Bài 7 Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai Sách bài tập Toán 9 tập 1

Câu 68 trang 16 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Khử mẫu của mỗi biểu thức lấy căn và rút gọn ( nếu được):

a) (sqrt {{2 over 3}} );

b) (sqrt {{{{x over 5}}^2}} ) với (x ge 0);

c) (sqrt {{3 over x}} ) với x>0;

d) (sqrt {{x^2} – {{{x over 7}}^2}} ) với x<0.

Gợi ý làm bài

a) (sqrt {{2 over 3}} ) = (sqrt {{{2.3} over {{3^2}}}}  = {1 over 3}sqrt 6)

b) (sqrt {{{{x over 5}}^2}} ) ( = sqrt {{{{x^2}} over 5}}  = sqrt {{{{x^2}.5} over {{5^2}}}}  = {x over 5}sqrt 5 ) (với (x ge 0))

c) (sqrt {{3 over x}} ) ( = sqrt {{{3x} over {{x^2}}}}  = {1 over {left| x right|}}sqrt {3x}  = {1 over x}sqrt {3x} ) (với x>0)

d) (sqrt {{x^2} – {{{x over 7}}^2}} ) ( = sqrt {{{7{x^2} – {x^2}} over 7}} )

( = sqrt {{{42{x^2}} over {49}}}  = {{left| x right|} over 7}sqrt {42}  =  – {x over 7}sqrt {42} ) (với x<0)

 


Câu 69 trang 16 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Trục căn thức ở mẫu và rút gọn ( nếu được):

a) ({{sqrt 5  – sqrt 3 } over {sqrt 2 }});

b) ({{26} over {5 – 2sqrt 3 }});

c) ({{2sqrt {10}  – 5} over {4 – sqrt {10} }});

d) ({{9 – 2sqrt 3 } over {3sqrt 6  – 2sqrt 2 }}).

Gợi ý làm bài

a) ({{sqrt 5  – sqrt 3 } over {sqrt 2 }}) ( = {{(sqrt 5  – sqrt 3 )sqrt 2 } over {{{(sqrt 2 )}^2}}} = {{sqrt {10}  – sqrt 6 } over 2})

b) ({{26} over {5 – 2sqrt 3 }}) ( = {{26(5 + 2sqrt 3 )} over {(5 – 2sqrt 3 )(5 + 2sqrt 3 )}} = {{26(5 + 2sqrt 3 )} over {25 – 12}})

( = {{26(5 + 2sqrt 3 )} over {13}} = 2(5 + 2sqrt 3 ) = 10 + 4sqrt 3 )

c) ({{2sqrt {10}  – 5} over {4 – sqrt {10} }}) ( = {{2sqrt {2.5}  – sqrt {{5^2}} } over {2sqrt {{2^2}}  – sqrt {2.5} }})

( = {{sqrt 5 (2sqrt 2  – sqrt 5 )} over {sqrt 2 (2sqrt 2  – sqrt 5 )}} = {{sqrt 5 } over {sqrt 2 }} = {{sqrt 5 .sqrt 2 } over {{{(sqrt 2 )}^2}}}) ( = {{sqrt {10} } over 2})

d) ({{9 – 2sqrt 3 } over {3sqrt 6  – 2sqrt 2 }}) (= {{3sqrt {{3^2}}  – 2sqrt 3 } over {3sqrt {3.2}  – 2sqrt 2 }})

( = {{sqrt 3 (3sqrt 3  – 2)} over {sqrt 2 (3sqrt 3  – 2)}} = {{sqrt 3 } over {sqrt 2 }} = {{sqrt {3.} sqrt 2 } over {{{(sqrt 2 )}^2}}} = {{sqrt 6 } over 2})

