Chương III: Bài 6: Đường Hypepol

Bài 36. Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc ({{{x^2}} over {{a^2}}} – {{{y^2}} over {{b^2}}} = 1.)  Hỏi trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

a) Tiêu cự của (H) là 2c, trong đó ({c^2} = {a^2} + {b^2}.)

b) (H) có độ dài trục thực bằng 2a, độ dài trục ảo bằng 2b.

c) Phương trình hai đường tiệm cận của (H) là (y =  pm {a over b}x.)

d) Tâm sai của (H) là (e = {c over a} > 1.)

Giải

Các mệnh đề đúng là: a);  b);  d).

Mệnh đề sai là: c).

——————————————–

Bài 37. Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh; độ dài trục thực, trục ảo và phương trình các đường tiệm cận của mỗi hypebol có phương trình sau

(eqalign{
& a){{{x^2}} over 9} – {{{y^2}} over 4} = 1; cr
& b){{{x^2}} over 9} – {y^2 over {16}} = 1; cr
& c){x^2} – 9{y^2} = 9. cr} )

Giải

a) Ta có: (a = 3,b = 2,c = sqrt {{a^2} + {b^2}}  = sqrt {13.} )

Tiêu điểm ({F_1}left( { – sqrt {13} ;0} right),,{F_2}left( {sqrt {13} ;0} right))

Các đỉnh ({A_1}left( { – 3;0} right),{A_2}left( {3;0} right))

Độ dài trục thực: 2a = 6 , độ dài trục ảo: 2b = 4

Phương trình tiệm cận của hypebol: (y =  pm {2 over 3}x.)

b) Ta có: (a = 3,b = 4,c = sqrt {{a^2} + {b^2}}  = 5.)

Tiêu điểm  ({F_1}left( { – 5;0} right),{F_2}left( {5;0} right).)

Các đỉnh ({A_1}left( { – 3;0} right),{A_2}left( {3;0} right).)

Độ dài trục thực: 2a = 6 , độ dài trục ảo: 2b = 8

Phương trình các đường tiệm cận của hypebol: (y =  pm {4 over 3}x.)

c)  Ta có: ({x^2} – 9{y^2} = 9 Leftrightarrow {{{x^2}} over 9} – {y^2} = 1)

(a = 3,b = 1,c = sqrt {10} )

Tiêu điểm ({F_1}left( { – sqrt {10} ;0} right),{F_2}left( {sqrt {10} ;0} right))

Các đỉnh: ({A_1}left( { – 3;0} right),,{A_2}left( {3;0} right))

Độ dài trục thực: 2a = 6 , độ dài trục ảo 2b = 2

Phương trình các đường tiệm cận của hypebol: (y =  pm {1 over 3}x.)

——————————————————–

Bài 38.

Cho đường tròn (C) tâm ({F_1}) , bán kính R và một điểm ({F_2})  ở ngoài (C). Chứng minh rằng tập hợp tâm các đường tròn đi qua ({F_2}) , tiếp xúc với (C) là một đường hypebol. Viết phương trình chính tắc của hypebol đó.

Giải

Gọi M là tâm đường tròn đi qua ({F_2}) và tiếp xúc với (C)

Ta có: (|M{F_1} – M{F_2}| = R = 2a)

Vậy tập hợp các điểm M là đường hypebol (H) có (a = {R over 2},c = {{{F_1}{F_2}} over 2})

( Rightarrow {b^2} = {c^2} – {a^2} = {{{F_1}{F_2}^2 – {R^2}} over 4})

Phương trình chính tắc của (H) là:

({{{x^2}} over {{{left( {{R over 2}} right)}^2}}} – {{{y^2}} over {{{left( {{{sqrt {{F_1}{F_2}^2 – {R^2}} } over 2}} right)}^2}}} = 1.)

—————————————————

Bài 39. Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) trong mỗi trường hợp sau

a) (H) có một tiêu điểm là (5, 0) và độ dài trục thực bằng 8;

b) (H) có tiêu cự bằng (2sqrt 3 ) , một đường tiệm cận là (y = {2 over 3}x;)

c) (H) có tâm sai (e = sqrt 5 ) và đi qua điểm ((sqrt {10} ;6).)

Giải

a) Ta có: (c = 5,a = 4 Rightarrow {b^2} = {c^2} – {a^2} = 9 Rightarrow b = 3)

Vậy (H) có phương trình là: ({{{x^2}} over {16}} – {{{y^2}} over 9} = 1.)

b) Ta có: (c = sqrt 3 ;{b over a} = {2 over 3} Rightarrow b = {{2a} over 3})

({c^2} = {a^2} + {b^2} = 3 Rightarrow {a^2} + {{4{a^2}} over 9} = 3)

(Rightarrow {a^2} = {{27} over {13}};{b^2} = 3 – {{27} over {13}} = {{12} over {13}}.)

