm đường tròn đường kính BC với MA là bán kính

Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn tâm M đường kính BC.

 


Câu 57 trang 165 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có chu vi 2p,bán kính đường tròn nội tiếp bằng r thì diện tích S của tam giác có công thức:

S = p.r

Giải:

Bài 6 Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau – Giải bài 56 → 63, 6.1, 6.2 – Sách bài tập Toán 9 tập 1

Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Nối OA, OB, OC.

Khoảng cách từ tâm O đến các tiếp điểm là đường cao của các tam giác OAB, OAC, OBC.

Ta có: ({S_{ABC}} = {S_{OAB}} + {S_{OAC}} + {S_{OBC}})

(= {1 over 2}.AB.r + {1 over 2}.AC.r + {1 over 2}.BC.r)

(= {1 over 2}(AB + AC + BC).r)

Mà AB + AC + BC = 2p

Nên ({S_{ABC}} = {1 over 2}.2p.r = p.r)

Loigiaihay.com


Câu 58 trang 165 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại D, E.

a)      Tứ giác ADOE là hình gì? Vì sao?

b)      Tính bán kính của đường tròn (O) biết AB = 3cm, AC = 4cm

Giải:

Bài 6 Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau – Giải bài 56 → 63, 6.1, 6.2 – Sách bài tập Toán 9 tập 1

a) Ta có: (OD  bot AB Rightarrow widehat {ODA} = 90^circ )

(OE bot AC Rightarrow widehat {OEA} = 90^circ )

(widehat {BAC} = 90^circ ) (gt)

Tứ giác ADOE có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật

Lại có: AD = AE (tính chất hai tiếp tuyến giao nhau)

Vậy tứ giác ADOE là hình vuông.

b) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC ta có:

(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25)

Suy ra:                BC = 5 (cm)

Theo tính chất tiếp tuyến giao nhau ta có:

AD = AE

BD = BF

CE = CF

Mà:         AD = AB – BD

AE = AC – CF

Suy ra:    AD + AE = AB – BD + (AC – CF )

= AB + AC – (BD + CF )

= AB + AC – (BF + CF )

= AB + AC – BC

Suy ra:    ( AD = AE = {{AB + AC – BC} over 2} = {{3 + 4 – 5} over 2} = 1 (cm))

 


Câu 59 trang 165 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp, r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng:

AB + AC = 2(R + r).

Giải:

Bài 6 Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau – Giải bài 56 → 63, 6.1, 6.2 – Sách bài tập Toán 9 tập 1

Vì tam giác ABC vuông tại A nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của cạnh huyền BC.

Ta có:     BC = 2R

Giả sử đường tròn tâm (O) tiếp với AB tại D, AC tại E và BC tại F.

Theo kết quả câu a) bài 58, ta có ADOE là hình vuông.

Suy ra: AD = AE = EO = OD = r

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

AD = AE

BD = BF

CE = CF

Ta có:               2R + 2r = BF + FC + AD + AE

= (BD + AD) + (AE +CE)

= AB + AC

Vậy AB = AC = 2 (R + r).


Câu 60 trang 166 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho tam giác ABC, đường tròn (K) bằng tiếp góc trong góc A tiếp xúc với các tia AB và AC theo thứ tự tại E và F. Cho BC = a, AC = b, AB = c. Chứng minh rằng:

a)      (AE  = AF = {{a + b + c} over 2})

b)      (BE  = {{a + b – c} over 2};)

c)       (CF = {{a + c – b} over 2})

Giải:

Bài 6 Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau – Giải bài 56 → 63, 6.1, 6.2 – Sách bài tập Toán 9 tập 1

a) Gọi D là tiếp điểm của đường tròn (K) với cạnh BC.

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

BE = BD; CD = CF

AE = AB + BE

AF = AC + CF

Suy ra:    AE + AF = AB + BE + AC + CF

= AB + AC + (BD + DC)

= AB + AC + BC = c + b + a

Mà AE = AF (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra: ({rm{AE = AF = }}{{a + b + c} over 2})

b) Ta có: (BE = AE – AB = {{a + b + c} over 2} – c = {{a + b – c} over 2})

c) Ta có: (CF = AF – AC = {{a + b + c} over 2} – b = {{a + c – b} over 2}.)

