Chương IV: Bài 3: Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn

Bài 25. Giải các bất phương trình

a) ({{x + 2} over 3} – x + 1 > x + 3)

b) ({{3x + 5} over 2} – 1 le {{x + 2} over 3} + x)

c) ((1 – sqrt 2 )x < 3 – 2sqrt 2 )

d) ({(x + sqrt 3 )^2} ge {(x – sqrt 3 )^2} + 2)

Giải

a) Ta có:

(eqalign{
& {{x + 2} over 3} – x + 1 > x + 3cr& Leftrightarrow x + 2 – 3x + 3 > 3x + 9 cr
& Leftrightarrow – 5x < 4 Leftrightarrow x < – {4 over 5} cr} )

Vậy  (S = ( – infty ; – {4 over 5}))

b) Ta có:

(eqalign{
& {{3x + 5} over 2} – 1 le {{x + 2} over 3} + x cr&Leftrightarrow 9x + 15 – 6 le 2x + 4 + 6x cr
& Leftrightarrow x le -5 cr} )

Vậy (S = (-∞; -5))

c)

(eqalign{
& (1 – sqrt 2 )x < 3 – 2sqrt 2 Leftrightarrow (1 – sqrt 2 )x < {(1 – sqrt 2 )^2} cr
& Leftrightarrow x > {{{{(1 – sqrt 2 )}^2}} over {1 – sqrt 2 }} = 1 – sqrt 2 ,,(do;1 – sqrt 2 < 0) cr} )

Vậy (S = (1 – sqrt 2 ; + infty ))

d)

(eqalign{
& {(x + sqrt 3 )^2} ge {(x – sqrt 3 )^2} + 2 cr
& Leftrightarrow {(x + sqrt 3 )^2} – {(x – sqrt 3 )^2} ge 2 cr
& Leftrightarrow 4sqrt 3 x ge 2 Leftrightarrow x ge {1 over {2sqrt 3 }} cr} )

Vậy (S = {rm{[}}{1 over {2sqrt 3 }};, + infty ))

———————————————————-

Bài 26. Giải và biện luận các bất phương trình

a) (m(x – m) ≤ x – 1) ;

b) (mx + 6 > 2x + 3m)

c) ((x + 1)k + x < 3x + 4)

d) ((a + 1)x + a + 3 ≥ 4x + 1)

Giải

a) (m(x – m) ≤ x – 1 ⇔ (m – 1)x ≤ m^2– 1)

+ Nếu (m > 1) thì (x ≤ m + 1;  S = (-∞, m + 1])

+ Nếu (m < 1) thì (x ≥ m + 1; S = [m + 1; +∞))

+ Nếu (m = 1) thì (S = R)

b) (mx + 6 > 2x + 3m ⇔ (m – 2)x > 3(m – 2))

+ Nếu (m > 2) thì (S = (3, +∞))

+ Nếu (m < 2) thì (S = (-∞, 3))

+ Nếu (m = 2) thì (S = Ø)

c) ((x + 1)k + x < 3x + 4 ⇔(k – 2)x < 4 – k)

+ Nếu (k > 2) thì (S = ( – infty ,{{4 – k} over {k – 2}}))

+ Nếu (k < 2) thì (S = ({{4 – k} over {k – 2}}, + infty ))

+ Nếu (k = 2) thì (S = R)

d) ((a + 1)x + a + 3 ≥ 4x + 1 ⇔ (a – 3)x ≥ – a – 2)

+ Nếu (a > 3) thì (S = {rm{[}}{{a + 2} over {3 – a}}; + infty ))

+ Nếu (a < 3) thì (S = {( – }infty {rm{;}}{{a + 2} over {3 – a}}])

+ Nếu (a = 3) thì (S  = R)

———————————————————

Bài 27. Giải các hệ bất phương trình

a)

(left{ matrix{
5x – 2 > 4x + 5 hfill cr
5x – 4 < x + 2 hfill cr} right.)

b)

(left{ matrix{
2x + 1 > 3x + 4 hfill cr
5x + 3 ge 8x – 9 hfill cr} right.)

Giải

a)

(left{ matrix{
5x – 2 > 4x + 5 hfill cr
5x – 4 < x + 2 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
x > 7 hfill cr
4x < 6 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
x > 7 hfill cr
x < {3 over 2} hfill cr} right.)