Vậy (H) có phương trình là: ({{{x^2}} over {{{27} over {13}}}} – {{{y^2}} over {{{12} over {13}}}} = 1.)

c) Ta có: (e = {c over a} = sqrt 5  Rightarrow {c^2} = 5{a^2} Rightarrow {b^2} = 4{a^2},,,,,(1))

Giả sử: ((H):{{{x^2}} over {{a^2}}} – {{{y^2}} over {{b^2}}} = 1)

Vì (Mleft( {sqrt {10} ;6} right) in (H)) nên: ({{10} over {{a^2}}} – {{36} over {{b^2}}} = 1 Leftrightarrow 10{b^2} – 36{a^2} = {a^2}{b^2},,,(2))

Thay (1) vào (2) ta được: (40{a^2} – 36{a^2} = {a^2}left( {4{a^2}} right) Rightarrow {a^2} = 1;{b^2} = 4)

Vậy (H) có phương trình là: ({{{x^2}} over 1} – {{{y^2}} over 4} = 1.)

——————————————————-

Bài 40.

Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận của nó là một số không đổi.

Giải

Giả sử (H) có phương trình chính tắc là: ({{{x^2}} over {{a^2}}} + {{{y^2}} over {{b^2}}} = 1)

Phương trình tiệm cận của (H) là: ({d_1}:y = {b over a}x Leftrightarrow bx – ay = 0)

({d_2}:y =  – {b over a}x Leftrightarrow bx + ay = 0)

Gọi (Mleft( {{x_0};{y_0}} right) in (H)) ta có: ({{x_0^2} over {{a^2}}} – {{y_0^2} over {{b^2}}} = 1 Leftrightarrow {b^2}x_0^2 – {a^2}y_0^2 = {a^2}{b^2})

Ta có: (dleft( {M,{d_1}} right).dleft( {M,{d_2}} right) = {{|b{x_0} – a{y_0}|} over {sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.{{|b{x_0} + a{y_0}|} over {sqrt {{a^2} + {b^2}} }} )

(= {{|{b^2}x_0^2 – {a^2}y_0^2|} over {{a^2} + {b^2}}} = {{{a^2}{b^2}} over {{a^2} + {b^2}}}) không đổi

—————————————————

Bài 41.

Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm ({F_1}left( { – sqrt 2 ; – sqrt 2 } right);,{F_2}left( {sqrt 2 ;sqrt 2 } right).)  Chứng minh rằng với mỗi điểm M(x, y) nằm trên đồ thị hàm số (y = {1 over x},) ta đều có

(M{F_1}^2 = {left( {x + {1 over x} + sqrt 2 } right)^2};M{F_2}^2 = {left( {x + {1 over x} – sqrt 2 } right)^2}.)

Từ đó suy ra (|M{F_1} – M{F_2}| = 2sqrt 2 .)

Giải

Giả sử: (Mleft( {x;y} right) in left( H right):,y = {1 over x}) ta có:

(eqalign{
& M{F_1^2} = {left( {x + sqrt 2 } right)^2} + {left( {{1 over x} + sqrt 2 } right)^2} cr&,,,,,,,,,,,, = {x^2} + 2sqrt 2 .x + 2 + {1 over {{x^2}}} + 2sqrt 2 .{1 over x} + 2 cr
& ,,,,,,,,,,,, = left( {{x^2} + {1 over {{x^2}}} + 2} right) + 2sqrt 2 left( {x + {1 over x}} right) + 2 cr
& ,,,,,,,,,,,, = {left( {{x^2} + {1 over x}} right)^2} + 2left( {x + {1 over x}} right).sqrt 2 + {left( {sqrt 2 } right)^2} cr
& ,,,,,,,,,,,, = {left( {x + {1 over x} + sqrt 2 } right)^2} cr
& M{F_2}^2 = {left( {x – sqrt 2 } right)^2} + {left( {{1 over x} – sqrt 2 } right)^2} cr&,,,,,,,,,,,, ;= {left( {x + {1 over x}} right)^2} – 2sqrt 2 left( {x + {1 over x}} right) + 2 cr
& ,,,,,,,,,,,,, = {left( {x + {1 over x} – sqrt 2 } right)^2} cr} )

Từ đó suy ra:

+) Với x > 0 thì (x + {1 over x} ge 2) (theo bất đẳng thức cô si)

Khi đó: (M{F_1} = x + {1 over x} + sqrt 2 ;M{F_2} = x + {1 over x} – sqrt 2 )

(Rightarrow M{F_1} – M{F_2} = 2sqrt 2 .)

+) Với x < 0 thì (left| {x + {1 over x}} right| = |x| + {1 over {|x|}} ge 2 Rightarrow x + {1 over x} le  – 2)

Khi đó: (M{F_1} =  – x – {1 over x} – sqrt 2 ;M{F_2} =  – x – {1 over x} + sqrt 2)

(  Rightarrow M{F_1} – M{F_2} =  – 2sqrt 2 )

Vậy (|M{F_1} – M{F_2}| = 2sqrt 2 .)

The post Chương III: Bài 6: Đường Hypepol appeared first on Học giải.

Goc hoc tap