Chương IV: Bài 5: Phương trình và hệ bất phương trình hai ẩn

Bài 42. Xác định miền nghiệm của mỗi bất phương trình hai ẩn

a) (x – 2 + 2(y – 1) > 2x + 4)

b) (2x – sqrt 2 y + sqrt 2  – 2 le 0)

Giải

a) Ta có:

(x – 2 + 2(y – 1) > 2x + 4 ⇔ -x + 2y – 8 > 0)

Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng (không kể bờ là đường thẳng (-x + 2y – 8 = 0)) không chứa gốc tọa độ O.

b) (2x – sqrt 2 y + sqrt 2  – 2 le 0)

Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng (kể cả bờ đường thẳng (2x – sqrt 2 y + sqrt 2  – 2 le 0) ) chứa gốc tọa độ O.

————————————————————

Bài 43. Xác định tập nghiệm của mỗi hệ bất phương trình hai ẩn

a)

(left{ matrix{
{x over 2} + {y over 3} – 1 > 0 hfill cr
2(x – 1) + {y over 2} < 4 hfill cr} right.)

b)

(left{ matrix{
4x – 5y + 20 > 0 hfill cr
y > 0 hfill cr
– y + 5 > {{x – 3} over 3} hfill cr} right.)

Giải

a) Hệ đã cho tương đương với hệ:

(left{ matrix{
3x + 2y – 6 > 0 hfill cr
4x + y – 12 < 0 hfill cr} right.)

Miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch chéo (không kể biên) như hình vẽ:

b) Hệ đã cho tương đương với hệ:

(left{ matrix{
4x – 5y + 20 > 0 hfill cr
y > 0 hfill cr
x + 3y – 18 < 0 hfill cr} right.)

Miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch (không kể biên) trên hình.

—————————————————————-

Bài 44. Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kilôgam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilogam thịt lợn (heo) chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng khi gia đình này chỉ mua nhiều nhất là 1,6 kg thịt bò, 1,1 kg thịt lợn, giá tiền 1 kg thịt bò là 45000đ, 1kg thịt lợn lầ 35000đ. Giả sử gia đình mua x kg thịt bò và y kg thịt lợn.

a) Viết các phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm (S) của hệ đó.

b) Gọi T (nghìn đồng) là số tiền phải trả cho x (kilogam) thịt bò và y (kilogam) thịt lợn. Hãy biểu diễn T theo x, y

c) Ở câu a) ta thấy (S) là một miền đa giác. Biết rằng T có giá trị nhỏ nhất tại ((x_0;y_0)) với ((x_0;y_0)) là tọa độ của một trong các đỉnh của (S). Hỏi gia đình đó phải mua bao nhiêu kilogam thịt mỗi loại để chi phí ít nhất.

Giải

a) Giả sử gia đình đó mua x (kg) thịt bò và y (kg) thịt lợn,

Theo giả thiết, x và y cần thỏa mãn điều kiện: (0 ≤ x ≤ 1,6; 0 ≤ y ≤ 1,1)

Khi đó, số đơn vị protein có được là: (800x + 600y) và số đơn vị lipit có được là (200x + 400y),

Vì gia đình đó cần ít nhất 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày nên điều kiện tương ứng là:

(800x  + 600 y ≥ 900) và (200x + 400 y ≥ 400)

Hay gọn hơn ta có:

(4x + 3y ≥ 4,5) và (x + 2y ≥ 2)

Vậy các điều kiện mà x và y thỏa mãn là:

((I) Leftrightarrow left{ matrix{
0 le x le 1,6 hfill cr
0 le y le 1,1 hfill cr
4x + 3y ge 4,5 hfill cr
x + 2y ge 2 hfill cr} right.)

Miền nghiệm của hệ trên miền tứ giác ABCD (kể cả biên) trên hình.

b) Chi phí để mua x (kg) thịt bò và y (kg) thịt kợn là:

(T = 45x + 35y) (nghìn đồng)

c) Ta cần tìm (x, y) sao cho T nhỏ nhất

Ta biết T đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác ABCD.

Tại (A(0,6; 0,7)) ta có: (T = 45.0,6 + 35.0,7 = 51,5) (nghìn đồng)

Tại (B(1,6; 0,2)) ta có: (T = 45.1,6 + 35.02 = 79) (nghìn đồng)

Tại (C(1,6; 1,1)) ta có: (T = 4,5.1,6 + 35.1,1 = 110,5) (nghìn đồng)

Tại (D(0,3; 1,1)) ta có: (T = 45.0,3 + 35.11 = 52) (nghìn đồng)

Vậy khi (x = 0,6) và (y = 0,7) thì T đạt giá trị nhỏ nhất

Trả lời: gia đình đó mua 0,6kg thịt bò và 0,7kg thịt lợn thì chi phí ít nhất.

Cụ thể, chi phí là 51,5 nghìn đồng.

