Bài 9 biến đổi các biểu thức hữu tỉ Giá trị của phân thức – Sách bài tập Toán 8 tập 1

Bài 9 biến đổi các biểu thức hữu tỉ Giá trị của phân thức – Sách bài tập Toán 8 tập 1


Bài 44 trang 36 Sách bài tập Toán 8 tập 1

Biến đổi các biểu thức sau thành phân thức

a. ({1 over 2} + {x over {1 – {x over {x + 2}}}})

b. ({{x – {1 over {{x^2}}}} over {x + {1 over x} + {1 over {{x^2}}}}})

c. ({{1 – {{2y} over x} + {{{y^2}} over {{x^2}}}} over {{1 over x} – {1 over y}}})

d. ({{{x over 4} – 1 + {3 over {4x}}} over {{x over 2} – {6 over x} + {1 over 2}}})

Giải: a. ({1 over 2} + {x over {1 – {x over {x + 2}}}})( = {1 over 2} + {x over {{{x + 2 – x} over {x + 2}}}} = {1 over 2} + {x over {{2 over {x + 2}}}})

b. ({{x – {1 over {{x^2}}}} over {x + {1 over x} + {1 over {{x^2}}}}}) ( = left( {x – {1 over {{x^2}}}} right):left( {1 + {1 over x} + {1 over {{x^2}}}} right) = {{{x^3} – 1} over {{x^2}}}:{{{x^2} + x + 1} over {{x^2}}})

( = {{{x^3} – 1} over {{x^2}}}.{{{x^2}} over {{x^2} + x + 1}} = {{left( {x – 1} right)left( {{x^2} + x + 1} right){x^2}} over {{x^2}left( {{x^2} + x + 1} right)}} = x – 1)

c. ({{1 – {{2y} over x} + {{{y^2}} over {{x^2}}}} over {{1 over x} – {1 over y}}})( = left( {1 – {{2y} over x} + {{{y^2}} over {{x^2}}}} right):left( {{1 over x} – {1 over y}} right) = {{{x^2} – 2xy + {y^2}} over {{x^2}}}:{{y – x} over {xy}})

( = {{{x^2} – 2xy + {y^2}} over {{x^2}}}.{{xy} over {y – x}} = {{{{left( {y – x} right)}^2}.xy} over {{x^2}left( {y – x} right)}} = {{yleft( {y – x} right)} over x})

d. ({{{x over 4} – 1 + {3 over {4x}}} over {{x over 2} – {6 over x} + {1 over 2}}})( = left( {{x over 4} – 1 + {3 over {4x}}} right):left( {{x over 2} – {6 over x} + {1 over 2}} right) = {{{x^2} – 4x + 3} over {4x}}:{{{x^2} – 12x + x} over {2x}})

(eqalign{  &  = {{{x^2} – 4x + 3} over {4x}}.{{2x} over {{x^2} – 12 + x}} = {{{x^2} – x – 3x + 3} over {4x}}.{{2x} over {{x^2} – 3x + 4x – 12}}  cr  &  = {{left( {x – 1} right)left( {x – 3} right)} over {4x}}.{{2x} over {left( {x – 3} right)left( {x + 4} right)}} = {{left( {x – 1} right)left( {x – 3} right).2x} over {4xleft( {x – 3} right)left( {x + 4} right)}} = {{x – 1} over {2left( {x + 4} right)}} cr} )


Bài 45 trang 36

Thực hiện các phép tính sau :

a. (left( {{{5x + y} over {{x^2} – 5xy}} + {{5x – y} over {{x^2} + 5xy}}} right).{{{x^2} – 25{y^2}} over {{x^2} + {y^2}}})

b. ({{4xy} over {{y^2} – {x^2}}}:left( {{1 over {{x^2} + 2xy + {y^2}}} – {1 over {{x^2} – {y^2}}}} right))

c. (left[ {{1 over {{{left( {2x – y} right)}^2}}} + {2 over {4{x^2} – {y^2}}} + {1 over {{{left( {2x + y} right)}^2}}}} right].{{4{x^2} + 4xy + {y^2}} over {16x}})

d. (left( {{2 over {x + 2}} – {4 over {{x^2} + 4x + 4}}} right):left( {{2 over {{x^2} – 4}} + {1 over {2 – x}}} right))

HD Giải: a. (left( {{{5x + y} over {{x^2} – 5xy}} + {{5x – y} over {{x^2} + 5xy}}} right).{{{x^2} – 25{y^2}} over {{x^2} + {y^2}}})

