Đồng biến, nghịch biến của hàm số khác

Đồng biến, nghịch biến của hàm số khác


Các bước xét tính đơn điệu của hàm số

  • Bước 1: Tìm tập xác định
  • Bước 2: Tính đạo hàm (f'(x)=0). Tìm các điểm (x_i) (i= 1 , 2 ,…, n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
  • Bước 3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
  • Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Ví dụ 1. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) của hàm số:

(y=frac{x+1}{x-1})

  • Xét hàm số (y=frac{x+1}{x-1}).
    • TXĐ: (D = mathbb{R}backslash left{ 1 right})
    • (y’ = frac{{ – 2}}{{{{(x – 1)}^2}}} > 0,forall ne 1)
  • Bảng biến thiên:

Đồng biến, nghịch biến của hàm số khác

  • Kết luận: Hàm số nghịch biến trên các khoảng (left( { – infty ;1} right)) và (left( { 1;+ infty } right)).

Ví dụ 2. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) của hàm số:

$y = frac{{x – 2}}{{x – 1}}.$

TXĐ: $D = Rbackslash left{ 1 right}.$
Ta có: $y’ = frac{1}{{{{(x – 1)}^2}}} > 0,forall x in D$, $y’$ không xác định tại ${rm{x}} = {rm{1}}.$
Đồng biến, nghịch biến của hàm số khác
Vậy hàm số $y$ đồng biến trên mỗi khoảng $left( { – infty ;1} right)$ và $left( {1; + infty } right)$ (hay hàm số $y$ đồng  biến trên mỗi khoảng xác định).


Đồng biến, nghịch biến của hàm số khác

Ví dụ 4. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) của hàm số:
a. $y = frac{{{x^2} + 4x + 4}}{{x + 1}}.$
b. $y = frac{{4{x^2} + 5x + 5}}{{x + 1}}.$

a. TXĐ: $D = Rbackslash left{ { – 1} right}.$
Ta có: $y’ = frac{{{x^2} + 2x}}{{{{(x + 1)}^2}}}$ $ Rightarrow y’ = 0 Leftrightarrow x = – 2,x = 0.$
Giới hạn: $mathop {lim }limits_{x to – infty } y = – infty $ và $mathop {lim }limits_{x to + infty } y = + infty $, $mathop {lim }limits_{x to – {1^ – }} y = – infty $ và $mathop {lim }limits_{x to – {1^ + }} y = + infty .$
Bảng biến thiên:

Đồng biến, nghịch biến của hàm số khác

Vậy hàm số $y$ đồng biến trên mỗi khoảng: $( – infty ; – 2)$ và $(0; + infty )$, nghịch biến trên mỗi khoảng: $( – 2; – 1)$ và $( – 1;0)$.

b. TXĐ: $D = Rbackslash left{ { – 1} right}.$
Ta có: $y’ = frac{{4{x^2} + 8x}}{{{{(x + 1)}^2}}}$ $ Rightarrow y’ = 0 Leftrightarrow 4{x^2} + 8x = 0$ $ Leftrightarrow x = 0,x = – 2.$
Giới hạn: $mathop {lim }limits_{x to – infty } y = – infty $ và $mathop {lim }limits_{x to + infty } y = + infty $, $mathop {lim }limits_{x to – {1^ – }} y = – infty $ và $mathop {lim }limits_{x to – {1^ + }} y = + infty .$
Bảng biến thiên:

Đồng biến, nghịch biến của hàm số khác

Vậy hàm số $y$ đồng biến trên mỗi khoảng: $( – infty ; – 2)$ và $(0; + infty )$, nghịch biến trên mỗi khoảng: $( – 2; – 1)$ và $( – 1;0).$

Ví dụ 5. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) của hàm số:
a. $y = left| {{x^2} – 2x – 3} right|.$
b. $y = left| {{x^2} – 4x + 3} right| + 2x + 3.$
a. TXĐ: $D = R.$
Ta có: $y = sqrt {{{({x^2} – 2x – 3)}^2}} $ $ Rightarrow y’ = frac{{2(x – 1)({x^2} – 2x – 3)}}{{sqrt {{{({x^2} – 2x – 3)}^2}} }}.$
$y’ = 0 Leftrightarrow x = 1$, hàm số không có đạo hàm tại $x = – 1, x = 3$ (tham khảo lời giải thích ở ý b).
Bảng xét dấu:

Đồng biến, nghịch biến của hàm số khác

Vậy hàm số $y$ đồng biến trên mỗi khoảng: $( – 1;1)$ và $(3; + infty )$, nghịch biến trên: $( – infty ; – 1)$ và $(1;3).$
Nhận xét:
+ Bài toán xét tính đơn điệu của hàm số được chuyển về bài toán xét dấu của một biểu thức $y’.$
+ Khi tính đạo hàm của hàm số có dạng $y = left| {f(x)} right|$ ta chuyển trị tuyệt đối vào trong căn thức $y = sqrt {{f^2}(x)} $, khi đó tại những điểm mà $f(x) = 0$ thì hàm số không có đạo hàm.
b. TXĐ: $D = R.$
Ta có: $y = {x^2} – 4x + 3 + 4x + 3$ $ = {x^2} + 6$ khi $x le 1 vee x ge 3$ và $y = – {x^2} + 4x – 3 + 4x + 3$ $ = – {x^2} + 8x$ khi $1 le x le 3.$
Khi $x in ( – infty ;1) cup (3; + infty )$ thì: $y’ = 2x Rightarrow y’ = 0$ $ Leftrightarrow x = 0 in ( – infty ;1) cup (3; + infty ).$
Khi $x in (1;3)$ thì: $y’ = – 2x + 8$ $ Rightarrow y’ = 0 Leftrightarrow x = 4 notin (1;3).$
Tại $x = 1$, ta có: $left{ begin{array}{l}
f'({1^ + }) = 6\
f'({1^ – }) = 2
end{array} right.$. Vì $f'({1^ + }) ne f'({1^ – })$ nên $f’(1)$ không tồn tại.
Tại $x = 3$, ta có: $left{ begin{array}{l}
f'({3^ + }) = 6\
f'({3^ – }) = 2
end{array} right.$ nên $f'(3)$ không tồn tại.
Vậy hàm số $y$ đồng biến trên khoảng $(0; + infty )$ và nghịch biến trên khoảng $( – infty ;0).$

