Chương III: Bài 1: Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ

Bài 1. Ba vecto (overrightarrow a ,overrightarrow b ,overrightarrow c ) có đồng phẳng không nếu một trong hai điều sau đây xảy ra ?

a. Có một vecto trong ba vecto đó bằng (overrightarrow 0 )

b. Có hai vecto trong ba vecto đó cùng phương.

Giải

a. Giả sử (overrightarrow a  = overrightarrow 0 .) Áp dụng định lí 1 : (overrightarrow a  = 0.overrightarrow b  + 0.overrightarrow c ,nen,overrightarrow a ,overrightarrow b ,overrightarrow c ) đồng phẳng.

b. Giả sử (overrightarrow a ,overrightarrow b ) cùng phương, khi đó có số k sao cho (overrightarrow a  = koverrightarrow b )

( Rightarrow overrightarrow a  = koverrightarrow b  + 0.overrightarrow c ) do đó (overrightarrow a ,overrightarrow b ,overrightarrow c ) đồng phẳng.

———————————————–

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD.

a. Chứng minh rằng nếu ABCD là hình bình hành thì (overrightarrow {SB}  + overrightarrow {SD}  = overrightarrow {SA}  + overrightarrow {SC} ). Điều ngược lại có đúng không ?

b. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng tỏ rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi (overrightarrow {SA}  + overrightarrow {SB}  + overrightarrow {SC}  + overrightarrow {SD}  = 4overrightarrow {SO} )

Giải

Chương III: Bài 1: Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ

a. Ta có:

(eqalign{  & overrightarrow {SB}  + overrightarrow {SD}  = overrightarrow {SA}  + overrightarrow {SC}   cr  &  Leftrightarrow overrightarrow {SB}  – overrightarrow {SC}  = overrightarrow {SA}  – overrightarrow {SD}  Leftrightarrow overrightarrow {CB}  = overrightarrow {DA}  cr} )

⇔ ABCD là hình bình hành.

b. Ta có:

(eqalign{  & overrightarrow {SA}  + overrightarrow {SB}  + overrightarrow {SC}  + overrightarrow {SD}  = 4overrightarrow {SO}   cr  &  Leftrightarrow overrightarrow {SO}  + overrightarrow {OA}  + overrightarrow {SO}  + overrightarrow {OB}  + overrightarrow {SO}  + overrightarrow {OC}  + overrightarrow {SO}  + overrightarrow {OD}  = 4overrightarrow {SO}   cr  &  Leftrightarrow overrightarrow {OA}  + overrightarrow {OB}  + overrightarrow {OC}  + overrightarrow {OD}  = overrightarrow 0 ,,left( * right) cr} )

Nếu ABCD là hình bình hành thì (overrightarrow {OA}  + overrightarrow {OB}  + overrightarrow {OC}  + overrightarrow {OD}  = overrightarrow 0 ) suy ra

(overrightarrow {SA}  + overrightarrow {SB}  + overrightarrow {SC}  + overrightarrow {SD}  = 4overrightarrow {SO} ) (do (*))

Ngược lại, giả sử (overrightarrow {SA}  + overrightarrow {SB}  + overrightarrow {SC}  + overrightarrow {SD}  = 4overrightarrow {SO} ,) ta có (*).

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD thì :

(overrightarrow {OA}  + overrightarrow {OC}  = 2overrightarrow {OM} ,overrightarrow {OB}  + overrightarrow {OD}  = 2overrightarrow {ON} )

Từ (*) suy ra (2left( {overrightarrow {OM}  + overrightarrow {ON} } right) = overrightarrow 0 ,) điều này chứng tỏ O, M, N thẳng hàng

Mặt khác, M thuộc AC, N thuộc BD và O là giao điểm của AC và BD nên O, M, N thẳng hàng chỉ xảy ra khi O ≡ M ≡ N, tức O là trung điểm AC và BD, hay ABCD là hình bình hành.

———————————————————–

Bài 3.

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’, I là giao điểm của hai đường thẳng AB’ và A’B. Chứng minh rằng các đường thẳng GI và CG’ song song với nhau.