Câu 70 trang 16 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Rút gọn các biểu thức:

a) ({2 over {sqrt 3  – 1}} – {2 over {sqrt 3  + 1}})

b) ({5 over {12(2sqrt 5  + 3sqrt 2 )}} – {5 over {12(2sqrt 5  – 3sqrt 2 )}})

c) ({{5 + sqrt 5 } over {5 – sqrt 5 }} + {{5 – sqrt 5 } over {5 + sqrt 5 }})

d) ({{sqrt 3 } over {sqrt {sqrt 3  + 1}  – 1}} – {{sqrt 3 } over {sqrt {sqrt 3  + 1}  + 1}})

Gợi ý làm bài

a) ({2 over {sqrt 3  – 1}} – {2 over {sqrt 3  + 1}}) (= {{2(sqrt 3  + 1) – 2(sqrt 3  – 1)} over {(sqrt 3  + 1)(sqrt 3  – 1)}})

( = {{2sqrt 3  + 2 – 2sqrt 3  + 2} over {3 – 1}} = {4 over 2} = 2)

b) ({5 over {12(2sqrt 5  + 3sqrt 2 )}} – {5 over {12(2sqrt 5  – 3sqrt 2 )}})

( = {{5(2sqrt 5  – 3sqrt 2 ) – 5(2sqrt 5  + 3sqrt 2 )} over {12(2sqrt 5  + 3sqrt 2 )(2sqrt 5  – 3sqrt 2 )}})

(eqalign{
& = {{10sqrt 5 – 15sqrt 2 – 10sqrt 5 – 15sqrt 2 } over {12(20 – 18)}} cr
& = {{ – 30sqrt 2 } over {12.2}} = – {{5sqrt 2 } over 4} cr} )

c) ({{5 + sqrt 5 } over {5 – sqrt 5 }} + {{5 – sqrt 5 } over {5 + sqrt 5 }}) (= {{{{(5 + sqrt 5 )}^2} + {{(5 – sqrt 5 )}^2}} over {(5 + sqrt 5 )(5 – sqrt 5 )}})

( = {{25 + 10sqrt 5  + 5 + 25 – 10sqrt 5  + 5} over {25 – 5}} = {{60} over {20}} = 3)

d) ({{sqrt 3 } over {sqrt {sqrt 3  + 1}  – 1}} – {{sqrt 3 } over {sqrt {sqrt 3  + 1}  + 1}})

( = {{sqrt 3 (sqrt {sqrt 3  + 1}  + 1) – sqrt 3 (sqrt {sqrt 3  + 1}  – 1)} over {(sqrt {sqrt 3  + 1}  + 1)(sqrt {sqrt 3  + 1}  – 1)}})

(eqalign{
& = {{sqrt {3(sqrt 3 + 1)} + sqrt 3 – sqrt {3(sqrt 3 + 1)} + sqrt 3 } over {sqrt 3 + 1 – 1}} cr
& = {{2sqrt 3 } over {sqrt 3 }} = 2 cr} )

Câu 71 trang 16 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

 Chứng minh đẳng thức:

(sqrt {n + 1}  – sqrt n  = {1 over {sqrt {n + 1}  + sqrt n }}) với n là số tự nhiên.

Gợi ý làm bài

Ta có: ({1 over {sqrt {n + 1}  + sqrt n }}) ( = {{sqrt {n + 1}  – sqrt n } over {(sqrt {n + 1}  + sqrt n )(sqrt {n + 1}  – sqrt n )}})

( = {{sqrt {n + 1}  – sqrt n } over {{{(sqrt n  + 1)}^2} – {{(sqrt n )}^2}}})

( = {{sqrt {n + 1}  – sqrt n } over {n + 1 – n}} = sqrt {n + 1}  – sqrt n )

(với n là số tự nhiên)

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

 

Câu 76 trang 17 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

 Trục căn thức ở mẫu:

a) ({1 over {sqrt 3  + sqrt 2  + 1}})

b)({1 over {sqrt 5  – sqrt 3  + 2}})