 


Câu 61* trang 166 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho nửa hình tròn tâm O có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax, By theo thứ tự ở C, D.

a)      Chứng minh rằng đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB.

b)      Tìm vị trí của điểm M để hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất.

c)      Tìm vị trí của C, D để hình thang ABDC có chu vi bằng 14cm, biết AB = 4cm.

Giải:

Bài 6 Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau – Giải bài 56 → 63, 6.1, 6.2 – Sách bài tập Toán 9 tập 1

a) Theo tính chất tiếp tuyến, ta có:

Ax ⊥ AB

By ⊥ AB

Suy ra: Ax // By hay AC // BD

Suy ra tứ giác ABDC là hình thang

Gọi I là trung điểm của CD

Khi đó OI là đường trung bình của hình thang ABDC

Suy ra: OI // AC ⇒ OI ⊥ AB

Vì OC và OD lần lượt là phân giác của (widehat {AOM}) và (widehat {BOM}) nên OC ⊥ OD ( tính chất hai góc kề bù) ( Rightarrow widehat {COD} = 90^circ )

Suy ra: (IC = ID = IO = {1 over 2}CD) ( tính chất tam giác vuông)

Suy ra I là tâm đường tròn đường kính CD. Khi đó O nằm trên đường tròn tâm I đường kính CD và IO vuông góc với AB tại O.

Vậy đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB tại O.

b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

CA = CM

BD = DM

Suy ra: AC + BD = CM + DM = CD

Chu vi hình thang ABDC bằng:

AB + BD + DC + CA = AB + 2CD

Vì đường kính AB của (O) không thay đổi nên chu vi hình thang nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất.

Ta có: CD ≥ AB nên CD nhỏ nhất khi và chỉ khi CD = AB

Khi đó CD // AB ⇔ OM ⊥ AB

Vậy khi M là giao điểm của đường thẳn vuông góc với AB tại O với nửa đường tròn (O) thì hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất.

c) Chu vi hình thang ABDC bằng: AB + 2CD (chứng minh trên)

Suy ra: 14 = 4 + 2.CD ⇒ CD = 5 (cm)

Hay CM + DM = 5 ⇒ DM = 5 – CM       (1)

Tam giác COD vuông tại O có OM ⊥ CD

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

OM­2 = CM.DM ⇔ 22 = CM.DM ⇔ 4 = CM.DM    (2)

Thay (1) và (2) ta có: CM.(5 – CM) = 4

⇔ 5CM – CM2 – 4 = 0

⇔ 4CM – CM2 + CM – 4 = 0

⇔ CM(4 – CM) + (CM – 4) = 0

⇔ CM(4 – CM) – (4 – CM) = 0

⇔ (CM – 1)(4 – CM) = 0

⇔ CM – 1 = 0 hoặc 4 – CM = 0

⇔CM = 1 hoặc CM = 4

Vì CM = CA (chứng minh trên) nên AC = 1 (cm) hoặc AC = 4 (cm)

Vậy điểm C cách điểm A 1cm hoặc 4cm thì hình thang ABDC có chu vi bằng 14.

 


Câu 62* trang 166 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua một điểm M thuộc nửa hình tròn, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By theo thứ tự ở C, D. Gọi N là giao điểm của AD và BC, H là giao điểm của MN và AB. Chứng minh rằng:

a)      MN ⊥ AB;

b)      MN = NH.

Giải:

Bài 6 Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau – Giải bài 56 → 63, 6.1, 6.2 – Sách bài tập Toán 9 tập 1

a) Theo tính chất tiếp tuyến, ta có:

Ax ⊥ AB

By ⊥ AB

Suy ra: Ax // By hay AC // BD

Trong tam giác BND, ta có: AC // BD

Suy ra: ({{ND} over {NA}} = {{BD} over {AC}}) (Hệ quả định lí Ta-lét)      (1)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

AC = CM và BD = DM          (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ({{ND} over {NA}} = {{MD} over {MC}})

Trong tam giác ACD, ta có: ({{ND} over {NA}} = {{MD} over {MC}})

Suy ra: MN // AC ( Theo định lí đảo định lí Ta-lét)

Mà: AC ⊥ AB (vì Ax ⊥ AB)