(eqalign{  &  = left[ {{{5x + y} over {xleft( {x – 5y} right)}} + {{5x – y} over {xleft( {x + 5y} right)}}} right].{{{x^2} – 25{y^2}} over {{x^2} + {y^2}}}  cr  &  = {{left( {5x + y} right)left( {x + 5y} right) + left( {5x – y} right)left( {x – 5y} right)} over {xleft( {x – 5y} right)left( {x + 5y} right)}}.{{left( {x – 5y} right)left( {x + 5y} right)} over {{x^2} + {y^2}}}  cr  &  = {{5{x^2} + 25xy + xy + 5{y^2} + 5{x^2} – 25xy – xy + 5{y^2}} over {xleft( {{x^2} + {y^2}} right)}}  cr  &  = {{10{x^2} + 10{y^2}} over {xleft( {{x^2} + {y^2}} right)}} = {{10left( {{x^2} + {y^2}} right)} over {xleft( {{x^2} + {y^2}} right)}} = {{10} over x} cr} )

b. ({{4xy} over {{y^2} – {x^2}}}:left( {{1 over {{x^2} + 2xy + {y^2}}} – {1 over {{x^2} – {y^2}}}} right))

(eqalign{  &  = {{4xy} over {{y^2} – {x^2}}}:left[ {{1 over {{{left( {x + y} right)}^2}}} – {1 over {left( {x + y} right)left( {x – y} right)}}} right]  cr  &  = {{4xy} over {{y^2} – {x^2}}}:{{x – y – left( {x + y} right)} over {{{left( {x + y} right)}^2}left( {x – y} right)}} = {{4xy} over {{y^2} – {x^2}}}:{{ – 2y} over {{{left( {x + y} right)}^2}left( {x – y} right)}} = {{4xy} over {{y^2} – {x^2}}}.{{{{left( {x + y} right)}^2}left( {y – x} right)} over {2y}}  cr  &  = {{4xy{{left( {x + y} right)}^2}left( {y – x} right)} over {left( {y + x} right)left( {y – x} right).2y}} = 2xleft( {x + y} right) cr} )

c. (left[ {{1 over {{{left( {2x – y} right)}^2}}} + {2 over {4{x^2} – {y^2}}} + {1 over {{{left( {2x + y} right)}^2}}}} right].{{4{x^2} + 4xy + {y^2}} over {16x}})

(eqalign{  &  = left[ {{1 over {{{left( {2x – y} right)}^2}}} + {2 over {left( {2x + y} right)left( {2x – y} right)}} + {1 over {{{left( {2x + y} right)}^2}}}} right].{{{{left( {2x + y} right)}^2}} over {16x}}  cr  &  = {{{{left( {2x + y} right)}^2} + 2left( {2x + y} right)left( {2x – y} right) + {{left( {2x – y} right)}^2}} over {{{left( {2x + y} right)}^2}.{{left( {2x – y} right)}^2}}}.{{{{left( {2x + y} right)}^2}} over {16x}}  cr  &  = {{{{left[ {left( {2x + y} right) + left( {2x – y} right)} right]}^2}} over {16x{{left( {2x – y} right)}^2}}} = {{{{left( {4x} right)}^2}} over {16x{{left( {2x – y} right)}^2}}} = {{16{x^2}} over {16x{{left( {2x – y} right)}^2}}} = {x over {{{left( {2x – y} right)}^2}}} cr} )

d. (left( {{2 over {x + 2}} – {4 over {{x^2} + 4x + 4}}} right):left( {{2 over {{x^2} – 4}} + {1 over {2 – x}}} right))

(eqalign{  &  = left[ {{2 over {x + 2}} – {4 over {{{left( {x + 2} right)}^2}}}} right]:left[ {{2 over {left( {x + 2} right)left( {x – 2} right)}} – {1 over {x – 2}}} right]  cr  &  = {{2left( {x + 2} right) – 4} over {{{left( {x + 2} right)}^2}}}:{{2 – left( {x + 2} right)} over {left( {x + 2} right)left( {x – 2} right)}} = {{2x + 4 – 4} over {{{left( {x + 2} right)}^2}}}:{{2 – x – 2} over {left( {x + 2} right)left( {x – 2} right)}}  cr  &  = {{2x} over {{{left( {x + 2} right)}^2}}}.{{left( {x + 2} right)left( {x – 2} right)} over { – x}} = {{2left( {x – 2} right)} over { – left( {x + 2} right)}} = {{2left( {2 – x} right)} over {x + 2}} cr} )


Bài 46 trang 36 SBT Toán 8

Tìm điều kiện của biến để giá trị của phân thức xác định :

a. ({{5{x^2} – 4x + 2} over {20}})

b. ({8 over {x + 2004}})

c. ({{4x} over {3x – 7}})

d. ({{{x^2}} over {x + z}})