—————————————————–

Bài 45. Xác định miền nghiệm của các hệ bất phương trình hai ẩn

a) (x+ 3+ 2(2y + 5) < 2(1 – x))

b) ((1 + sqrt 3 )x – (1 – sqrt 3 )y ge 2)

Giải

a) Ta có:

(x + 3+ 2(2y + 5) < 2(1 – x))

(⇔ 3x + 4y + 11 < 0)

b) Ta có:

(eqalign{
& (1 + sqrt 3 )x – (1 – sqrt 3 )y ge 2 cr
& Leftrightarrow (1 + sqrt 3 )x – (1 – sqrt 3 )y – 2 ge 0 cr} )

——————————————————–

Bài 46. Xác định miền nghiệm của các hệ bất phương trình hai ẩn

a)

(left{ matrix{
x – y > 0 hfill cr
x – 3y le – 3 hfill cr
x + y > 5 hfill cr} right.)

b)

(left{ matrix{
3x – 2y – 6 ge 0 hfill cr
2(x – 1) + {{3y} over 2} le 4 hfill cr
x ge 0 hfill cr} right.)

Giải

a) Ta có:

(left{ matrix{
x – y > 0 hfill cr
x – 3y le – 3 hfill cr
x + y > 5 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
x – y > 0 hfill cr
x – 3y + 3 le 0 hfill cr
x + y – 5 > 0 hfill cr} right.)

b) Ta có:

(left{ matrix{
3x – 2y – 6 ge 0 hfill cr
2(x – 1) + {{3y} over 2} le 4 hfill cr
x ge 0 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
3x – 2y – 6 ge 0 hfill cr
4x + 3y – 12 le 0 hfill cr
x ge 0 hfill cr} right.)

Lần lượt vẽ các đường thẳng:

(3x + 2y – 6 = 0)

(4x + 3y – 12 = 0)

(x = 0)

—————————————————————

Bài 47. Gọi (S) là tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ có tọa độ thỏa mãn hệ:

(left{ matrix{
2x – y ge 2 hfill cr
x – 2y le 2 hfill cr
x + y le 5 hfill cr
x ge 0 hfill cr} right.)

a) Hãy xác định (S) để thấy rằng đó là một tam giác.

b) Trong (S) hãy tìm điểm có tọa độ ((x; y)) làm cho biểu thức (f(x;y)=y-x) có giá trị nhỏ nhất, biết rằng (f(x;y)) có giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của (S).

Giải

a) Lần lượt dựng các đường thẳng:

(-2x + y = -2;  x – 2y = 2; x + y = 5) và (x = 0)

Và dựa vào đó để tìm tập nghiệm S của hệ bất phương trình

Tập nghiệm S được biểu diễn bằng miền trong của tam giác ABC với:

(A({2 over 3};, – {2 over 3});,,B({7 over 3};,{8 over 3});,C(4,,1))

b) Tại (A({2 over 3};, – {2 over 3}) Rightarrow F =  – {4 over 3})

Tại (B({7 over 3};,{8 over 3}) Rightarrow F = {1 over 3})

Tại (C(4; 1)) thì (F = -3)

Vậy F đạt giá trị nhỏ nhất tại (C(4, 1))

————————————————————-

Bài 48.

Bài toán vitamin.

Một nhà khoa học nghiên cứ về tác động phối hợp của vitamin A và vitamin B đối với cơ thể con người. kết quả như sau:

i) Một người có thể tiếp nhận được mỗi ngày không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B.

ii) Một người mỗi ngày cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin cả A lẫn B.

iii) Do tác động phối hợp của hai loại vitamin A nhưng không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin A.

Giả sử x và y lần lượt là số đơn vị vitamin A và B mà bạn dùng mỗi ngày

a) Gọi c là số tiền vitamin mà bạn phải trả (tính bằng đồng). hãy viết phương trình biểu diễn C dưới dạng một biểu thức của x và y, nếu giá một đơn vị vitamin A là 9 đồng và giá một đơn vị vitamin B là 7,5 đồng.

b) Viết các phương trình biểu thị i), ii) và iii) , lập thành một hệ bất phương trình rồi biểu diễn miền nghiệm của một hệ bất phương trình đó.

c) Cũng trên mặt phẳng tọa độ ấy, hãy vẽ đường biểu diễn số tiền phải trả c, nếu c =9000, c = 4500; c = 2250

Hãy dùng bút màu để phân biệt các đường đó

d) Tìm phương tán dùng hai loại virtamin A và B thỏa mãn các điều kiện trên để số tiền phải trả là ít nhất.

Giải

a) (c = 9x + 7,5y)

b) Hệ phương trình nhận được là:

(left{ matrix{
0 le x le 600 hfill cr
0 le y le 500 hfill cr
400 le x + y le 1000 hfill cr
{1 over 2}x le y le 3x hfill cr} right.)

Miền nghiệm trên là miền đa giác MNPQRS (kể cả biên trên hình)

c) Số tiền đạt giá trị nhỏ nhất tại (M(100, 300)) nên phương án tốt nhất là dùng 100 đơn vị vitamin A và 300 đơn vị vitamin B mỗi ngày.

Chi phí mỗi ngày là 3150 đồng.

The post Chương IV: Bài 5: Phương trình và hệ bất phương trình hai ẩn appeared first on Học giải.

Goc hoc tap