Gợi ý làm bài

a) (eqalign{
& {1 over {sqrt 3 + sqrt 2 + 1}} = {1 over {sqrt 3 + (sqrt 2 + 1)}} cr
& = {{sqrt 3 – (sqrt 2 + 1)} over {left[ {sqrt 3 + (sqrt 2 + 1)} right]left[ {sqrt 3 – (sqrt 2 + 1)} right]}} cr} )

( = {{sqrt 3  – sqrt 2  – 1} over {3 – {{(sqrt 2  + 1)}^2}}} = {{sqrt 3  – sqrt 2  – 1} over {3 – (2 + 2sqrt 2  + 1)}} = {{sqrt 3  – sqrt 2  – 1} over { – 2sqrt 2 }})

( = {{ – sqrt 2 (sqrt 3  – sqrt 2  – 1)} over {2{{(sqrt 2 )}^2}}} = {{ – sqrt 6  + 2 + sqrt 2 } over 4})

b) ({1 over {sqrt 5  – sqrt 3  + 2}} = {{sqrt 5  + (sqrt 3  – 2)} over {left[ {sqrt 5  – (sqrt 3  – 2)} right]left[ {sqrt 5  + (sqrt 3  – 2)} right]}})

( = {{sqrt 5  + (sqrt 3  – 2)} over {5 – {{(sqrt 3  – 2)}^2}}} = {{sqrt 5  + (sqrt 3  – 2)} over {5 – (3 – 4sqrt 3  + 4)}} = {{sqrt 5  + (sqrt 3  – 2)} over {4sqrt 3  – 2}})

(= {{sqrt 5  + sqrt 3  – 2} over {2(2sqrt 3  – 1)}} = {{(sqrt 5  + sqrt 3  – 2)(2sqrt 3  + 1)} over {2left[ {(2sqrt 3  – 1)(2sqrt 3  + 1)} right]}})

(eqalign{
& = {{2sqrt {15} + sqrt 5 + 6 + sqrt 3 – 4sqrt 3 – 2} over {2(12 – 1)}} cr
& = {{2sqrt {15} + sqrt 5 + 4 – 3sqrt 3 } over {22}} cr} )

 


Câu 77 trang 17 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Tìm x, biết: 

a) (sqrt {2x + 3}  = 1 + sqrt 2 )

b) (sqrt {10 + sqrt {3x} }  = 2 + sqrt 6 )

c) (sqrt {3x – 2}  = 2 – sqrt 3 )

d) (sqrt {x + 1}  = sqrt 5  – 3)

Gợi ý làm bài

a)

(eqalign{
& sqrt {2x + 3} = 1 + sqrt 2 Leftrightarrow 2x + 3 = {(1 + sqrt 2 )^2} cr
& Leftrightarrow 2x + 3 = 1 + 2sqrt 2 + 2 cr} )

b) (sqrt {10 + sqrt {3x} }  = 2 + sqrt 6 )

( Leftrightarrow 10 + sqrt {3x}  = {(2 + sqrt 6 )^2})

( Leftrightarrow 10 + sqrt {3x}  = 4 + 4sqrt 6  + 6 Leftrightarrow sqrt {3x}  = 4sqrt 6 )

( Leftrightarrow x = {{4sqrt 6 } over {sqrt 3 }} Leftrightarrow x = 4sqrt 2 )

c)

(eqalign{
& sqrt {3x – 2} = 2 – sqrt 3 Leftrightarrow 3x – 2 = {(2 – sqrt 3 )^2} cr
& Leftrightarrow 3x – 2 = 4 – 4sqrt 3 + 3 cr} )

( Leftrightarrow 3x = 9 – 4sqrt 3  Leftrightarrow x = {{9 – 4sqrt 3 } over 3})

d) (sqrt {x + 1}  = sqrt 5  – 3)

Ta có:

(sqrt 5 ) < (sqrt 9 ) ( Leftrightarrow sqrt 5  < 3 Leftrightarrow sqrt 5  – 3 < 0)

Không có giá trị nào của x để (sqrt {x + 1}  = sqrt 5  – 3)

 


Câu 78 trang 17 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Tìm tập hợp các giá trị x thỏa mãn điều kiện sau và biểu diễn tập hợp đó trên trục số:

a) (sqrt {x – 2}  ge sqrt 3 )

b) (sqrt {3 – 2x}  le sqrt 5 )

Gợi ý làm bài

a) Điều kiện: (x – 2 ge 0 Leftrightarrow x ge 2)

Ta có: (sqrt {x – 2}  ge sqrt 3  Leftrightarrow x – 2 ge  Leftrightarrow x ge 5)

Giá trị (x ge 5) thỏa mãn điều kiện.