Lời giải: a. Phân thức : ({{5{x^2} – 4x + 2} over {20}})xác định với mọi (x in R)

b. Phân thức : ({8 over {x + 2004}})xác định khi (x + 2004 ne 0 Rightarrow x ne  – 2004)

c. Phân thức : ({{4x} over {3x – 7}})xác định khi (3x – 7 ne 0 Rightarrow x ne {7 over 3})

d. Phân thức : ({{{x^2}} over {x + z}})xác định khi (x + z ne 0 Rightarrow x ne  – z)


Bài 47 trang 36

Phân tích mẫu thức của các phân thức sau thành nhân tử rồi tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức xác định :

a. ({5 over {2x – 3{x^2}}})

b. ({{2x} over {8{x^3} + 12{x^2} + 6x + 1}})

c. ({{ – 5{x^2}} over {16 – 24x + 9{x^2}}})

d. ({3 over {{x^2} – 4{y^2}}})

Bài giải: a.  ({5 over {2x – 3{x^2}}})( = {5 over {xleft( {2 – 3x} right)}}) xác định khi (xleft( {2 – 3x} right) ne 0)

(left{ {matrix{{x ne 0}  cr{2 – 3x ne 0}  cr}  Rightarrow left{ {matrix{ {x ne 0}  cr {x ne {2 over 3}}  cr} } right.} right.)

Vậy phân thức ({5 over {2x – 3{x^2}}}) xác định với (x ne 0)  và (x ne {2 over 3})

b. ({{2x} over {8{x^3} + 12{x^2} + 6x + 1}}) ( = {{2x} over {{{left( {2x + 1} right)}^3}}}) xác định khi ({left( {2x + 1} right)^3} ne 0 Rightarrow 2x + 1 ne 0 Rightarrow x ne  – {1 over 2})

c.  ({{ – 5{x^2}} over {16 – 24x + 9{x^2}}})( = {{ – 5{x^2}} over {{4^2} – 2.4.3x + {{left( {3x} right)}^2}}} = {{ – 5{x^2}} over {{{left( {4 – 3x} right)}^2}}})

xác định khi ({left( {4 – 3x} right)^2} ne 0 Rightarrow 4 – 3x ne 0 Rightarrow x ne {4 over 3})

d. ({3 over {{x^2} – 4{y^2}}})( = {3 over {left( {x – 2y} right)left( {x + 2y} right)}})  xác định khi (left( {x – 2y} right)left( {x + 2y} right) ne 0)

( Rightarrow left{ {matrix{{x – 2y ne 0}  cr{x + 2y ne 0}  cr}  Rightarrow x ne  pm 2y} right.)


Bài 48 trang 37

Có bạn nói rằng các phân thức ({{2x} over {2x – 2}},{1 over {{x^2} – 2x + 1}},{{5{x^3}} over {left( {x – 1} right)left( {{x^2} + 1} right)}})  có cùng điều kiện của biến x.

Điều đó đúng hay sai ? Vì sao ?

Hướng dẫn giải: Các phân thức ({{2x} over {2x – 2}},{1 over {{x^2} – 2x + 1}},{{5{x^3}} over {left( {x – 1} right)left( {{x^2} + 1} right)}})có cùng điều kiện biến x là đúng vì phân thức ({{2x} over {2x – 2}})  xác định khi (2x – 2 ne 0 Rightarrow 2x ne 2 Rightarrow x ne 1;{1 over {{x^2} – 2x + 1}} = {1 over {{{left( {x – 1} right)}^2}}}) xác định khi ({left( {x – 1} right)^2} ne 0 Rightarrow x – 1 ne 0 Rightarrow x ne 1;{{5{x^3}} over {left( {x – 1} right)left( {{x^2} + 1} right)}}) xác định khi (left( {x – 1} right)left( {{x^2} + 1} right) ne 0 Rightarrow x – 1 ne 0 Rightarrow x ne 1)


Bài 49 trang 37 SBT Toán 8

a. Tìm một phân thức (một biến) mà giá trị của nó được xác định với mọi giá trị của biến khác các số nguyên lẻ lớn hơn 5 và nhỏ hơn 10.

b. Tìm một phân thức (một biến) mà giá trị của nó được xác định với mọi giá trị của biến khác ( pm sqrt 2 )

Lời giải: a. Một phân thức một biến mà giá trị của nó xác định với mọi giá trị của biến khác các số nguyên lẻ lớn hơn 5 và nhỏ hơn 10 ta có tập hợp số nguyên lẻ đó { 7; 9 } nên (x ne 7) và (x ne 9)