Giải

Chương III: Bài 1: Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ

Đặt (overrightarrow {AA’}  = overrightarrow a ,overrightarrow {AB}  = overrightarrow b ,overrightarrow {AC}  = overrightarrow c )

Thì (overrightarrow {AG}  = {1 over 3}left( {overrightarrow b  + overrightarrow c } right),overrightarrow {AI}  = {1 over 2}left( {overrightarrow a  + overrightarrow b } right))

Do đó, (overrightarrow {GI}  = overrightarrow {AI}  – overrightarrow {AG}  = {{3overrightarrow a  + overrightarrow b  – 2overrightarrow c } over 6})

Mặt khác : (overrightarrow {AG’}  = {1 over 3}left( {overrightarrow {AA’}  + overrightarrow {AB’}  + overrightarrow {AC’} } right) = overrightarrow a  + {1 over 3}left( {overrightarrow b  + overrightarrow c } right))

( Rightarrow overrightarrow {CG’}  = overrightarrow {AG’}  – overrightarrow {AC}  = overrightarrow a  + {1 over 3}left( {overrightarrow b  + overrightarrow c } right) – overrightarrow c  )

(= {{3overrightarrow a  + overrightarrow b  – 2overrightarrow c } over 3})

Vậy (overrightarrow {CG’}  = 2overrightarrow {GI} .) Ngoài ra, điểm G không thuộc đường thẳng CG’ nên GI và CG’ là hai đường thẳng song song.

——————————————————————————-

Bài 4.

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và DD’; G và G’ lần lượt là trọng tâm của các tứ diện A’D’MN và BCC’D’. Chứng minh rằng đường thẳng GG’ và mặt phẳng (ABB’A’) song song với nhau.

GiảiChương III: Bài 1: Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ

Đặt (overrightarrow {AB}  = overrightarrow a ,overrightarrow {AD}  = overrightarrow b ,overrightarrow {AA’}  = overrightarrow c .)

Vì G’ là trọng tâm tứ diện BCC’D’ nên (overrightarrow {AG’}  = {1 over 4}left( {overrightarrow {AB}  + overrightarrow {AC}  + overrightarrow {AC’}  + overrightarrow {AD’} } right))

Và G là trọng tâm tứ diện A’D’MN nên

(eqalign{  & overrightarrow {AG}  = {1 over 4}left( {overrightarrow {AA’}  + overrightarrow {AD’}  + overrightarrow {AM}  + overrightarrow {AN} } right)  cr  &  Rightarrow overrightarrow {GG’}  = overrightarrow {AG’}  – overrightarrow {AG} cr& = {1 over 4}left( {overrightarrow {A’B}  + overrightarrow {D’C}  + overrightarrow {MC’}  + overrightarrow {ND’} } right)  cr  &  = {1 over 4}left( {overrightarrow a  – overrightarrow c  + overrightarrow a  – overrightarrow c  + {1 over 2}overrightarrow a  + overrightarrow c  + {1 over 2}overrightarrow c } right)  cr  &  = {1 over 8}left( {5overrightarrow a  – overrightarrow c } right) = {1 over 8}left( {5overrightarrow {AB}  – overrightarrow {AA’} } right) cr} )

Do đó (overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AA’} ,overrightarrow {GG’} ) đồng phẳng. Mặt khác, G không thuộc mặt phẳng (ABB’A’) nên đường thẳng GG’ và mặt phẳng (ABB’A’) song song với nhau.

———————————————————

Bài 5. Trong không gian cho tam giác ABC.

a. Chứng minh rằng nếu điểm M thuộc mp(ABC) thì có ba số x, y, z mà x + y + z = 1 sao cho (overrightarrow {OM}  = overrightarrow {xOA}  + overrightarrow {yOB}  + overrightarrow {zOC} ) với mọi điểm O.

b. Ngược lại, nếu có một điểm O trong không gian saao cho (overrightarrow {OM}  = overrightarrow {xOA}  + overrightarrow {yOB}  + overrightarrow {zOC} ,) trong đó x + y + z = 1 thì điểm M thuộc mp(ABC).