(vô nghiệm)

Vậy (S = Ø)

b)

(left{ matrix{
2x + 1 > 3x + 4 hfill cr
5x + 3 ge 8x – 9 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
x < – 3 hfill cr
3x le 12 hfill cr} right. Leftrightarrow x < – 3)

Vậy (S = (-∞, -3))

——————————————————

Bài 28. Giải và biện luận các bất phương trình sau:

a) (m(x – m) > 2(4 – x));

b) (3x + m^2≥ m(x + 3));

c) (k(x – 1) + 4x ≥ 5);

d) (b(x – 1) ≤ 2 – x)

Giải

a) Ta có:

(m(x – m) > 2(4 – x) ⇔ (m + 2)x > m^2+ 8)

+ Nếu (m > – 2) thì (S = left( {{{{m^2} + 8} over {m + 2}}; + infty } right))

+ Nếu (m < -2) thì (S = left( { – infty ;{{{m^2} + 8} over {m + 2}}} right))

+ Nếu (m = 2)  thì (0x > 12 ; S = Ø)

b) Ta có:

(3x +m^2≥ m(x + 3) ⇔ (m – 3)x ≤ m^2– 3m)

+ Nếu (m > 3) thì (S = (-∞, m])

+ Nếu (m < 3) thì (S = [m, +∞))

+ Nếu (m = 3) thì (S =mathbb R)

c) (k(x – 1) + 4x ≥ 5 ⇔ (k + 4)x ≥ k + 5)

+ Nếu (k > -4) thì (S = left[ {{{k + 5} over {k + 4}}; + infty } right))

+ Nếu (k < -4) thì (S = left( { – infty ;{{k + 5} over {k + 4}}} right])

+ Nếu (k = -4) thì (0x ≥ 1), do đó (S = Ø)

d) (b(x – 1) ≤ 2 – x ⇔ (b + 1)x ≤ b + 2)

+ Nếu (b > -1) thì (S = left( { – infty ;{{b + 2} over {b + 1}}} right])

+ Nếu (b < -2) thì (S = left[ {{{b + 2} over {b + 1}}; + infty } right))

+ Nếu (b = -1) thì (S =mathbb R)

——————————————————–

Bài 29. Giải các hệ bất phương trình

a)

(left{ matrix{
{{5x + 2} over 3} ge 4 – x hfill cr
{{6 – 5x} over {13}} < 3x + 1 hfill cr} right.)

b)

(left{ matrix{
{(1 – x)^2} > 5 + 3x + {x^2} hfill cr
{(x + 2)^3} < {x^3} + 6{x^2} – 7x – 5 hfill cr} right.)

c)

(left{ matrix{
{{4x – 5} over 7}< x + 3 hfill cr
{{3x + 8} over 4} > 2x – 5 hfill cr} right.)

d)

(left{ matrix{
x – 1 le 2x – 3 hfill cr
3x < x + 5 hfill cr
{{5 – 3x} over 2} le x – 3 hfill cr} right.)

Giải

a) Ta có:

(eqalign{
& left{ matrix{
{{5x + 2} over 3} ge 4 – x hfill cr
{{6 – 5x} over {13}} < 3x + 1 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
5x + 2 ge 12 – 3x hfill cr
6 – 5x < 39x + 13 hfill cr} right. cr
& Leftrightarrow left{ matrix{
8x ge 10 hfill cr
44x > – 7 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
x ge {5 over 4} hfill cr
x > – {7 over {44}} hfill cr} right. Leftrightarrow x ge {5 over 4} cr} )

Vậy (S = {rm{[}}{5 over 4}; + infty ))

b) Ta có:

(eqalign{
& left{ matrix{
{(1 – x)^2} > 5 + 3x + {x^2} hfill cr
{(x + 2)^3} < {x^3} + 6{x^2} – 7x – 5 hfill cr} right. cr&Leftrightarrow left{ matrix{
1 – 2x + {x^2} > 5 + 3x + {x^2} hfill cr
{x^3} + 6{x^2} + 12x + 8 < {x^3} + 6{x^2} – 7x – 5 hfill cr} right. cr
& Leftrightarrow left{ matrix{
5x < – 4 hfill cr
19x < – 13 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
x < – {4 over 5} hfill cr
x < – {{13} over {19}} hfill cr} right. Leftrightarrow x < – {4 over 5} cr} )

