Chương IV: Bài 6: Dấu của tam thức bậc hai

Bài 49. Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a) 3x– 2x + 1

b) -x+ 4x – 1

c) ({x^2} – sqrt 3 x + {3 over 4})

d) ((1 – sqrt 2 ){x^2} – 2x + 1 + sqrt 2 )

Giải

a) Ta có:

a = 3 > 0

Δ’ = 1 – 3 = -2 < 0

⇒ 3x2 – 2x + 1 > 0 ∀x  ∈ R

b) Ta có:

a = -1 < 0

Δ’ = 4 – 1 = 3 > 0

Tam thức -x+ 4x – 1 có hai nghiệm phân biệt (x = 2 pm sqrt 3 )

c) Ta có:

a = 1 > 0

Δ = 3 – 3 = 0

({x^2} – sqrt 3 x + {3 over 4}) có nghiệm kép  (x = {{sqrt 3 } over 2})

( Rightarrow {x^2} – sqrt 3 x + {3 over 4} > 0;,forall x ne {{sqrt 3 } over 2})

d) Ta có:

(eqalign{
& a = 1 – sqrt 2 < 0 cr
& (1 – sqrt 2 ){x^2} – 2x + 1 + sqrt 2 = 0 cr&Leftrightarrow left[ matrix{
x = 1 hfill cr
x = – 3 – 2sqrt 2 hfill cr} right. cr} )

Bảng xét dấu:

——————————————————–

Bài 50. Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn dương:

a) (m2+2)x– 2(m+1)x + 1

b) (m+2)x+ 2(m+2)x + m + 3

Giải

a) Vì m2 + 2 > 0 nên (m2+2)x– 2(m+1)x + 1 > 0 ∀x ∈ R

⇔ Δ’ = (m + 1)2 – (m2 + 2) < 0 ⇔ 2m – 1< 0

( Leftrightarrow m < {1 over 2})

Vậy với (m < {1 over 2}) thì (m2+2)x– 2(m+1)x + 1 > 0 ∀ x ∈ R

b) Với (m = -2) thì ta có: (f(x) = 1 >0, ∀x ∈mathbb R)

Với (m ≠ -2) ta có: (f(x) > 0, ∀x ∈ R)

( Leftrightarrow left{ matrix{
a > 0 hfill cr
Delta ‘ < 0 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
m + 2 > 0 hfill cr
{(m + 2)^2} – (m + 2)(m + 3) < 0 hfill cr} right.)

(Leftrightarrow left{ matrix{
m > – 2 hfill cr
– m – 2 < 0 hfill cr} right. Leftrightarrow m > – 2)

Vậy (f(x) > 0, ∀x ∈mathbb R  ⇔ m ≥ -2)

———————————————————————-

Bài 51. Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn âm.

a) ( – {x^2} + 2msqrt 2 x – 2{m^2} – 1)

b) (left( {m – 2} right){rm{ }}{x^2} – {rm{ }}2left( {m – 3} right)x{rm{ }} + {rm{ }}m{rm{ }}-{rm{ }}1)

Giải

a) Vì (a = -1 < 0) nên:

(eqalign{
& – {x^2} + 2msqrt 2 x – 2{m^2} – 1 < 0,forall x in R cr
& Leftrightarrow Delta ‘ = 2{m^2} – (2{m^2} + 1) < 0 cr
& Leftrightarrow – 1 < 0 cr} )

Ta thấy điều suy ra luôn đúng

Vậy với mọi m thì ( – {x^2} + 2msqrt 2 x – 2{m^2} – 1 < 0; ∀x ∈mathbb R )

b) Đặt (f(x) = left( {m – 2} right){rm{ }}{x^2} – {rm{ }}2left( {m – 3} right)x{rm{ }} + {rm{ }}m{rm{ }}-{rm{ }}1)

+ Với (m = 2) thì (f(x) = 2x + 1) không thỏa mãn điều kiện yêu cầu bài toán

+ Với (m ≠ 2) thì: (f(x) < 0, ∀x ∈mathbb R )

(eqalign{
& Leftrightarrow left{ matrix{
a < 0 hfill cr
Delta ‘ < 0 hfill cr} right.cr& Leftrightarrow left{ matrix{
m – 2 < 0 hfill cr
{(m – 3)^2} – (m – 2)(m – 1) < 0 hfill cr} right. cr
& Leftrightarrow left{ matrix{
m < 2 hfill cr
– 3m + 7 < 0 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
m < 2 hfill cr
m > {7 over 3} hfill cr} right. cr} )

Ta không tìm được m thỏa mãn hệ thức trên

Do đó, không có giá trị nào của m để (f(x) < 0; ∀x ∈mathbb R)

————————————————————

Bài 52. Chứng minh định lý về dấu của tam thức bậc 2.

Hướng dẫn: Với các trường hợp Δ < 0 và Δ = 0, sử dụng hệ thức đã biết:

 (f(x) = a{rm{[(x}},{rm{ + }}{b over {2a}}{)^2} – {Delta  over {4{a^2}}}{rm{]}})

Hay (af(x) = {a^2}[{(x + {b over {2a}})^2} – {Delta  over {4{a^2}}}])

Trong trường hợp Δ > 0, sử dụng hệ thức đã biết:

f(x) = a(x – x1)(x – x2) hay af(x) = a2(x – x1)(x – x2)

trong đó, x1 và x2 là hai nghiệm của tam thức bậc hai f(x)

Giải

Ta có: (af(x) = {a^2}[{(x + {b over {2a}})^2} – {Delta  over {4{a^2}}}])

+ Nếu Δ < 0  thì af(x) > 0 với mọi x ∈ R, tức f(x) cùng dấu với a với mọi x ∈ R

+ Nếu Δ = 0 thì (af(x) = {a^2}{(x + {b over {2a}})^{^2}}) khi đó af(x) > 0 với mọi (x ne  – {b over {2a}})

+ Nếu Δ > 0 thì f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 và:

f(x) = a(x – x1)(x – x2)

Do đó: af(x) = a2(x – x1)(x – x2)

Vậy af(x) có cùng dấu với tích (x – x1)(x – x2).

Dấu của tích này được cho trong bảng sau (x1 < x2)

Do đó: af(x) < 0 với mọi x ∈ (x1, x2)

Và af(x) > 0 với mọi x < x1 hoặc x > x2

The post Chương IV: Bài 6: Dấu của tam thức bậc hai appeared first on Học giải.

Goc hoc tap