Giải Đề kiểm tra 15 phút – Đề số 3 – Bài 1 – Chương 2 – Hình học 9


Giải Đề kiểm tra 15 phút – Đề số 3 – Bài 1 – Chương 2 – Hình học 9

Đề bài

Cho ∆ABC đều có cạnh bằng a, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H.

a. Chứng minh rằng bốn điểm B, E, D, C thuộc cùng một đường tròn. Hãy xác định tâm bán kính của đường tròn đó.

b. Chứng minh rằng điểm H nằm trong đường tròn và điểm A nằm ngoài đường tròn đi qua bốn điểm B, E, D, C.

Lời giải chi tiết

a. Gọi O là trung điểm của BC, các tam giác vuông BDC và BEC có OD, OE là các đường trung tuyến thuộc cạnh huyền BC nên

(eqalign{  & OD = OE = {1 over 2}BC  cr  & hay,OD = OE = OB = OC = {1 over 2}a cr} )

Vậy bốn điểm B, E, D, C thuộc cùng một đường tròn, tâm O là trung điểm của BC và bán kính bằng ({1 over 2}BC = {1 over 2}a)

b. ∆ABC đều nên trực tâm H cũng đồng thời là trọng tâm, AO là trung tuyến nên đồng thời là đường cao và A, H, O thẳng hàng.

Xét tam giác vuông AOB, ta có:

(AO = sqrt {A{B^2} – O{B^2}} ) (định lí Pi-ta-go )

( = sqrt {{a^2} – {{left( {{a over 2}} right)}^2}}  = sqrt {{{3{a^2}} over 4}}  = {{asqrt 3 } over 2})

Mặt khác, vì H là trọng tâm của ∆ABC nên:

(OH = {1 over 3}AO = {1 over 3}.{{asqrt 3 } over 2} = {{asqrt 3 } over 6})

Nhận thấy: ({{asqrt 3 } over 6}

({{asqrt 3 } over 2} > {a over 2},) do đó điểm A nằm ngoài đường tròn (left( {O;{a over 2}} right).)

Loigiaihay.com

,

Goc hoc tap