Vậy (S = ( – infty ; – {4 over 5}))

c) Ta có:

(eqalign{
& left{ matrix{
{{4x – 5} over 7} < x + 3 hfill cr
{{3x + 8} over 4} > 2x – 5 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
4x – 5 < 7x + 21 hfill cr
3x + 8 > 8x – 20 hfill cr} right. cr&Leftrightarrow left{ matrix{
3x > – 26 hfill cr
5x < 28 hfill cr} right. cr
& Leftrightarrow left{ matrix{
x > – {{26} over 3} hfill cr
x < {{28} over 5} hfill cr} right. Leftrightarrow – {{26} over 3} < x < {{28} over 5} cr} )

Vậy (S = ( – {{26} over 3};{{28} over 5}))

d) Ta có:

(left{ matrix{
x – 1 le 2x – 3 hfill cr
3x < x + 5 hfill cr
{{5 – 3x} over 2} le x – 3 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
x ge 2 hfill cr
2x < 5 hfill cr
5 – 3x le 2x – 6 hfill cr} right. )

(Leftrightarrow left{ matrix{
x ge 2 hfill cr
x < {5 over 2} hfill cr
5x ge 11 hfill cr} right.Leftrightarrow {{11} over 5} le x <{5 over 2})

Vậy (S = {rm{[}}{{11} over 5};{5 over 2}))

————————————————————

Bài 30. Tìm các giá trị của m để mỗi hệ bất phương trình sau có nghiệm

a)

(left{ matrix{
3x – 2 > – 4x + 5 hfill cr
3x + m + 2 < 0 hfill cr} right.)

b)

(left{ matrix{
x – 2 le 0 hfill cr
m + x > 1 hfill cr} right.)

Giải

a) Ta có:

(left{ matrix{
3x – 2 > – 4x + 5 hfill cr
3x + m + 2 < 0 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
x > 1 hfill cr
x < – {{m + 2} over 3} hfill cr} right.)

Hệ bất phương trình  có nghiệm khi và chỉ khi:

( – {{m + 2} over 3} > 1 Leftrightarrow m + 2 <  – 3 Leftrightarrow m <  – 5)

Khi đó tập nghiệm (S = (1, – {{m + 2} over 3}))

b) Ta có:

(left{ matrix{
x – 2 le 0 hfill cr
m + x > 1 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
x le 2 hfill cr
x > 1 – m hfill cr} right.)

Hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi (1- m < 2 ⇔ m > -1)

Khi đó, tập nghiệm (S = (1 – m; 2])

————————————————————

Bài 31. Tìm các giá trị của m để mỗi hệ bất phương trình sau vô nghiệm

a)

(left{ matrix{
2x + 7 < 8x – 1 hfill cr
– 2x + m + 5 ge 0 hfill cr} right.)

b)

(left{ matrix{
{(x – 3)^2} ge {x^2} + 7x + 1 hfill cr
2m – 5x le 8 hfill cr} right.)

Giải

a) Ta có:

(left{ matrix{
2x + 7 < 8x – 1 hfill cr
– 2x + m + 5 ge 0 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
x > {4 over 3} hfill cr
x le {{m + 5} over 2} hfill cr} right.)

Hệ bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi:

(eqalign{
& {{m + 5} over 2} le {4 over 3} cr
& Leftrightarrow 3m + 15 le 8 Leftrightarrow 3m le – 7 Leftrightarrow m le – {7 over 3} cr} )

b) Ta có:

(eqalign{
& left{ matrix{
{(x – 3)^2} ge {x^2} + 7x + 1 hfill cr
2m – 5x le 8 hfill cr} right.cr& Leftrightarrow left{ matrix{
{x^2} – 6x + 9 ge {x^2} + 7x + 1 hfill cr
5x ge 2m – 8 hfill cr} right. cr
& Leftrightarrow left{ matrix{
x le {8 over {13}} hfill cr
x ge {{2m – 8} over 5} hfill cr} right. cr} )

Hệ bất phương trình vô nghiệm:

(eqalign{
& Leftrightarrow {{2m – 8} over 5} > {8 over {13}} Leftrightarrow 26m – 104 > 40cr& Leftrightarrow 26m > 144 cr
& Leftrightarrow m > {{72} over {13}} cr} )

The post Chương IV: Bài 3: Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn appeared first on Học giải.

Goc hoc tap