Giải SBT Giải tích 12 nâng cao. Bài 1 Tính đơn điệu của hàm số 1.1 đến 1.5

Giải SBT Giải tích 12 nâng cao. Bài 1 Tính đơn điệu của hàm số
————-
Câu 1.1 trang 10 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Cho A(-1;1); B(2;4) là hai điểm của parabol $y=x^2$. Xác định điểm C thuộc parabol sao cho tiếp tuyến tại C với parabol song song với AB.

Giải

Vì tiếp tuyến song song AB nên hệ số góc k= 1;   vì $overrightarrow{AB}=(3;2)$

Ta có: $y’=2x=1 Leftarrow x=frac{1}{2} Rightarrow y=frac{1}{4}$

Vậy $C(frac{1}{2};frac{1}{4})$


Câu 1.2. Xét chiều biến thiên các hàm số sau:

a/ $y=frac{1}{x}-frac{1}{x-2}$

TXĐ: D=R{0;2}

$y’=frac{4x-4}{x^2left(x-2right)^2} =0$ => x= 1.

y’ < 0 trên khoảng (-∞;0);(0;1) nên y nghịch biến trên khoảng (-∞;0);(0;1)

y’ > 0 trên khoảng (1;2);(2;+∞) nên y đồng biến trên khoảng (1;2);(2;+∞)

——-

b/ $y=frac{3x}{x^2+1}$

$y’=frac{3left(-x^2+1right)}{left(x^2+1right)^2}$

$Rightarrow x=pm 1$

nên hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;-1) và (-1;+∞); hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 1).

——-

c/ $y=frac{left(x+1right)}{3sqrt{x}}$ (x>0)

$y’=frac{x-1}{6xsqrt{x}}Rightarrow x= 1$

nên hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1); hàm số đồng biến trên khoảng (1;+∞).

d/ $y=sqrt{x^2+2x+3}$

$y’=frac{x+1}{sqrt{x^2+2x+3}}Rightarrow x= -1$

nên hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;-1); hàm số đồng biến trên khoảng (-1;+∞).


Câu 1.3: Xét chiều biến thiên các hàm số sau:

a/ $f(x)=frac{1}{2}x^4+x^3-x+5$

$f'(x) = 2x^3+3x^2-1=0$ => $x=-1,:x=frac{1}{2}$

nên hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;1/2); hàm số đồng biến trên khoảng (1/2;+∞).

b/ $f(x)=frac{3}{4}x^4-2x^3+frac{3}{2}x^2-6x+11$

$f'(x)=3x^3-6x^2+3x-6$ => x=2

nên hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;2); hàm số đồng biến trên khoảng (2;+∞).

c/ $f(x)=x^3-frac{4}{5}x^5+8$

$f'(x)=-4x^4+3x^2$ => $x=0,x=frac{sqrt{3}}{2},x=-frac{sqrt{3}}{2}$

nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(-∞;-frac{sqrt{3}}{2})$; $(frac{sqrt{3}}{2};+∞)$; hàm số đồng biến trên khoảng $(-frac{sqrt{3}}{2});frac{sqrt{3}}{2})$.

d/ $f(x)=9x^7-7x^6+frac{7}{5}x^5+12$

$f'(x)=63x^6-42x^5+7x^4$ => $x=0,x=frac{1}{3}$

Hàm số đồng biến trên R


Câu 1.4 trang 10 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Hãy chứng minh rằng

Hãy chứng minh rằng

a) Hàm số (y = sqrt {2x – {x^2}} ) nghịch biến trên đoạn [1;2]

b)  Hàm số (y = sqrt {{x^2} – 9} ) đồng biến trên nửa khoảng  ({rm{[}}3; + infty ))

c) Hàm số (y = x + {4 over x}) nghịch biến trên mỗi nửa khoảng [-2;0) và (0;2]

Giải

a) Hàm số liên tục trên đoạn [1;2] và có đạo hàm

(y’ = {{1 – x} over {sqrt {2x – {x^2}} }} < 0) với mọi (x in (1,2))

Do đó hàm số nghịch biến trên đoạn [1;2]

b)  Hàm số liên tục trên nửa khoảng  ({rm{[}}3; + infty )) và có đạo hàm

(y’ = {x over {sqrt {{x^2} – 9} }} > 0) với mọi (x in (3, + infty ))

Do đó hàm dố đồng biến tên nửa khoảng ({rm{[}}3; + infty ))

c) TXĐ: (xne0)

(y’ = 1 – {4 over {{x^2}}})

(y’ = 0 Leftrightarrow x =  pm 2)

BBT

Giải SBT Giải tích 12 nâng cao. Bài 1 Tính đơn điệu của hàm số

Từ BBT ta có hàm số (y = x + {4 over x}) nghịch biến trên mỗi nửa khoảng [-2;0) và (0;2]


Câu 1.5 trang 11 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Chứng minh rằng

a) Hàm số (y = {{3 – x} over {2x + 1}}) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó

b) Hàm số (y = {{2{x^2} + 3x} over {2x + 1}}) đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó

c) Hàm số (y =  – x + sqrt {{x^2} + 8} ) nghịch biến trên (mathbb R)

Giải

a) TXĐ: (D =mathbb Rbackslash left{ { – {1 over 2}} right})

(y’ = {{ – 7} over {{{left( {2x + 1} right)}^2}}} < 0,,forall x in D)

Do đó hàm số (y = {{3 – x} over {2x + 1}}) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó

b) TXĐ: (D = Rbackslash left{ { – {1 over 2}} right})

(y’ = {{4{x^2} – 4x + 3} over {{{left( {2x + 1} right)}^2}}} = {{{{left( {2x – 1} right)}^2} + 2} over {{{left( {2x + 1} right)}^2}}} > 0,,forall x in D)

Do đó hàm số (y = {{2{x^2} + 3x} over {2x + 1}}) đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó

c) Vì (y’ =  – 1 + {x over {sqrt {{x^2} + 8} }} < 0) với mọi x nên hàm số nghịch biến trên (mathbb R)

 

The post Giải SBT Giải tích 12 nâng cao. Bài 1 Tính đơn điệu của hàm số 1.1 đến 1.5 appeared first on Sách Toán – Học toán.

Goc hoc tap