Suy ra: (x – 7 ne 0)  và (x – 9 ne 0)

Ta chọn phân thức là ({a over {left( {x – 7} right)left( {x – 9} right)}}) (với a là một hằng số)

b. Phân thức một biến mà giá trị của nó được xác định với mọi giá trị của biến khác ( pm sqrt 2 )( Rightarrow x ne sqrt 2 )  và (x ne  – sqrt {2.} )

Suy ra: (x – sqrt 2  ne 0)và (x + sqrt 2  ne 0) ta chọn phân thức:

({a over {left( {x – sqrt 2 } right)left( {x + sqrt 2 } right)}} = {a over {{x^2} – 2}}) (với a là một hằng số)


Bài 50 trang 37

Đố. Đố em tìm được một cặp phân thức của biến x mà khi giá trị của phân thức này bằng 0 thì giá trị của phân thức kia không xác định và ngược lại khi giá trị của phân thức kia bằng 0 thì giá trị của phân thức này không xác định.

Em có thể tìm được bao nhiêu cặp phân thức như thế ?

Hướng dẫn: Hai phân thức có cùng biến x mà khi giá trị của phân thức này bằng 0 thì giá trị của phân thức kia không xác định và ngược lại. Ta chọn hai phân thức đó có cùng biến x là nghịch đảo của nhau và không có giá trị nào của x để tử và mẫu đồng thời bằng 0.

Chẳng hạn : ({{2x + 1} over {2x – 1}})  và ({{2x – 1} over {2x + 1}}) có vô số cặp phân thức như thế.


Bài 51 trang 37 SBT Toán 8 tập 1

Tính giá trị của các biểu thức :

a. ({{3{x^2} – x} over {9{x^2} – 6x + 1}})tại (x =  – 8)

b. ({{{x^2} + 3x + 2} over {{x^3} + 2{x^2} – x – 2}})tại (x = 1000001)

HD giải: a. (9{x^2} – 6x + 1 ne 0 Rightarrow {left( {3x – 1} right)^2} ne 0 Rightarrow x ne {1 over 3}) ta có (x =  – 8 ne {1 over 3})

({{3{x^2} – x} over {9{x^2} – 6x + 1}})( = {{xleft( {3x – 1} right)} over {{{left( {3x – 1} right)}^2}}} = {x over {3x – 1}}) . Thay (x =  – 8) vào biểu thức ta có:

({{ – 8} over {3.left( { – 8} right) – 1}} = {{ – 8} over { – 24 – 1}} = {8 over {25}})

b. (eqalign{  & {x^3} + 2{x^2} – x – 2 = {x^2}left( {x + 2} right) – left( {x + 2} right)  cr  &  = left( {x + 2} right)left( {{x^2} – 1} right) = left( {x + 2} right)left( {x – 1} right)left( {x + 1} right) ne 0 cr} )

( Rightarrow x ne  – 2)và (x ne  pm 1;x = 1000001) thỏa mãn điều kiện

({{{x^2} + 3x + 2} over {{x^3} + 2{x^2} – x – 2}} = {{{x^2} + 2x + x + 2} over {left( {x + 2} right)left( {x – 1} right)left( {x + 1} right)}} = {{left( {x + 2} right)left( {x + 1} right)} over {left( {x + 2} right)left( {x + 1} right)left( {x – 1} right)}} = {1 over {x – 1}})

Thay (x = 1000001)vào biểu thức ta có: ({1 over {1000001 – 1}} = {1 over {1000000}})


Bài 52 trang 37

Tìm điều kiện của các biến trong mỗi phân thức sau đây. Chứng minh rằng khi giá trị của phân thức xác định thì giá trị đó không phụ thuộc vào các biến x và y (nghĩa là chứng tỏ rằng có thể biến đổi phân thức đã cho thành một biểu thức không chứa x và y ) :

a. ({{{x^2} – {y^2}} over {left( {x + y} right)left( {6x – 6y} right)}})

b. ({{2ax – 2x – 3y + 3ay} over {4ax + 6x + 9y + 6ay}}) ( a là hằng số khác  )

Giải bài 52: a. ({{{x^2} – {y^2}} over {left( {x + y} right)left( {6x – 6y} right)}})xác định khi (left( {x + y} right)left( {6x – 6y} right) ne 0 Rightarrow left{ {matrix{  {x + y ne 0}  cr {6x – 6y ne 0}  cr } } right.)

( Leftrightarrow left{ {matrix{{x ne  – y}  cr{x – y ne 0}  cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{{x ne  – y}  cr{x ne y}  cr} } right.)