Suy ra: MN ⊥ AB

b) Trong tam giác ACD, ta có: MN // AC

Suy ra: ({{MN} over {AC}} = {{DN} over {DA}}) (Hệ quả định lí Ta-lét)     (3)

Trong tam giác ABC, ta có: MH // AC ( vì M, N, H thẳng hàng)

Suy ra: ({{HN} over {AC}} = {{BN} over {BC}}) (Hệ quả định lí Ta-lét)       (4)

Trong tam giác BDN, ta có: AC // BD

Suy ra: ({{ND} over {NA}} = {{BN} over {NC}}) (Hệ quả định lí Ta-lét)

( Rightarrow {{ND} over {DN + NA}} = {{BN} over {BN + NC}} Leftrightarrow {{ND} over {DA}} = {{BN} over {BC}})           (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra: ({{MN} over {AC}} = {{HN} over {AC}} Rightarrow MN = HN).

 


Câu 63* trang 166 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D. Chứng minh rằng:

({S_{ABC}} = BD.DC)

Giải:

Bài 6 Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau – Giải bài 56 → 63, 6.1, 6.2 – Sách bài tập Toán 9 tập 1

Gọi E và F lần lượt là tiếp điểm của đường

tròn với AB và AC.

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

AE = AF

BE = BD

CD = CF

BD = BC + CD

BE = AB – AE

Suy ra: BD + BE = AB + BC – (AE + CD )

= AB + BC – (AE + CE)

= AB + BC – AC

Suy ra: (BD = {{AB + BC – AC} over 2})

Lại có: CD = BC – BD

CF = AC = AF

Suy ra: CD + CF = BC + AC – ( BD + AF)

= BC + AC – (BE + AE)

= BC + AC – BA

Suy ra: (CD = {{BC + AC – AB} over 2})

Ta có:  (BD.CD = {{AB + BC – AC} over 2}.{{BC + AC – AB} over 2})

(= {{left[ {BC – (AC – AB)} right]left[ {BC + (AC – AB)} right]} over 4})

(={{B{C^2} – {{(AC – AB)}^2}} over 4} = {{B{C^2} – A{C^2} – A{B^2} + 2AB.AC} over 4})                    (1)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:

BC2 = AB2 + AC2           (2)

Từ (1) và (2) suy ra: (BD.CD = {{2AB.AC} over 4} = {{AB.AC} over 2})

Mà ({S_{ABC}} = {1 over 2}AB.AC)

Vậy ({S_{ABC}} = BD.DC.)


Câu 6.1 trang 166 Sách bài tập (SBT) Toán lớp 9 Tập 1

Độ dài mỗi cạnh của tam giác đều ngoại tiếp đường tròn (O ; r) bằng

(A) (rsqrt 3 ) ;                    (B) (2rsqrt 3 ) ;

(B)  (C) 4r ;                  (D) 2r.

Hãy chọn phương án đúng.

Giải:

Chọn (B).

 


Câu 6.2 trang 167 Sách bài tập (SBT) Toán lớp 9 Tập 1

Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. Đường thẳng đi qua O và song song với AB cắt AC tại D. Đường tròn đi qua O và song song với AC cắt AB ở E. Tứ giác ADOE là hình gì ?

Giải:

Bài 6 Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau – Giải bài 56 → 63, 6.1, 6.2 – Sách bài tập Toán 9 tập 1

ADOE là hình bình hành, lại có AO là đường phân giác của góc A nên là hình thoi.

 


Câu 6.3 trang 167 Sách bài tập (SBT) Toán lớp 9 Tập 1

Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. Kẻ dây CD song song với AB.  Chứng minh rằng BC = BD.

Giải:

Bài 6 Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau – Giải bài 56 → 63, 6.1, 6.2 – Sách bài tập Toán 9 tập 1

Ta có OB ⊥ AB và AB // CD nên OB ⊥ CD. Gọi H là giao điểm của BO và CD thì BH ⊥ CD, suy ra HC = HD. Do đó BC = BD.

The post Bài 6 Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau – Giải bài 56 → 63, 6.1, 6.2, 6.3 – Sách bài tập Toán 9 tập 1 appeared first on Sách Toán – Học toán.

Goc hoc tap