Giải

a. Vì (overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} ) là hai vecto không cùng phương nên điểm M thuộc mp(ABC) khi và chỉ khi có (overrightarrow {AM}  = loverrightarrow {AB}  + moverrightarrow {AC} )

hay (overrightarrow {OM}  – overrightarrow {OA}  = lleft( {overrightarrow {OB}  – overrightarrow {OA} } right) + mleft( {overrightarrow {OC}  – overrightarrow {OA} } right)) với mọi điểm O

tức là (overrightarrow {OM}  = left( {1 – l – m} right)overrightarrow {OA}  + loverrightarrow {OB}  + moverrightarrow {OC} )

đặt (1 – l – m = x,l = y,m = z) thì (overrightarrow {OM}  = xoverrightarrow {OA}  + yoverrightarrow {OB}  + zoverrightarrow {OC} ) với (x + y + z = 1.)

b. Giả sử (overrightarrow {OM}  = xoverrightarrow {OA}  + yoverrightarrow {OB}  + zoverrightarrow {OC} ) với (x + y + z = 1,) ta có :

(eqalign{  & overrightarrow {OM}  = left( {1 – y – z} right)overrightarrow {OA}  + yoverrightarrow {OB}  + zoverrightarrow {OC}   cr  & hay,overrightarrow {OM}  – overrightarrow {OA}  = yoverrightarrow {AB}  + zoverrightarrow {AC}   cr  & text{ tức là }overrightarrow {AM}  = yoverrightarrow {AB}  + zoverrightarrow {AC}  cr} )

Mà (overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} ) không cùng phương nên M thuộc mặt phẳng (ABC)

————————————————-

Bài 6.

Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các tia SA, SB, SC sao cho SA = aSA’, SB = bSB’, SC = cSC’, trong đó a, b, c là các số thay đổi. Chứng minh rằng mặt phẳng (A’B’C’) đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi a + b + c = 3.

Giải

Chương III: Bài 1: Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ

Ta có: (overrightarrow {SA}  = aoverrightarrow {SA’} ,;overrightarrow {SB}  = boverrightarrow {SB’} ,;overrightarrow {SC}  = coverrightarrow {SC} .)

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì

(eqalign{  & overrightarrow {SG}  = {1 over 3}.left( {overrightarrow {SA}  + overrightarrow {SB}  + overrightarrow {SC} } right)  cr  & Vay,overrightarrow {SG}  = {a over 3}overrightarrow {SA’}  + {b over 3}overrightarrow {SB’}  + {c over 3}overrightarrow {SC’}  cr} )

Mặt phẳng (A’B’C’) đi qua G khi và chỉ khi 4 điểm G, A’, B’, C’ đồng phẳng, nên theo kết quả bài tập 5 (SGK trang 91) , điều đó xảy ra nếu và chỉ nếu ({a over 3} + {b over 3} + {c over 3} = 1) , tức là: a + b + c = 3.

The post Chương III: Bài 1: Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ appeared first on Học giải.

Goc hoc tap

Bài viết liên quan:

  1. Chuyển động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có các phương trình là x1 = 4cos(10t + π/4) cm; x2 = 3cos(10t + 3π/4) cm. Gia tốc cực đại của vật trong quá trình dao động là
  2. Dao động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, ngược pha, có biên độ lần lượt là ({A_1}) và ({A_2}) . Biên độ dao động của vật bằng
  3. Chỉ ra câu sai . Khi tổng hợp hai dao động cùng phương, cùng tần số nhưng ngược pha nhau thì:
  4. Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, nhưng vuông pha nhau, có biên độ tương ứng là  A1 và  A2. Biết dao động tổng hợp có phương trình  (x = 16cos omega t) (cm) và lệch pha so với dao động thứ nhất một góc ({alpha _1}) . Thay đổi biên độ của hai dao động, trong đó biên độ của dao động thứ hai tăng lên  (sqrt {15} )  lần (nhưng vẫn giữ nguyên pha của hai dao động thành phần) khi đó dao động tổng hợp có biên độ không đổi nhưng lệch pha so với dao động thứ nhất một góc  ({alpha _2}) , với  ({alpha _1} + {alpha _2} = frac{pi }{2}) . Giá trị ban đầu của biên độ A2 là 
  5. Hai chất điểm M, N dao động điều hòa cùng tần số dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song với trục Ox. Vị trí cân bằng của M và N đều nằm trên một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với trục Ox. Trong quá trình dao động, hình chiếu của M và N trên Ox cách xa nhau nhất là  (sqrt 2 )cm. Biên độ dao động tổng hợp của M và N là 2 cm. Gọi AM, AN lần lượt là biên độ của M và N. Giá trị lớn nhất của (AM + AN) gần với giá trị nào nhất sau đây?