Bài 7 Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai Sách bài tập Toán 9 tập 1

Điều kiện: (3 – 2x ge 0 Leftrightarrow 3 ge 2x Leftrightarrow x le 1,5)

Ta có:

(eqalign{
& sqrt {3 – 2x} le sqrt 5 Leftrightarrow 3 – 2x le 5 cr
& Leftrightarrow – 2x le 2 Leftrightarrow x ge – 1 cr} )

Kết hợp với điều kiện ta có: ( – 1 le x le 1,5)

Bài 7 Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai Sách bài tập Toán 9 tập 1

 


Câu 79 trang 17 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho các số x và y có dạng: (x = {a_1}sqrt 2  + {b_1}) và (x = {a_2}sqrt 2  + {b_2}), trong đó ({a_1},{a_2},{b_1},{b_2}) là các số hữu tỉ. Chứng minh:

a) x + y và x,y cũng có dạng (asqrt 2  + b) với a và b là số hữu tỉ.

b) ({x over y}) với (y ne 0) cũng có dạng (asqrt 2  + b) với a và b là số hữu tỉ.

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

(eqalign{
& x + y = ({a_1}sqrt 2 + {b_1}) + ({a_2}sqrt 2 + {b_2}) cr
& = ({a_1} + {a_2})sqrt 2 + ({b_1} + {b_2}) cr} )

Vì ({a_1},{a_2},{b_1},{b_2}) là các số hữu tỉ nên ({a_1} + {a_2},{b_1} + {b_2}) cũng là số hữu tỉ.

Lại có:

(eqalign{
& xy = ({a_1}sqrt 2 + {b_1})({a_2}sqrt 2 + {b_2}) cr
& = 2{a_1}{a_2} + {a_1}{b_2}sqrt 2 + {a_2}{b_1}sqrt 2 + {b_1}{b_2} cr} )

( = ({a_1}{b_2} + {a_2}{b_1})sqrt 2  + (2{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}))

Vì ({a_1},{a_2},{b_1},{b_2}) là các số hữu tỉ nên ({a_1}{b_2} + {a_2}{b_1}), (2{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}) cũng là số hữu tỉ.

b) Ta có:

(eqalign{
& {x over y} = {{{a_1}sqrt 2 + {b_1}} over {{a_2}sqrt 2 + {b_2}}} cr
& = {{({a_1}sqrt 2 + {b_1})({a_2}sqrt 2 – {b_2})} over {{{({a_2}sqrt 2 )}^2} – {b_2}^2}} cr} )

( = {{2{a_1}{a_2} – {a_1}{b_2}sqrt 2  + {a_2}{b_1}sqrt 2  – {b_1}{b_2}} over {2{a_2}^2 – {b_2}^2}})

(= sqrt 2 {{{a_2}{b_1} – {a_1}{b_2}} over {2{a_2}^2 – {b_2}^2}} + {{2{a_1}{a_2} – {b_1}{b_2}} over {2{a_2}^2 – {b_2}^2}})

Vì (y ne 0) nên ({a_2}) và ({b_2}) không đồng thời bằng 0

Suy ra: (2{a_2}^2 – {b_2}^2) ( ne 0)

Nếu (2{a_2}^2 – {b_2}^2 = 0) thì (sqrt 2 {{{b_2}} over {{a_2}}})

Điều này mâu thuẫn với (sqrt 2 ) là số vô tỉ.