Ví dụ 6. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) của hàm số:
a. $y = frac{{4x + 5}}{{4{x^2} – 4}}.$
b. $y = frac{{12x + 1}}{{12{x^2} + 2}}.$
c. $y = frac{{3{x^2} – x + 1}}{{{x^2} – x + 1}}.$

a. TXĐ: $D = Rbackslash left{ { – 1;1} right}.$
Ta có: $y’ = frac{{ – 16{x^2} – 40x – 16}}{{{{left( {4{x^2} – 4} right)}^2}}}$ $ Rightarrow y’ = 0$ ⇔ $x = – 2$ hoặc $x = – frac{1}{2}.$
Vậy, hàm số $y$ đồng biến trên các khoảng $left( { – 2; – 1} right)$, $left( { – 1; – frac{1}{2}} right)$ và nghịch biến trên các khoảng $left( { – infty ; – 2} right)$, $left( { – frac{1}{2};1} right)$, $left( {1; + infty } right).$
b. TXĐ: $D = R.$
Ta có: $y’ = frac{{ – 36{x^2} – 6x + 6}}{{{{left( {6{x^2} + 1} right)}^2}}}.$ Với $forall x in R: y’ = 0$ ⇔ $x = – frac{1}{2}$ hoặc $x = frac{1}{3}.$
Bảng xét dấu:

Đồng biến, nghịch biến của hàm số khác

Trên khoảng $left( { – frac{1}{2};frac{1}{3}} right)$: $y’ > 0$ $ Rightarrow y$ đồng biến trên khoảng $left( { – frac{1}{2};frac{1}{3}} right).$
Trên khoảng $left( { – infty ; – frac{1}{2}} right)$ và $left( {frac{1}{3}; + infty } right)$: $y’ 0$ $ Rightarrow y$ đồng biến trên khoảng $left( {0;2} right).$
Trên khoảng $left( { – infty ;0} right)$ và $left( {2; + infty } right)$: $y’

Vậy, hàm số $y$ giảm trên các khoảng $left( { – 3; – frac{9}{4}} right)$, $left( {2;3} right)$ và tăng trên khoảng $left( { – frac{9}{4};2} right).$
c. TXĐ: $D = ( – infty ; – 4] cup [5; + infty ).$
Ta có: $y’ = frac{{2x – 1}}{{2sqrt {{x^2} – x – 20} }}$ $ Rightarrow y’ = 0$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
2x – 1 = 0\
x 5
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x = frac{1}{2}\
x 5
end{array} right.$

Nên phương trình $y’ = 0$ vô nghiệm.
Vậy hàm số $y$ đồng biến trên khoảng $(5; + infty )$ và nghịch biến trên $( – infty ; – 4).$

Ví dụ 8. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) của hàm số:
a. $y = 2sin x + cos 2x$ với $x in left[ {0;pi } right].$
b. $y = sin 2x – 2cos x – 2x$ với $x in left( { – frac{pi }{2};frac{pi }{2}} right).$

a. Hàm số đã cho xác định trên đoạn $left[ {0;pi } right].$
Ta có: $y’ = 2cos xleft( {1 – 2sin x} right).$ Ta cần tìm nghiệm của phương trình $y’ = 0$ trên khoảng $left( {0;pi } right).$
$y’ = 0 Leftrightarrow x in left( {0;pi } right)$: $left[ begin{array}{l}
cos x = 0\
sin x = frac{1}{2}
end{array} right.$ $ Leftrightarrow x = frac{pi }{2}, x = frac{pi }{6}, x = frac{{5pi }}{6}.$
Bảng biến thiên:

Đồng biến, nghịch biến của hàm số khác

Dựa vào bảng biến thiên suy ra: hàm số đồng biến trên các khoảng $left( {0;frac{pi }{6}} right)$ và $left( {frac{pi }{2};frac{{5pi }}{6}} right)$, nghịch biến trên các khoảng $left( {frac{pi }{6};frac{pi }{2}} right)$ và $left( {frac{{5pi }}{6};pi } right).$
b. Hàm số đã cho xác định trên khoảng $left( { – frac{pi }{2};frac{pi }{2}} right).$
Ta có: $y’ = 2cos 2x + 2sin x – 2$ $ = 2left( {1 – 2{{sin }^2}x} right) + 2sin x – 2.$
$y’ = – 2sin xleft( {2sin x – 1} right).$
Trên khoảng $left( { – frac{pi }{2};frac{pi }{2}} right)$: $y’ = 0$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x in left( { – frac{pi }{2};frac{pi }{2}} right)\
– 2sin xleft( {2sin x – 1} right) = 0
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0\
x = frac{pi }{6}
end{array} right.$
Bảng biến thiên:

Đồng biến, nghịch biến của hàm số khác

Hàm số giảm trên các khoảng $left( { – frac{pi }{2};0} right)$, $left( {frac{pi }{6};frac{pi }{2}} right)$ và tăng trên khoảng $left( {0;frac{pi }{6}} right).$
 

The post Đồng biến, nghịch biến của hàm số khác appeared first on Sách Toán – Học toán.

Goc hoc tap