Chương IV: Bài 4: Dấu của nhị thức bậc nhất

Bài 32. Lập bảng xét dấu của các biểu thức

a) ({{4 – 3x} over {2x + 1}})

b) (1 – {{2 – x} over {3x – 2}})

c) (x{(x – 2)^2}(3 – x))

d) ({{x{{(x – 3)}^2}} over {(x – 5)(1 – x)}})

Giải

a) Ta có bảng xét dấu:

b)

Ta có: (1 – {{2 – x} over {3x – 2}} = {{4x – 4} over {3x – 2}})

Ta có bảng xét dấu:

c) Ta có bảng xét dấu sau:

d) Ta có bảng xét dấu sau:

 

—————————————————-

Bài 33. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bậc nhất rồi xét dấu:

a) (–x^2+ x + 6)

b) (2{x^2} – (2 + sqrt 3 )x + sqrt 3 )

Giải

a) Phương trình (–x^2+ x + 6 = 0) có hai nghiệm : x1 = -2 và x2 = 3

Nên (–x^2 + x + 6= -(x + 2)(x – 3) = (-x-2)(x-3))

Ta có bảng xét dấu:

b) Phương trình (2{x^2} – (2 + sqrt 3 )x + sqrt 3 ) = 0 có hai nghiệm là x1 = 1 và ({x_2} = {{sqrt 3 } over 2})

Do đó:

(2{x^2} – (2 + sqrt 3 )x + sqrt 3  = 2(x – 1)(x – {{sqrt 3 } over 2}) )

(= (x – 1)(2x – sqrt 3 ))

Ta có bảng xét dấu sau:

————————————————

Bài 34. Giải các bất phương trình

a) ({{(3 – x)(x – 2)} over {x + 1}} le 0)

b) ({3 over {1 – x}} ge {5 over {2x + 1}})

c) (|2x – sqrt 2 |, + ,|sqrt 2  – x|, > ,3x – 2)

d) (|(sqrt 2  – sqrt 3 )x + 1|, le ,sqrt 3  + sqrt 2 )

Giải

a) Ta có  bảng xét dấu:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình ({{(3 – x)(x – 2)} over {x + 1}} le 0) là:

(S = (-1, 2] ∪ [3, +∞))

b) Ta có:

({3 over {1 – x}} ge {5 over {2x + 1}} Leftrightarrow {{3(2x + 1) – 5(1 – x)} over {(1 – x)(2x + 1)}} ge 0 Leftrightarrow {{11x – 2} over {(1 – x)(2x + 1)}} ge 0)

Bảng xét dấu:

Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: (S = ( – infty ; – {1 over 2}) cup {rm{[}}{2 over {11}},1))

c) Ta có bảng xét dấu:

i) Với (x < {{sqrt 2 } over 2}) , ta có:

(eqalign{
& (1) Leftrightarrow – 2x + sqrt 2 + sqrt 2 – x > 3x – 2 cr&Leftrightarrow 6x < 2sqrt 2 + 2 cr
& Leftrightarrow x < {{sqrt 2 + 1} over 3} cr} )

Vì ({{sqrt 2 } over 2} < {{sqrt 2  + 1} over 3} Rightarrow x < {{sqrt 2 } over 2})

ii) Với ({{sqrt 2 } over 2} le x < sqrt2) , ta có:

((1) Leftrightarrow 2x – sqrt 2  + sqrt 2  – x > 3x – 2 Leftrightarrow x < 1)

Kết hợp điều kiện ta có: ({{sqrt 2 } over 2} le x < 1)

iii) Với (x ge sqrt 2 )

((1) Leftrightarrow 2x – sqrt 2  – sqrt 2  + x > 3x – 2)

(Leftrightarrow  – 2sqrt 2  >  – 2) (vô nghiệm)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: (S = ( – infty ,{{sqrt 2 } over 2}) cup {rm{[}}{{sqrt 2 } over 2},1) = ( – infty ,1))

d) Áp dụng: (|A| ≤ B ⇔ -B ≤ A ≤ B)