Điều kiện

({{{x^2} – {y^2}} over {left( {x + y} right)left( {6x – 6y} right)}} = {{left( {x + y} right)left( {x – y} right)} over {left( {x + y} right)6left( {x – y} right)}} = {1 over 6})

Vậy biểu thức không phụ thuộc vào x, y

b. ({{2ax – 2x – 3y + 3ay} over {4ax + 6x + 9y + 6ay}})xác định khi (4ax + 6x + 9y + 6ay ne 0)

( Rightarrow 2xleft( {2a + 3} right) + 3yleft( {2a + 3} right) = left( {2a + 3} right)left( {2x + 3y} right) ne 0)

Vì (a ne  – {3 over 2} Rightarrow 2a + 3 ne 0 Rightarrow 2x + 3y ne 0 Rightarrow x ne  – {3 over 2}y)

điều kiện : (x ne  – {3 over 2}y)với (a ne  – {3 over 2})

({{2ax – 2x – 3y + 3ay} over {4ax + 6x + 9y + 6ay}} = {{2xleft( {a – 1} right) + 3yleft( {a – 1} right)} over {left( {2a + 3} right)left( {2x + 3y} right)}} = {{left( {a – 1} right)left( {2x + 3y} right)} over {left( {2a + 3} right)left( {2x + 3y} right)}} = {{a – 1} over {2a + 3}})

Vậy biểu thức không phụ thuộc vào x, y


Bài 53 trang 37 Toán 8

Đố. Đố em tìm được giá trị của x để giá trị của phân thức ({{4{x^2} – 4{x^3} + {x^4}} over {{x^3} – 2{x^2}}}) bằng:

a. – 2

b. 2

c. 0

Đáp án: ({x^3} – 2{x^2} = {x^2}left( {x – 2} right) ne 0 Rightarrow x ne 0)và (x ne 2) điều kiện (x ne 0,x ne 2)

Ta có: ({{4{x^2} – 4{x^3} + {x^4}} over {{x^3} – 2{x^2}}} = {{{x^2}left( {{x^2} – 4x + 4} right)} over {{x^2}left( {x – 2} right)}} = {{{x^2}{{left( {x – 2} right)}^2}} over {{x^2}left( {x – 2} right)}} = x – 2)

a. Nếu phân thức đã cho bằng – 2 thì biểu thức x – 2 cũng có giá trị bằng – 2 suy ra: x – 2 = – 2 ⇒ x = 0 không thỏa mãn điều kiện.

Vậy không có giá trị nào của x để phân thức bằng – 2

b. Nếu phân thức đã cho bằng 2 thì biểu thức x – 2 cũng có giá trị bằng 2 suy ra:

x – 2 = 2 ⇒ x = 4 thì phân thức có giá trị bằng 2.

c. Nếu phân thức có giá trị bằng 0 thì biểu thức x – 2 cũng có giá trị bằng 0 suy ra :

x – 2 = 0 ⇒ x = 2 mà x = 2 không thỏa mãn điều kiện.

Vậy không có giá trị nào của x để phân thức có giá trị bằng 0.


Bài 54 SBT Toán 8 tập 1

Cho biểu thức ({{{x^2} + 2x} over {2x + 10}} + {{x – 5} over x} + {{50 – 5x} over {2xleft( {x + 5} right)}})

a. Tìm điều kiện của biến x để giá trị của biểu thức được xác định.

b. Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng 1

c. Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng ( – {1 over 2})

d. Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng – 3

Giải: a. Biểu thức xác định khi (2x + 10 ne 0,x ne 0) và (2xleft( {x + 5} right) ne 0)

( Rightarrow x ne 0)và (x ne  – 5)

Điều kiện (x ne 0) và (x ne  – 5)

(eqalign{ & {{{x^2} + 2x} over {2x + 10}} + {{x – 5} over x} + {{50 – 5x} over {2xleft( {x + 5} right)}} = {{{x^2} + 2x} over {2left( {x + 5} right)}} + {{x – 5} over x} + {{50 – 5x} over {2xleft( {x + 5} right)}}  cr  &  = {{{x^3} + 2{x^2} + 2{x^2} – 50 + 50 – 5x} over {2xleft( {x + 5} right)}} = {{{x^3} + 4{x^2} – 5x} over {2xleft( {x + 5} right)}} = {{xleft( {{x^2} – x + 5x – 5} right)} over {2xleft( {x + 5} right)}}  cr &  = {{left( {x – 1} right)left( {x + 5} right)} over {2left( {x + 5} right)}} = {{x – 1} over 2} cr} )

b. Nếu giá trị của phân thức bằng 1 thì giá trị của biểu thức ({{x – 1} over 2}) cũng bằng 1

Suy ra: ({{x – 1} over 2} = 1 Rightarrow x – 1 = 2 Rightarrow x = 3) mà x = 3 thỏa mãn điều kiện.

