Bài 8 Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai Sách bài tập Toán 9 tập 1

Câu 80 trang 18 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Rút gọn các biểu thức:

a) ((2 – sqrt 2 )( – 5sqrt 2 ) – {(3sqrt 2  – 5)^2});

b) (2sqrt {3a}  – sqrt {75a}  + asqrt {{{13,5} over {2a}}}  – {2 over 5}sqrt {300{a^3}} ) với (a ge 0)

Gợi ý làm bài

a) ((2 – sqrt 2 )( – 5sqrt 2 ) – {(3sqrt 2  – 5)^2})

( =  – 10sqrt 2  + 5sqrt {{2^2}}  – (18 – 30sqrt 2  + 25))

( =  – 10sqrt 2  + 10 – 18 + 30sqrt 2  – 25 = 20sqrt 2  – 33)

b) (2sqrt {3a}  – sqrt {75a}  + asqrt {{{13,5} over {2a}}}  – {2 over 5}sqrt {300{a^3}} )

( = 2sqrt {3a}  – sqrt {25.3a}  + asqrt {{{9.3} over {4a}}}  – {2 over 5}sqrt {100{a^2}.3a} )

( = 2sqrt {3a}  – 5sqrt {3a}  + {3 over 2}sqrt {3a}  – 4asqrt {3a} ) (với a>0)

 


Câu 81 trang 18 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Rút gọn các biểu thức:

a) ({{sqrt a  + sqrt b } over {sqrt a  – sqrt b }} + {{sqrt a  – sqrt b } over {sqrt a  + sqrt b }})

với (a ge 0,b ge 0) và (a ne b)

b) ({{a – b} over {sqrt a  – sqrt b }} + {{sqrt {{a^3} – sqrt {{b^3}} } } over {a – b}}) với (a ge 0,b ge 0) và (a ne b)

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

({{sqrt a  + sqrt b } over {sqrt a  – sqrt b }} + {{sqrt a  – sqrt b } over {sqrt a  + sqrt b }} = {{{{left( {sqrt a  + sqrt b } right)}^2} + {{left( {sqrt a  – sqrt b } right)}^2}} over {left( {sqrt a  + sqrt b } right)left( {sqrt a  – sqrt b } right)}})

( = {{a + 2sqrt {ab}  + b + a – 2sqrt {ab}  + b} over {a – b}})

( = {{2(a + b)} over {a – b}}) (với (a ge 0,b ge 0) và (a ne b))

b) Ta có: ({{a – b} over {sqrt a  – sqrt b }} + {{sqrt {{a^3} – sqrt {{b^3}} } } over {a – b}})

( = {{(a – b)(sqrt a  + sqrt {b)} } over {{{left( {sqrt a } right)}^2} – {{left( {sqrt b } right)}^2}}} – {{asqrt a  – bsqrt b } over {a – b}})

( = {{asqrt a  + asqrt b  – bsqrt a  – bsqrt b } over {a – b}} – {{asqrt a  – bsqrt b } over {a – b}})

( = {{asqrt a  + asqrt b  – bsqrt a  – bsqrt b  – asqrt a  + bsqrt b } over {a – b}})

( = {{asqrt b  – bsqrt a } over {a – b}}) (với (a ge 0,b ge 0) và (a ne b))

 


Câu 82 trang 18 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

a) Chứng mình:

({x^2} + xsqrt 3  + 1 = {left( {x + {{sqrt 3 } over 2}} right)^2} + {1 over 4})

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ({x^2} + xsqrt 3  + 1). Giá trị đó đạt được khi x bằng bao nhiêu?

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

({x^2} + xsqrt 3  + 1 = {x^2} + 2x{{sqrt 3 } over 2} + {3 over 4} + {1 over 4})

(eqalign{
& = {x^2} + 2x{{sqrt 3 } over 2} + {left( {{{sqrt 3 } over 2}} right)^2} + {1 over 4} cr
& = {left( {x + {{sqrt 3 } over 2}} right)^2} + {1 over 4} cr} )

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

b) Ta có:

({x^2} + xsqrt 3  + 1 = {left( {x + {{sqrt 3 } over 2}} right)^2} + {1 over 4})

Vì ({left( {x + {{sqrt 3 } over 2}} right)^2} ge 0) với mọi x nên ({left( {x + {{sqrt 3 } over 2}} right)^2} + {1 over 4} ge {1 over 4})

Giá trị biểu thức ({left( {x + {{sqrt 3 } over 2}} right)^2} + {1 over 4}) bằng ({1 over 4}) khi ({left( {x + {{sqrt 3 } over 2}} right)^2} = 0)

Suy ra: (x =  – {{sqrt 3 } over 2}.)