Ta có:

(eqalign{
& |(sqrt 2 – sqrt 3 )x + 1|, le ,sqrt 3 + sqrt 2 cr
& Leftrightarrow – sqrt 3 – sqrt 2 le (sqrt 2 – sqrt 3 )x + 1 le sqrt 3 + sqrt 2 cr
& Leftrightarrow – sqrt 3 – sqrt 2 – 1 le (sqrt 2 – sqrt 3 )x le sqrt 3 + sqrt 2 – 1 cr
& Leftrightarrow {{ – sqrt 3 – sqrt 2 – 1} over {sqrt 2 – sqrt 3 }} ge x ge {{sqrt 3 + sqrt 2 – 1} over {sqrt 2 – sqrt 3 }} cr
& Leftrightarrow (sqrt 3 + sqrt 2 + 1)(sqrt 3 + sqrt 2 ) ge x ge cr&;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;(1 – sqrt 3 – sqrt 2 )(sqrt 3 + sqrt 2 ) cr
& Leftrightarrow 5 + 2sqrt 6 + sqrt 3 + sqrt 2 ge x ge cr&;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;- 5 – 2sqrt 6 + sqrt 3 + sqrt 2 cr} )

Vậy (S = {rm{[}} – 5 – 2sqrt 6  + sqrt 3  + sqrt 2 ;,5 + 2sqrt 6  + sqrt 3  + sqrt 2 ))

————————————————-

Bài 35. Giải các hệ bất phương trình

a)

(left{ matrix{
(x – 3)(sqrt 2 – x) > 0 hfill cr
{{4x – 3} over 2} < x + 3 hfill cr} right.)

b)

(left{ matrix{
{2 over {2x – 1}} le {1 over {3 – x}} hfill cr
|x| < 1 hfill cr} right.)

Giải

a) Ta có bảng xét dấu:

Ta có:

(eqalign{
& (x – 3)(sqrt 2 – x) > 0 Leftrightarrow sqrt 2 < x < 3,,(1) cr
& {{4x – 3} over 2} < x + 3 Leftrightarrow 2x < 9 Leftrightarrow x < {9 over 2},,,(2) cr} )

Từ (1) và (2) ta có: (sqrt 2  < x < 3)

Vậy (S = (sqrt 2 ,3))

b) Ta có:

(eqalign{
& {2 over {2x – 1}} le {1 over {3 – x}} Leftrightarrow {2 over {2x – 1}} – {1 over {3 – x}} le 0 cr
& Leftrightarrow {{6 – 2x – 2x + 1} over {(2x – 1)(3 – x)}} le 0 Leftrightarrow {{ – 4x + 7} over {(2x – 1)(3 – x)}} le 0 cr} )

Bảng xét dấu:

Ta có:

({{ – 4x + 7} over {(2x – 1)(3 – x)}} le 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x < {1 over 2} hfill cr
{7 over 4} le x < 3 hfill cr} right.)

Hệ đã cho tương đương với:

(left{ matrix{
left[ matrix{
x < {1 over 2} hfill cr
{7 over 4} le x < 3 hfill cr} right. hfill cr
– 1 < x < 1 hfill cr} right. Leftrightarrow – 1 < x < {1 over 2})

Vậy (S = ( – 1;{1 over 2}))

—————————————————————-

Bài 36. Giải và biện luận các bất phương trình:

a) mx+4 > 2x+m2

b) 2mx+1 ≥ x+4m2

c) x(m2-1) < m4-1

d) 2(m+1)x ≤ (m+1)2(x-1)

Giải

a) Ta có:

mx + 4 > 2x + m2 ⇔ (m – 2)x > m2 – 4

+ Nếu m > 2 thì (S = (m + 2, +∞))

+ Nếu m < 2 thì (S = (-∞; m + 2))

+ Nếu m = 2 thì (S = Ø)

b) Ta có:

(2mx+1 ≥ x+4m^2⇔ (2m – 1)x ≥ 4m^2– 1)