Vậy x = 3 thì giá trị của phân thức bằng 1

c. Nếu giá trị của phân thức bằng ( – {1 over 2}) thì giá trị của biểu thức ({{x – 1} over 2}) cùng bằng  ( – {1 over 2})

Suy ra: ({{x – 1} over 2} =  – {1 over 2} Rightarrow x – 1 =  – 1 Rightarrow x = 0) mà x = 0 không thỏa mãn điều kiện.

Vậy không có giá trị nào của x để phân thức bằng( – {1 over 2}).

d. Nếu giá trị của phân thức bằng – 3 thì giá trị của biểu thức ({{x – 1} over 2}) cũng bằng – 3

Suy ra: ({{x – 1} over 2} =  – 3 Rightarrow x – 1 =  – 6 Rightarrow x =  – 5) mà x = – 5 không thỏa mãn điều kiện.

Vậy không có giá trị nào của x để phân thức bằng – 3


Bài 55 trang 38

Tìm x, biết :

a. ({{2x + 1} over {{x^2} – 2x + 1}} – {{2x + 3} over {{x^2} – 1}} = 0)

b. ({3 over {x – 3}} – {{6x} over {9 – {x^2}}} + {x over {x + 3}} = 0)

Giải bài 55 trang 38 SBT Toán 8 tập 1: a. ({{2x + 1} over {{x^2} – 2x + 1}} – {{2x + 3} over {{x^2} – 1}} = 0) điểu kiện (x ne  pm 1)

(eqalign{  &  Rightarrow {{2x + 1} over {{{left( {x – 1} right)}^2}}} – {{2x + 3} over {left( {x + 1} right)left( {x – 1} right)}} = 0  cr  &  Rightarrow {{left( {2x + 1} right)left( {x + 1} right) – left( {2x + 3} right)left( {x – 1} right)} over {left( {x + 1} right){{left( {x – 1} right)}^2}}} = 0  cr  &  Rightarrow {{2{x^2} + 2x + x + 1 – 2{x^2} + 2x – 3x + 3} over {left( {x + 1} right){{left( {x – 1} right)}^2}}} = 0  cr  &  Rightarrow {{2x + 4} over {left( {x + 1} right){{left( {x – 1} right)}^2}}} = 0 cr} )

Biểu thức bằng 0 khi tử bằng 0 và mẫu khác 0

( Rightarrow x + 3 = 0 Rightarrow x =  – 3)

x = – 3 không thỏa mãn điều kiện.

Vậy không có giá trị nào của x để biểu thức bằng 0.


Bài 56 trang 38

Với giá trị nào của x thì giá trị của mỗi biểu thức sau bằng 0 :

a. ({x over {{x^2} – 4}} + {3 over {{{left( {x + 2} right)}^2}}}?)

b. ({1 over {{x^2} + x + 1}} + x – 1?)

Đáp số: a. ({x over {{x^2} – 4}} + {3 over {{{left( {x + 2} right)}^2}}})( = {x over {left( {x + 2} right)left( {x – 2} right)}} + {3 over {{{left( {x + 2} right)}^2}}} = {{xleft( {x + 2} right) + 3left( {x – 2} right)} over {left( {x – 2} right){{left( {x + 2} right)}^2}}})

( = {{{x^2} + 2x + 3x – 6} over {left( {x – 2} right){{left( {x + 2} right)}^2}}} = {{{x^2} – x + 6x – 6} over {left( {x – 2} right){{left( {x + 2} right)}^2}}} = {{xleft( {x – 1} right) + 6left( {x – 1} right)} over {left( {x – 2} right){{left( {x + 2} right)}^2}}} = {{left( {x – 1} right)left( {x + 6} right)} over {left( {x – 2} right){{left( {x + 2} right)}^2}}})

Biểu thức bằng 0 khi (left( {x – 1} right)left( {x + 6} right) = 0)  và (left( {x – 2} right){left( {x + 2} right)^2} ne 0)

(left( {x – 1} right)left( {x + 6} right) = 0 Rightarrow x = 1) hoặc (x =  – 6)

(left( {x – 2} right){left( {x + 2} right)^2} ne 0 Rightarrow x ne 2)và (x ne  – 2)

(x = 1)  và (x =  – 6) khác 2 và – 2

Vậy với x = 1 hoặc x = – 6 thì giá trị của biểu thức bằng 0.

b. ({1 over {{x^2} + x + 1}} + x – 1)( = {{1 + left( {x – 1} right)left( {{x^2} + x + 1} right)} over {{x^2} + x + 1}} = {{1 + {x^3} – 1} over {{x^2} + x + 1}} = {{{x^3}} over {{x^2} + x + 1}})

Biểu thức bằng 0 khi ({x^3} = 0) và ({x^2} + x + 1 ne 0.)

