Cho hình nón tròn xoay đỉnh S,

Cho hình nón tròn xoay đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O. Gọi A là điểm cố định và M là điểm thay đổi cùng thuộc đường tròn đáy hình nón. Đặt

(AOM{rm{ }} = {rm{ }}alpha ) . Gọi P là góc giữa mp(SAM) và mặt phẳng chứa đáy hình nón ; khoảng cách từ O đến mp(SAM) bằng a.

1. Tính thể tích khối nón đã cho theo a, (alpha ),(beta ).

2. Xác định điểm M để tam giác SAM có diện tích lớn nhất.

3. Chứng minh rằng hình chiếu H của điểm O trên mp(SAM) thuộc một đường tròn cố định.

Giải

     

1. Gọi I là trung điểm của AM thì OI ( bot )AM và SI ( bot )AM từ đó (widehat {SIO} = beta ). Gọi H là hình chiếu của O trên SI thì OH ( bot ) mp(SAM), từ đó OH = a.

Ta có (OI = {{OH} over {sin beta }} = {a over {sin beta }}.)

(OM = {{OI} over {cos {alpha  over 2}}} = {a over {sinbeta cos {alpha  over 2}}}.)

(SO = OItan beta  = {a over {sinbeta }}.tanbeta  = {a over {cos beta }}.)

Từ đó thể tích khối nón đã cho là

(V = {{pi {a^3}} over {3{{cos }^2}{alpha  over 2}{{sin }^2}beta cos beta }}.)

2. Ta có 

Vì SA không đổi nên ({S_{Delta SAM}}) lớn nhất (Leftrightarrow sin widehat {ASM}) lớn nhất.

Dễ thấy (widehat {ASB} > widehat {ASM}) (B là điểm đối xứng của A qua O). Vậy có hai trường hợp :

a) (0 M trùng với B.

b) ({90^0} M trên đường tròn đáy hình nón để diện tích tam giác SAM lớn nhất, đó là hai điểm M sao cho (widehat {ASM} = {90^0})

3. Vì OH ( bot ) mp(SAM) nên OH ( bot ) SA. Vậy H thuộc mp(P) đi qua O và vuông góc với SA tại K. Ta có (P) là mặt phẳng cố định, ngoài ra (widehat {OHK} = {90^0}), tức là H thuộc đường tròn đường kính OK trong mặt phẳng (P) nêu trên, tất nhiên đường tròn này cố định.

Giaibaitaphay.com