+ Nếu (m > {1 over 2}) thì (S = [2m +1; +∞))

+ Nếu (m < {1 over 2}) thì (S = (-∞; 2m + 1])

+ Nếu (m = {1 over 2}) thì (S =mathbb R)

c) x(m2-1) < m4-1

+ Nếu m2 – 1 > 0 ⇔ m < -1 hoặc m > 1 thì (S = (-∞, m^2+ 1))

+ Nếu m2 – 1 < 0 ⇔ -1 < m < 1 thì (S = (m^2+1, +∞))

+ Nếu (m = ±1) thì (S = Ø)

d) (2left( {m + 1} right)x{rm{ }} le {rm{ }}{left( {m + 1} right)^2}left( {x – 1} right){rm{ }} )

(Leftrightarrow {rm{ }}({m^2}-{rm{ }}1)x{rm{ }} ge {rm{ }}{left( {m{rm{ }} + {rm{ }}1} right)^2})

+ Nếu m2 – 1 > 0 ⇔ m < -1 hoặc m > 1 thì (S = {rm{[}}{{m + 1} over {m – 1}}; + infty ))

+ Nếu m2 -1 < 0 ⇔ -1 < m < 1 thì (S = ( – infty ;{{m + 1} over {m – 1}}{rm{]}})

+ Nếu (m = -1) thì (S =mathbb R)

+ Nếu (m = 1) thì (0x ≥ 4; S = Ø)

—————————————————

Bài 37. Giải các bất phương trình sau:

a) (( – sqrt 3 x + 2)(x + 1)(4x – 5) > 0)

b) ({{3 – 2x} over {(3x – 1)(x – 4)}} < 0)

c) ({{ – 3x + 1} over {2x + 1}} le  – 2)

d) ({{x + 2} over {3x + 1}} le {{x – 2} over {2x – 1}})

Giải

a) Ta có bảng xét dấu:

Vậy (S = ( – infty , – 1) cup ({2 over {sqrt 3 }};{5 over 4}))

b) Ta có bảng xét dấu:

Vậy (S = ({1 over 3};{3 over 2}) cup (4, + infty ))

c) Ta có:

(eqalign{
& {{ – 3x + 1} over {2x + 1}} le – 2 Leftrightarrow {{ – 3x + 1 + 2(2x + 1)} over {2x + 1}} le 0 cr
& Leftrightarrow {{x + 3} over {2x + 1}} le 0 Leftrightarrow – 3 le x < – {1 over 2} cr} )

Vậy (S = {rm{[ – 3,}}-{1 over 2}))

d) Ta có:

(eqalign{
& {{x + 2} over {3x + 1}} le {{x – 2} over {2x – 1}} cr&Leftrightarrow {{(x + 2)(2x – 1) – (x – 2)(3x + 1)} over {(3x + 1)(2x – 1)}} le 0 cr
& Leftrightarrow {{ – {x^2} + 8x} over {(3x + 1)(2x – 1)}} le 0cr& Leftrightarrow {{x(x – 8)} over {(3x + 1)(2x – 1)}} ge 0 cr} )

Lập bảng xét dấu vế trái

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:(S = ( – infty ; – {1 over 3}) cup {rm{[}}0,{1 over 2}) cup {rm{[}}8, + infty ))

———————————————————–

Bài 38. Giải và biện luận các bất phương trình

a) ((2x – sqrt 2 )(x – m) > 0)

b) ({{sqrt 3  – x} over {x – 2m + 1}} le 0)

Giải

Ta có:

(eqalign{
& (2x – sqrt 2 ) = 0 Leftrightarrow x = {{sqrt 2 } over 2} cr
& x – m = 0 Leftrightarrow x = m cr} )

i) Với (x < {{sqrt 2 } over 2}) , ta có bảng xét dấu:

 

Vậy (S = ( – infty ;m) cup ({{sqrt 2 } over 2}, + infty ))

ii) Với (m = {{sqrt 2 } over 2}) thì bất phương trình trở thành:

(eqalign{
& (2x – sqrt 2 )(x – {{sqrt 2 } over 2}) > 0 Leftrightarrow {(2x – sqrt 2 )^2} > 0 cr
& Leftrightarrow x ne {{sqrt 2 } over 2} cr
& S = Rbackslash {rm{{ }}{{sqrt 2 } over 2}{rm{} }} cr} )

iii) Với (m > {{sqrt 2 } over 2}) , ta có bảng xét dấu:

(S = ( – infty ;{{sqrt 2 } over 2}) cup (m; + infty ))

 

b) Ta có:

(eqalign{
& sqrt 3 – x = 0 Leftrightarrow x = sqrt 3 cr
& x – 2m + 1 = 0 Leftrightarrow x = 2m – 1 cr} )

i) Nếu (2m – 1 < sqrt 3  Leftrightarrow m < {{sqrt 3  + 1} over 2}) , ta có bảng sau:

(S = left( { – infty ;2m – 1} right) cup left[ {sqrt 3 ; + infty } right))

ii) Nếu (2m – 1 = sqrt 3  Leftrightarrow m = {{sqrt 3  + 1} over 2}) thì dễ thấy tập nghiệm là:

(S = ( – infty ,sqrt 3 ) cup (sqrt 3 , + infty ))

iii) Nếu (2m – 1 > sqrt 3  Leftrightarrow m > {{sqrt 3  + 1} over 2}) thì ta có bảng sau:

Vậy tập nghiệm là (S = ( – infty ,sqrt 3 ) cup (2m – 1; + infty ))

————————————————————-

Bài 39. Tìm nghiệm nguyên của mỗi hệ bất phương trình sau:

a)

(left{ matrix{
6x + {5 over 7} > 4x + 7 hfill cr
{{8x + 3} over 2} < 2x + 25 hfill cr} right.)

b)

(left{ matrix{
15 – 2 > 2x + {1 over 3} hfill cr
2(x – 4) < {{3x – 14} over 2} hfill cr} right.)

Giải

a) Ta có:

(left{ matrix{
6x + {5 over 7} > 4x + 7 hfill cr
{{8x + 3} over 2} < 2x + 25 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
42x + 5 < 28x + 49 hfill cr
8x + 3 < 4x + 50 hfill cr} right. )

(Leftrightarrow left{ matrix{
14x > 44 hfill cr
4x < 47 hfill cr} right. Leftrightarrow {{44} over {14}} < x < {{47} over 4})

Vì x ∈ Z nên x ∈ {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

Vậy tập nghiệm của hệ là : {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

b) Ta có:

(left{ matrix{
15 – 2 >2x + {1 over 3} hfill cr
2(x – 4) < {{3x – 14} over 2} hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
45x – 6 > 6x + 1 hfill cr
4x – 16 < 3x – 14 hfill cr} right.)

(Leftrightarrow left{ matrix{
39x > 7 hfill cr
x < 2 hfill cr} right. Leftrightarrow {7 over {39}} < x < 2)

Vì x ∈ Z nên x = 1

Vậy tập nghiệm của hệ là {1}

————————————————————–

Bài 40. Giải bất phương trình và bất phương trình

a) |x + 1| + |x – 1| = 4

b) ({{|2x – 1|} over {(x + 1)(x – 2)}} > {1 over 2})

Giải

a) Ta có bảng xét dấu:

i) Với (x < -1), ta có (1) (⇔ – x – 1 – x + 1 = 4 ⇔ x = -2) (nhận)

ii) Với (-1 ≤ x ≤  1), ta có: (1) (⇔ x + 1 – x + 1 = 4 ⇔ 2 = 4) (vô nghiệm)

iii) Với (x > 1), ta có (1) (⇔ x + 1 + x – 1 = 4 ⇔ x = 2) (nhận)

Vậy S = {-2, 2}

b) Ta có:

i) Nếu (x le {1 over 2}) thì bất phương trình trở thành: ({{ – 2x + 1} over {(x + 1)(x – 2)}} > {1 over 2})

Ta có:

(eqalign{
& {{ – 2x + 1} over {(x + 1)(x – 2)}} > {1 over 2}cr& Leftrightarrow {{2( – 2x + 1) – (x + 1)(x – 2)} over {2(x + 1)(x – 2)}} > 0 cr
& Leftrightarrow {{ – {x^2} – 3x + 4} over {2(x + 1)(x – 2)}} > 0 Leftrightarrow {{(x – 1)(x + 4)} over {2(x + 1)(x – 2)}} < 0 cr} )

Lập bảng xét dấu:

Trường hợp này ta có: (-4 < x < -1)

ii) Nếu (x > {1 over 2}) thì bất phương trình đã cho trở thành: ({{2x – 1} over {(x + 1)(x – 2)}} > {1 over 2})

Ta có:

(eqalign{
& {{2x – 1} over {(x + 1)(x – 2)}} > {1 over 2} cr&Leftrightarrow {{2(2x – 1) – (x + 1)(x – 2)} over {2(x + 1)(x – 2)}} > 0 cr
& Leftrightarrow {{x(x – 5)} over {2(x + 1)(x – 2)}} < 0 cr} )

Lập bảng xét dấu trên nửa khoảng (({1 over 2}, + infty ))

Trong trường hợp này ta có: (2 < x < 5)

Vậy (S = (-4, -1)  ∪ (2, 5))

————————————————————

Bài 41. Giải và biện luận các hệ bất phương trình

a)

(left{ matrix{
(x – sqrt 5 )(sqrt 7 – 2x) > 0 hfill cr
x – m le 0 hfill cr} right.)

b)

(left{ matrix{
{2 over {x – 1}} < {5 over {2x – 1}} hfill cr
x – m ge 0 hfill cr} right.)

Giải

a) Ta có bảng xét dấu:

Vậy ((x – sqrt 5 )(sqrt 7  – 2x) > 0 Leftrightarrow {{sqrt 7 } over 2} < x < sqrt 5 )

Ta có: ({S_1} = ({{sqrt 7 } over 2};sqrt 5 ))

Bất phương trình thứ hai có nghiệm (x ≤ m).

Ta có: ({S_2} = (-∞; m]),

Do đó:

+ Nếu (m le {{sqrt 7 } over 2}) thì tập nghiệm là S = S1 ∩ S2 = Ø

+ Nếu ({{sqrt 7 } over 2} le m < sqrt 5 ) thì tập nghiệm là (S = {S_1} cap {S_2} = ({{sqrt 7 } over 2},m))

+ Nếu (m ge sqrt 5 ) thì tập nghiệm là (S = {S_1} cap {S_2} = ({{sqrt 7 } over 2}sqrt 5 ))

b) Ta có:

({2 over {x – 1}} < {5 over {2x – 1}} Leftrightarrow {{2(2x – 1) – 5(x – 1)} over {(x – 1)(2x – 1)}} < 0 Leftrightarrow {{x – 3} over {(x – 1)(2x – 1)}} > 0)

Bằng cách lập bảng xét dấu vế trái, ta có:

({2 over {x – 1}} < {5 over {2x – 1}} Leftrightarrow left[ matrix{
{1 over 2} < x < 1 hfill cr
x > 3 hfill cr} right.)

Ta có: ({S_1} = ({1 over 2};1) cup (3, + infty ))

Tập nghiệm của bất phương trình thứ hai là: S2 = [m, +∞ )

Do đó:

+ Nếu (m le {1 over 2}) thì tập nghiệm là  ({S_1} = ({1 over 2};1) cup (3, + infty ))

+ Nếu ({1 over 2} < m < 1) thì tập nghiệm là (S = {rm{[m, 1)}} cup {rm{(3, + }}infty {rm{)}})

+ Nếu (1≤ m ≤ 3) thì tập nghiệm là (S = (3, +∞ ))

+ Nếu (m > 3) thì tập nghiệm là (S = [m; +∞ ))

The post Chương IV: Bài 4: Dấu của nhị thức bậc nhất appeared first on Học giải.

Goc hoc tap