({x^3} = 0 Rightarrow x = 0,{x^2} + x + 1 = {x^2} + 2.x.{1 over 2} + {1 over 4} + {3 over 4} = {left( {x + {1 over 2}} right)^2} + {3 over 4} ne 0)mọi x

Vậy với x = 0 thì giá trị của biểu thức bằng 0.


Bài 57 SBT Toán 8 trang 38

Tìm giá trị nguyên của biến x để tại đó giá trị của mỗi biểu thức sau là một số nguyên :

a. ({2 over {x – 3}})

b. ({3 over {x + 2}})

c. ({{3{x^3} – 4{x^2} + x – 1} over {x – 4}})

d. ({{3{x^2} – x + 1} over {3x + 2}})

Bài giải: a. ({2 over {x – 3}}) là một số nguyên nên (2 vdots left( {x – 3} right)) và (x ne 3)

⇒ x – 3 ∈ Ư(2) = { – 2; -1 ; 1; 2 }

   (eqalign{& x – 3 =  – 2 Rightarrow x = 1  cr & x – 3 =  – 1 Rightarrow x = 2  cr  & x – 3 = 1 Rightarrow x = 4  cr  & x – 3 = 2 Rightarrow x = 5 cr} )

Vậy với x ∈ { 1; 2; 4; 5 } thì ({2 over {x – 3}})là một số nguyên

b. ({3 over {x + 2}}) là một số nguyên nên 3 ⋮ (x + 2) và x ≠ – 2

⇒ x + 2 ∈ Ư(3) = { -3; -1; 1; 3 }

    (eqalign{  & x + 2 =  – 3 Rightarrow x =  – 5  cr  & x + 2 =  – 1 Rightarrow x =  – 3  cr  & x + 2 = 1 Rightarrow x =  – 1  cr  & x + 2 = 3 Rightarrow x = 1 cr} )

Vậy với x ∈ { -5; -3; -1; 1 } thì ({3 over {x + 2}}) là một số nguyên

c.  ({{3{x^3} – 4{x^2} + x – 1} over {x – 4}})( = {{left( {3{x^2} + 8x + 33} right)left( {x – 4} right) + 131} over {x – 4}} = 3{x^2} + 8x + 33 + {{131} over {x – 4}})

Với x là số nguyên ta có : (3{x^2} + 8x + 33) là số nguyên

Vậy muốn biểu thức là số nguyên thì 131 ⋮ (x – 4 ) và x ≠ 4

⇒ x – 4 ∈ Ư(131) = {-131; -1; 1; 131}

   (eqalign{ & x – 4 =  – 131 Rightarrow x =  – 127  cr  & x – 4 =  – 1 Rightarrow x = 3  cr  & x – 4 = 1 Rightarrow x = 5  cr  & x – 4 = 131 Rightarrow x = 135 cr} )

Vậy x ∈ {-127; 3; 5; 135} thì ${{3{x^3} – 4{x^2} + x – 1} over {x – 4}}$ là số nguyên

d.  ({{3{x^2} – x + 1} over {3x + 2}})( = {{left( {3x + 2} right)left( {x – 1} right) + 3} over {3x + 2}} = x – 1 + {3 over {3x + 2}}) (với (x ne  – {3 over 2}) )

x là số nguyên ta có x – 1 là số nguyên.

Vậy muốn biểu thức đã cho là số nguyên thì 3 ⋮ (3x + 2) và (x ne  – {3 over 2})

3x + 2 ∈ Ư(3) = {-3; -1; 1; 3 }

(3x + 2 =  – 3 Rightarrow x =  – {5 over 3} notin ) (loại)

(3x + 2 =  – 1 Rightarrow x =  – 1)

(3x + 2 = 1 Rightarrow x =  – {1 over 3} notin ) (loại)

(3x + 2 = 3 Rightarrow x = {1 over 3} notin ) (loại)

x = – 1 khác ( – {3 over 2})

Vậy với x = – 1 thì biểu thức ({{3{x^2} – x + 1} over {3x + 2}}) có giá trị nguyên.