 


Câu 83 trang 19 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Chứng tỏ giá trị các biểu thức sau là số hữu tỉ:

a) ({2 over {sqrt 7  – 5}} – {2 over {sqrt 7  + 5}});

b) (,{{sqrt 7  + 5} over {sqrt 7  – 5}} + {{sqrt 7  – 5} over {sqrt 7  + 5}}.)

Gợi ý làm bài

a) Rút gọn biểu thức ta được ({{ – 10} over {9}}$) là số hữu tỉ.

b) Rút gọn biểu thức ta được 12 là số hữu tỉ.

 

Câu 84 trang 19 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Tìm x biết:

a) (sqrt {4x + 20}  – 3sqrt {5 + x}  + {4 over 9}sqrt {9x + 45}  = 6;)

b) (sqrt {25x – 25}  – {{15} over 2}sqrt {{{x – 1} over 9}}  = 6 + sqrt {x – 1} .)

Gợi ý làm bài

a) Điều kiện : (x ge  – 5)

Ta có:

(sqrt {4x + 20}  – 3sqrt {5 + x}  + {4 over 3}sqrt {9x + 45}  = 6)

( Leftrightarrow sqrt {4(x + 5)}  – 3sqrt {5 + x}  + {4 over 3}sqrt {9(x + 5)}  = 6)

( Leftrightarrow 2sqrt {x + 5}  – 3sqrt {x + 5}  + 4sqrt {x + 5}  = 6)

( Leftrightarrow x + 5 = 4 Leftrightarrow x =  – 1)

Giá trị x = -1 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy x = -1

b) Điều kiện: (x ge 1)

Ta có:

(sqrt {25x – 25}  – {{15} over 2}sqrt {{{x – 1} over 9}}  = 6 + sqrt {x – 1} )

( Leftrightarrow sqrt {25(x – 1)}  – {5 over 2}sqrt {x – 1}  – sqrt {x – 1}  = 6)

( Leftrightarrow 5sqrt {x – 1}  – {5 over 2}sqrt {x – 1}  – sqrt {x – 1}  = 6)

( Leftrightarrow {3 over 2}sqrt {x – 1}  = 6 Leftrightarrow sqrt {x – 1}  = 6.{2 over 3})

( Leftrightarrow x – 1 = 16 Leftrightarrow x = 17)

Giá trị x = 17 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy x = 17

————-

Câu 85 trang 19 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho biểu thức:

(P = {{sqrt x  + 1} over {sqrt x  – 2}} + {{2sqrt x } over {sqrt x  + 2}} + {{2 + 5sqrt x } over {x – 4}})

a) Rút gọn P với (x ge 0) và (x ne 4.)

b) Tìm x để P = 2.

Gợi ý làm bài

a) Điều kiện: (x ge 0,x ne 4)

Ta có:

(P = {{sqrt x  + 1} over {sqrt x  – 2}} + {{2sqrt x } over {sqrt x  + 2}} + {{2 + 5sqrt x } over {x – 4}})

( = {{(sqrt x  + 1)(sqrt x  + 2)} over {{{(sqrt x )}^2} – {2^2}}} + {{2sqrt x (sqrt x  – 2)} over {{{(sqrt x )}^2} – {2^2}}} – {{2 + 5sqrt x } over {x – 4}})

( = {{x + 2sqrt x  + sqrt x  + 2} over {x – 4}} + {{2x – 4sqrt x } over {x – 4}} – {{2 + 5sqrt x } over {x – 4}})

( = {{x + 3sqrt x  + 2 + 2x – 4sqrt x  – 2 – 5sqrt x } over {x – 4}})

( = {{3x – 6sqrt x } over {x – 4}} = {{3sqrt x (sqrt x  – 2)} over {(sqrt x  + 2)(sqrt x  – 2)}} = {{3sqrt x } over {sqrt x  + 2}})

b) Ta có: P = 2 (eqalign{
& Leftrightarrow {{3sqrt x } over {sqrt x + 2}} = 2 cr
& Leftrightarrow 3sqrt x = 2(sqrt x + 2) Leftrightarrow 3sqrt x = 2sqrt x + 4 cr} )

( Leftrightarrow sqrt x  = 4 Leftrightarrow x = 16)

 


Câu 86 trang 19 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho biểu thức:

(Q = left( {{1 over {sqrt a  – 1}} – {1 over {sqrt a }}} right):left( {{{sqrt a  + 1} over {sqrt a  – 2}} – {{sqrt a  + 2} over {sqrt a  – 1}}} right))

a) Rút gọn Q với (a > 0,a ne 4) và (a ne 1).

b) Tìm giá trị của a để Q dương.

