Chương IV: Bài 6: Dấu của tam thức bậc hai

Bài 49. Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a) 3x– 2x + 1

b) -x+ 4x – 1

c) ({x^2} – sqrt 3 x + {3 over 4})

d) ((1 – sqrt 2 ){x^2} – 2x + 1 + sqrt 2 )

Giải

a) Ta có:

a = 3 > 0

Δ’ = 1 – 3 = -2 < 0

⇒ 3x2 – 2x + 1 > 0 ∀x  ∈ R

b) Ta có:

a = -1 < 0

Δ’ = 4 – 1 = 3 > 0

Tam thức -x+ 4x – 1 có hai nghiệm phân biệt (x = 2 pm sqrt 3 )

c) Ta có:

a = 1 > 0

Δ = 3 – 3 = 0

({x^2} – sqrt 3 x + {3 over 4}) có nghiệm kép  (x = {{sqrt 3 } over 2})

( Rightarrow {x^2} – sqrt 3 x + {3 over 4} > 0;,forall x ne {{sqrt 3 } over 2})

d) Ta có:

(eqalign{
& a = 1 – sqrt 2 < 0 cr
& (1 – sqrt 2 ){x^2} – 2x + 1 + sqrt 2 = 0 cr&Leftrightarrow left[ matrix{
x = 1 hfill cr
x = – 3 – 2sqrt 2 hfill cr} right. cr} )

Bảng xét dấu:

——————————————————–

Bài 50. Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn dương:

a) (m2+2)x– 2(m+1)x + 1

b) (m+2)x+ 2(m+2)x + m + 3

Giải

a) Vì m2 + 2 > 0 nên (m2+2)x– 2(m+1)x + 1 > 0 ∀x ∈ R

⇔ Δ’ = (m + 1)2 – (m2 + 2) < 0 ⇔ 2m – 1< 0

( Leftrightarrow m < {1 over 2})

Vậy với (m < {1 over 2}) thì (m2+2)x– 2(m+1)x + 1 > 0 ∀ x ∈ R

b) Với (m = -2) thì ta có: (f(x) = 1 >0, ∀x ∈mathbb R)

Với (m ≠ -2) ta có: (f(x) > 0, ∀x ∈ R)

( Leftrightarrow left{ matrix{
a > 0 hfill cr
Delta ‘ < 0 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
m + 2 > 0 hfill cr
{(m + 2)^2} – (m + 2)(m + 3) < 0 hfill cr} right.)

(Leftrightarrow left{ matrix{
m > – 2 hfill cr
– m – 2 < 0 hfill cr} right. Leftrightarrow m > – 2)

Vậy (f(x) > 0, ∀x ∈mathbb R  ⇔ m ≥ -2)

———————————————————————-

Bài 51. Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn âm.

a) ( – {x^2} + 2msqrt 2 x – 2{m^2} – 1)

b) (left( {m – 2} right){rm{ }}{x^2} – {rm{ }}2left( {m – 3} right)x{rm{ }} + {rm{ }}m{rm{ }}-{rm{ }}1)

Giải

a) Vì (a = -1 < 0) nên:

(eqalign{
& – {x^2} + 2msqrt 2 x – 2{m^2} – 1 < 0,forall x in R cr
& Leftrightarrow Delta ‘ = 2{m^2} – (2{m^2} + 1) < 0 cr
& Leftrightarrow – 1 < 0 cr} )

Ta thấy điều suy ra luôn đúng

Vậy với mọi m thì ( – {x^2} + 2msqrt 2 x – 2{m^2} – 1 < 0; ∀x ∈mathbb R )

b) Đặt (f(x) = left( {m – 2} right){rm{ }}{x^2} – {rm{ }}2left( {m – 3} right)x{rm{ }} + {rm{ }}m{rm{ }}-{rm{ }}1)

+ Với (m = 2) thì (f(x) = 2x + 1) không thỏa mãn điều kiện yêu cầu bài toán

+ Với (m ≠ 2) thì: (f(x) < 0, ∀x ∈mathbb R )