Câu 9.1 trang 39 Sách bài tập Toán 8 tập 1

Biết rằng Q( = {{{x^2} – 6x + 9} over {{x^2} – 9}} = {{{{left( {x – 3} right)}^2}} over {left( {x – 3} right)left( {x + 3} right)}} = {{x – 3} over {x + 3}}) .

Hãy tính giá trị của biểu thức Q. Câu trả lời nào sau đây là sai ?

A. Giá trị của Q tại x = 4 là ({{4 – 3} over {4 + 3}} = {1 over 7})

B. Giá trị của Q tại x = 1 là ({{1 – 3} over {1 + 3}} =  – {1 over 2})

C. Giá trị của Q tại x = 3 là ({{3 – 3} over {3 + 3}} = 0)

D. Giá trị của Q tại x = 3 không xác định.

Bài giải: Giá trị của biểu thức Q( = {{{x^2} – 6x + 9} over {{x^2} – 9}} = {{{{left( {x – 3} right)}^2}} over {left( {x – 3} right)left( {x + 3} right)}} = {{x – 3} over {x + 3}})

C. Giá trị của Q tại x = 3 là ({{3 – 3} over {3 + 3}} = 0) sai vì x = 3 phân thức đã cho không xác định


Câu 9.2 trang 39

Với mỗi biểu thức sau, hãy tìm giá trị của x để giá trị tương ứng của biểu thức bằng 1 :

a. ({{1 + {x^2} + {1 over x}} over {2 + {1 over x}}})

b. ({{1 + {x^2} – {4 over {x + 1}}} over {2 – {4 over {x + 1}}}})

HD giải: a. ({{1 + {x^2} + {1 over x}} over {2 + {1 over x}}}) điều kiện x ≠ 0 và x ≠ ( – {1 over 2})

(eqalign{  &  Rightarrow {{x + {x^3} + 1} over x}:{{2x + 1} over x} = 1  cr  &  Rightarrow {{{x^3} + x + 1} over x}.{x over {2x + 1}} = 1  cr  &  Rightarrow {{{x^3} + x + 1} over {2x + 1}} – 1 = 0  cr  &  Rightarrow {{{x^3} + x + 1 – 2x – 1} over {2x + 1}} = 0  cr  &  Rightarrow {{{x^3} – x} over {2x + 1}} = 0 cr} )

Giá trị biểu thức bằng 0 khi

 ⇒ x = 0 hoặc (x + 1) = 0 hoặc x – 1 = 0

x + 1 = 0 hoặc x = – 1

x – 1 = 0 hoặc x = 1

x = 0 không thỏa mãn điều kiện nên ta loại

Vậy x = 1 hoặc x = -1

b. ({{1 + {x^2} – {4 over {x + 1}}} over {2 – {4 over {x + 1}}}})  điều kiện x ≠ 1 và x ≠ – 1

(eqalign{  & {{x + 1 + {x^2}left( {x + 1} right) – 4} over {x + 1}}:{{2left( {x + 1} right) – 4} over {x + 1}} = 1  cr  &  Rightarrow {{x + 1 + {x^3} + {x^2} – 4} over {x + 1}}.{{x + 1} over {2x – 2}} = 1  cr  &  Rightarrow {{{x^3} + {x^2} + x – 3} over {2left( {x – 1} right)}} – 1 = 0  cr  &  Rightarrow {{{x^3} + {x^2} + x – 3 – 2x + 2} over {2left( {x – 1} right)}} = 0 cr} )

( Rightarrow {{{x^3} + {x^2} – x – 1} over {2left( {x – 1} right)}} = 0)

Giá trị biểu thức bằng 0

Khi (eqalign{  & {x^3} + {x^2} – x – 1 = 0  cr  &  Rightarrow {x^2}left( {x + 1} right) – left( {x + 1} right) = 0  cr  &  Rightarrow left( {x + 1} right)left( {{x^2} – 1} right) = 0  cr  &  Rightarrow {left( {x + 1} right)^2}left( {x – 1} right) = 0 cr} )

( Rightarrow x + 1 = 0) hoặc (x – 1 = 0)

(eqalign{  & x + 1 = 0 Rightarrow x =  – 1  cr  & x – 1 = 0 Rightarrow x = 1 cr} )

x = 1 và x = -1 không thỏa mãn điều kiện

Vậy không có giá trị nào của x để giá trị tương ứng của biểu thức bằng 1.

 

The post Bài 9 biến đổi các biểu thức hữu tỉ Giá trị của phân thức – Sách bài tập Toán 8 tập 1 appeared first on Sách Toán – Học toán.

Goc hoc tap