Vậy ({{{a_2}{b_1} – {a_1}{b_2}} over {2{a_2}^2 – {b_2}^2}}); ({{2{a_1}{a_2} – {b_1}{b_2}} over {2{a_2}^2 – {b_2}^2}}) đều là số hữu tỉ.

 

Câu 72 trang 17 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Xác định giá trị biểu thức sau theo cách thích hợp:

({1 over {sqrt 2  + sqrt 1 }} + {1 over {sqrt 3  + sqrt 2 }} + {1 over {sqrt 4  + sqrt 3 }})

Gợi ý làm bài

Ta có: ({1 over {sqrt 2  + sqrt 1 }} + {1 over {sqrt 3  + sqrt 2 }} + {1 over {sqrt 4  + sqrt 3 }})

( = {{sqrt 2  – sqrt 1 } over {(sqrt 2  + sqrt 1 )(sqrt 2  – sqrt 1 )}} + {{sqrt 3  – sqrt 2 } over {(sqrt 3  + sqrt {2)} (sqrt 3  – sqrt 2 )}} + {{sqrt 4  – sqrt 3 } over {(sqrt 4  + sqrt 3 )(sqrt 4  – sqrt 3 )}})

( = {{sqrt 2  – sqrt 1 } over {2 – 1}} + {{sqrt 3  – sqrt 2 } over {3 – 2}} + {{sqrt 4  – sqrt 3 } over {4 – 3}})

( = sqrt 2  – sqrt 1  + sqrt 3  – sqrt 2  + sqrt 4  – sqrt 3 )

( =  – sqrt 1  + sqrt 4  =  – 1 + 2 = 1)

 


Câu 73 trang 17 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi). 

(sqrt {2005}  – sqrt {2004} ) với (sqrt {2004}  – sqrt {2003} )

Gợi ý làm bài

Ta có:

({1 over {sqrt {2005}  + sqrt {2004} }} = {{sqrt {2005}  – sqrt {2004} } over {(sqrt {2005}  + sqrt {2004} )(sqrt {2005}  – sqrt {2004} )}})

( = {{sqrt {2005}  – sqrt {2004} } over {2005 – 2004}} = sqrt {2005}  – sqrt {2004} ,(1)$)

Ta có:

({1 over {sqrt {2004}  + sqrt {2003} }} = {{sqrt {2004}  – sqrt {2003} } over {(sqrt {2004}  + sqrt {2003} )(sqrt {2004}  – sqrt {2003} )}})

( = {{sqrt {2004}  – sqrt {2003} } over {2004 – 2003}} = sqrt {2004}  – sqrt {2003} ,(2))

Vì (sqrt {2005}  + sqrt {2004} ) > (sqrt {2004}  + sqrt {2003} ) nên:

({1 over {sqrt {2005}  + sqrt {2004} }} le {1 over {sqrt {2004}  + sqrt {2003} }}) (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra:

(sqrt {2005}  – sqrt {2004} ) < (sqrt {2004}  – sqrt {2003} )

 


Câu 74 trang 17 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

 Rút gọn: 

({1 over {sqrt 1  – sqrt 2 }} – {1 over {sqrt 2  – sqrt 3 }} + {1 over {sqrt 3  – sqrt 4 }} – {1 over {sqrt 4  – sqrt 5 }} + {1 over {sqrt 5  – sqrt 6 }} – )

(-{1 over {sqrt 6  – sqrt 7 }} + {1 over {sqrt 7  – sqrt 8 }} – {1 over {sqrt 8  – sqrt 9 }})

Gợi ý làm bài

Ta có:

({1 over {sqrt 1  – sqrt 2 }} – {1 over {sqrt 2  – sqrt 3 }} + {1 over {sqrt 3  – sqrt 4 }} – {1 over {sqrt 4  – sqrt 5 }} + {1 over {sqrt 5  – sqrt 6 }} -)

( – {1 over {sqrt 6  – sqrt 7 }} + {1 over {sqrt 7  – sqrt 8 }} – {1 over {sqrt 8  – sqrt 9 }})