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

(Q = left( {{1 over {sqrt a  – 1}} – {1 over {sqrt a }}} right):left( {{{sqrt a  + 1} over {sqrt a  – 2}} – {{sqrt a  + 2} over {sqrt a  – 1}}} right))

( = {{sqrt a  – left( {sqrt a  – 1} right)} over {sqrt a left( {sqrt a  – 1} right)}}:{{left( {sqrt a  + 1} right)left( {sqrt a  – 1} right) – left( {sqrt a  + 2} right)left( {sqrt a  – 2} right)} over {left( {sqrt a  – 2} right)left( {sqrt a  – 1} right)}})

( = {1 over {sqrt a left( {sqrt a  – 1} right)}}:{{a – 1 – 1 + 4} over {left( {sqrt a  – 2} right)left( {sqrt a  – 1} right)}})

( = {1 over {sqrt a left( {sqrt a  – 1} right)}}.{{left( {sqrt a  – 2} right)left( {sqrt {a – 1} } right)} over 3})

( = {{sqrt a  – 2} over {3sqrt a }}) (với (a > 0,a ne 4) và (a ne 1))

b) Ta có: (a ge 0) nên (sqrt a  > 0)

Khi đó: (Q = {{sqrt a  – 2} over {3sqrt a }}) dương khi (sqrt a  – 2 > 0)

Ta có: (sqrt a  – 2 > 0 Leftrightarrow sqrt a  > 2 Leftrightarrow a > 4)

Vậy khi a>4 thì Q>0

 


Câu 87 trang 19 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Với ba số  a, b, c không âm, chứng minh bất đẳng thức:

(a + b + c ge sqrt {ab}  + sqrt {bc}  + sqrt {ca} )

Hãy mở rộng kết quả cho trường hợp bốn số, năm số không âm.

Gợi ý làm bài

Vì a, b và c không âm nên  và $sqrt c $ tồn tại.

Ta có: ({left( {sqrt a  – sqrt b } right)^2} ge 0) suy ra:

(eqalign{
& a + b – 2sqrt {ab} ge 0 Leftrightarrow a + b ge 2sqrt {ab} cr
& Leftrightarrow {{a + b} over 2} ge sqrt {ab} ,,(1) cr} )

({left( {sqrt b  – sqrt c } right)^2} ge 0) suy ra:

(eqalign{
& b + c – 2sqrt {bc} ge 0 Leftrightarrow b + c ge 2sqrt {bc} cr
& Leftrightarrow {{b + c} over 2} ge sqrt {bc} ,,(2) cr} )

({left( {sqrt c  – sqrt a } right)^2} ge 0) suy ra:

(eqalign{
& c + a – 2sqrt {ca} ge 0 Leftrightarrow c + a ge 2sqrt {ca} cr
& Leftrightarrow {{c + a} over 2} ge sqrt {ca} ,,(3) cr} )

Cộng từng vế các đẳng thức (1), (2) và (3), ta có:

({{a + b} over 2} + {{b + c} over 2} + {{c + a} over 2} ge sqrt {ab}  + sqrt {bc}  + sqrt {ca} )

( Leftrightarrow a + b + c ge sqrt {ab}  + sqrt {bc}  + sqrt {ca} )

– Với bốn số a, b, c, d không âm, ta có:

(a + b + c + d ge sqrt {ab}  + sqrt {bc}  + sqrt {cd}  + sqrt {da} )

– Với năm số a, b, c, d, e không âm, ta có:

(a + b + c + d + e ge sqrt {ab}  + sqrt {bc}  + sqrt {cd}  + sqrt {de}  + sqrt {ea} )

The post Bài 8 Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai Sách bài tập Toán 9 tập 1 appeared first on Sách Toán – Học toán.

Goc hoc tap