(eqalign{
& Leftrightarrow left{ matrix{
a < 0 hfill cr
Delta ‘ < 0 hfill cr} right.cr& Leftrightarrow left{ matrix{
m – 2 < 0 hfill cr
{(m – 3)^2} – (m – 2)(m – 1) < 0 hfill cr} right. cr
& Leftrightarrow left{ matrix{
m < 2 hfill cr
– 3m + 7 < 0 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
m < 2 hfill cr
m > {7 over 3} hfill cr} right. cr} )

Ta không tìm được m thỏa mãn hệ thức trên

Do đó, không có giá trị nào của m để (f(x) < 0; ∀x ∈mathbb R)

————————————————————

Bài 52. Chứng minh định lý về dấu của tam thức bậc 2.

Hướng dẫn: Với các trường hợp Δ < 0 và Δ = 0, sử dụng hệ thức đã biết:

 (f(x) = a{rm{[(x}},{rm{ + }}{b over {2a}}{)^2} – {Delta  over {4{a^2}}}{rm{]}})

Hay (af(x) = {a^2}[{(x + {b over {2a}})^2} – {Delta  over {4{a^2}}}])

Trong trường hợp Δ > 0, sử dụng hệ thức đã biết:

f(x) = a(x – x1)(x – x2) hay af(x) = a2(x – x1)(x – x2)

trong đó, x1 và x2 là hai nghiệm của tam thức bậc hai f(x)

Giải

Ta có: (af(x) = {a^2}[{(x + {b over {2a}})^2} – {Delta  over {4{a^2}}}])

+ Nếu Δ < 0  thì af(x) > 0 với mọi x ∈ R, tức f(x) cùng dấu với a với mọi x ∈ R

+ Nếu Δ = 0 thì (af(x) = {a^2}{(x + {b over {2a}})^{^2}}) khi đó af(x) > 0 với mọi (x ne  – {b over {2a}})

+ Nếu Δ > 0 thì f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 và:

f(x) = a(x – x1)(x – x2)

Do đó: af(x) = a2(x – x1)(x – x2)

Vậy af(x) có cùng dấu với tích (x – x1)(x – x2).

Dấu của tích này được cho trong bảng sau (x1 < x2)

Do đó: af(x) < 0 với mọi x ∈ (x1, x2)

Và af(x) > 0 với mọi x < x1 hoặc x > x2

The post Chương IV: Bài 6: Dấu của tam thức bậc hai appeared first on Học giải.

Goc hoc tap

Bài viết liên quan:

  1. Chuyển động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có các phương trình là x1 = 4cos(10t + π/4) cm; x2 = 3cos(10t + 3π/4) cm. Gia tốc cực đại của vật trong quá trình dao động là
  2. Dao động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, ngược pha, có biên độ lần lượt là ({A_1}) và ({A_2}) . Biên độ dao động của vật bằng
  3. Chỉ ra câu sai . Khi tổng hợp hai dao động cùng phương, cùng tần số nhưng ngược pha nhau thì:
  4. Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, nhưng vuông pha nhau, có biên độ tương ứng là  A1 và  A2. Biết dao động tổng hợp có phương trình  (x = 16cos omega t) (cm) và lệch pha so với dao động thứ nhất một góc ({alpha _1}) . Thay đổi biên độ của hai dao động, trong đó biên độ của dao động thứ hai tăng lên  (sqrt {15} )  lần (nhưng vẫn giữ nguyên pha của hai dao động thành phần) khi đó dao động tổng hợp có biên độ không đổi nhưng lệch pha so với dao động thứ nhất một góc  ({alpha _2}) , với  ({alpha _1} + {alpha _2} = frac{pi }{2}) . Giá trị ban đầu của biên độ A2 là 
  5. Hai chất điểm M, N dao động điều hòa cùng tần số dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song với trục Ox. Vị trí cân bằng của M và N đều nằm trên một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với trục Ox. Trong quá trình dao động, hình chiếu của M và N trên Ox cách xa nhau nhất là  (sqrt 2 )cm. Biên độ dao động tổng hợp của M và N là 2 cm. Gọi AM, AN lần lượt là biên độ của M và N. Giá trị lớn nhất của (AM + AN) gần với giá trị nào nhất sau đây?