( = {{sqrt 1  + sqrt 2 } over {{{(sqrt 1 )}^2} – {{(sqrt 2 )}^2}}} – {{sqrt 2  + sqrt 3 } over {{{(sqrt 2 )}^2} – {{(sqrt 3 )}^2}}} + {{sqrt 3  + sqrt 4 } over {{{(sqrt 3 )}^2} – {{(sqrt 4 )}^2}}} – {{sqrt 4  + sqrt 5 } over {{{(sqrt 4 )}^2} – {{(sqrt 5 )}^2}}} + )

(+ {{sqrt 5  + sqrt 6 } over {{{(sqrt 5 )}^2} – {{(sqrt 6 )}^2}}} – {{sqrt 6  + sqrt 7 } over {{{(sqrt 6 )}^2} – {{(sqrt 7 )}^2}}} + {{sqrt 7  + sqrt 8 } over {{{(sqrt 7 )}^2} – {{(sqrt 8 )}^2}}} – {{sqrt 8  – sqrt 9 } over {{{(sqrt 8 )}^2} – {{(sqrt 9 )}^2}}})

( = {{sqrt 1  + sqrt 2 } over {1 – 2}} – {{sqrt 2  + sqrt 3 } over {2 – 3}} + {{sqrt 3  + sqrt 4 } over {3 – 4}} – {{sqrt 4  + sqrt 5 } over {4 – 5}} + )

( + {{sqrt 5  + sqrt 6 } over {5 – 6}} – {{sqrt 6  + sqrt 7 } over {6 – 7}} + {{sqrt 7  + sqrt 8 } over {7 – 8}} – {{sqrt 8  – sqrt 9 } over {8 – 9}})

(= {{sqrt 1  + sqrt 2 } over { – 1}} – {{sqrt 2  + sqrt 3 } over { – 1}} + {{sqrt 3  + sqrt 4 } over { – 1}} – {{sqrt 4  + sqrt 5 } over { – 1}} + )

( + {{sqrt 5  + sqrt 6 } over { – 1}} – {{sqrt 6  + sqrt 7 } over { – 1}} + {{sqrt 7  + sqrt 8 } over { – 1}} – {{sqrt 8  – sqrt 9 } over { – 1}})

( = {{sqrt 1  – sqrt 9 } over { – 1}}) ( = {{sqrt 1  – sqrt 9 } over { – 1}})

( = sqrt 9  – sqrt 1  = 3 – 1 = 2)

 


Câu 75 trang 17 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Rút gọn các biểu thức:

a) ({{xsqrt x  – ysqrt y } over {sqrt x  – sqrt y }}) với (x ge 0,y ge 0) và (x ne y)

b) ({{x – sqrt {3x}  + 3} over {xsqrt x  + 3sqrt 3 }}) với (x ge 0)

Gợi ý làm bài

a) (eqalign{
& {{xsqrt x – ysqrt y } over {sqrt x – sqrt y }} = {{sqrt {{x^3}} – sqrt {{y^3}} } over {sqrt x – sqrt y }} cr
& = {{(sqrt x – sqrt y )(x + sqrt {xy} + y)} over {sqrt x – sqrt y }} cr} )

( = x + sqrt {xy}  + y) (với (x ge 0,y ge 0) và (x ne y))

b) (eqalign{
& {{x – sqrt {3x} + 3} over {xsqrt x + 3sqrt 3 }} = {{x – sqrt {3x} + 3} over {sqrt {{x^3}} + sqrt {{3^3}} }} cr
& = {{x – sqrt {3x} + 3} over {(sqrt x + sqrt 3 )(x – sqrt {3x} + 3)}} cr} )

( = {1 over {sqrt x  + sqrt 3 }})(với (x ge 0))

The post Bài 7 Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai Sách bài tập Toán 9 tập 1 appeared first on Sách Toán – Học toán.

Goc hoc tap