Giải SBT Giải Tích 12 ( nâng cao). Bài 2: Căn bậc hai của số phức, phương trình bậc hai

Bài 4.15

Hỏi khi số thức a thay đổi tùy ý thì các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn các căn bậc hai của a + i vạch nên đường nào ?

Giải

Viết (z = x + yileft( {x,y in R} right)) thì

({z^2} = a + i Leftrightarrow left{ matrix{{x^2} – {y^2} = a hfill cr 2xy = 1 hfill cr}  right.)

Phương trình (2xy = 1) chứng tỏ điểm M biểu diễn z phải thuộc hypebol (y = {1 over {2x}}). Vì với mỗi điểm (left( {x,y} right)) của hylebol này, tìm được (a = {x^2} – {y^2}) nên M vạch nên toàn bộ hai nháy hypebol đó.

——————————————————-

Bài 4.23

a) Chứng minh rằng nếu ba số phức  ({z_1},{z_2},{z_3}) thỏa mãn

                    (left{ matrix{left| {{z_1}} right| = left| {{z_2}} right| = left| {{z_3}} right| = 1 hfill cr{z_1} + {z_2} + {z_3} = 1 hfill cr}  right.)

Thì một trong ba số đó phải bằng 1.

b) Giải hệ phương trình ba ẩn phức ({z_1},{z_2},{z_3}) sau:

                    (left{ matrix{ left| {{z_1}} right| = left| {{z_2}} right| = left| {{z_3}} right| = 1 hfill cr{z_1}{z_2} + {z_3} = 1 hfill cr{z_1}{z_2}{z_3} = 1 hfill cr}  right.)                                                                  

Giải

a) Viết (1 – {z_1} = {z_2} + {z_3})

Nếu ({z_1} = 1) thì ({z_2} + {z_3} = 0)

Nếu ({z_1} ne 1) thì (1 – {z_1} ne 0), điểm P biểu diễn số (1 + left( { – {z_1}} right) = {z_2} + {z_3}) không trùng với O nên do (1 = left| { – {z_1}} right| = left| {{z_2}} right| = left| {{z_3}} right|), đường trung trực OP cắt đường tròn đơn vị tại hai điểm biểu diễn (1, – {z_1}) và cũng là hai điểm biểu diễn ({z_2},{z_3}) (h.4.7). Vậy ({z_2} = 1,{z_3} =  – {z_1}) hoặc ({z_2} =  – {z_1},{z_3} = 1). Tóm lại hoặc ({z_1} = 1) hoặc ({z_2} = 1) hoặc ({z_3} = 1) và tổng hai số z còn lại bằng 0

b) Từ hai phương trình đầu của hệ, theo câu a) có thể coi ({z_1} = 1,{z_2} + {z_3} = 0). Khi đó điều kiện (z_1z_2z_3=1) kéo theo hoặc ({z_2} = i,{z_3} =  – i) hoặc ({z_2} =  – i,{z_3} = i.). Suy ra hệ có 6 nghiệm do đổi chỗ các phần tử của bộ ba (left( {1,i, – i} right))

Giải SBT Giải Tích 12 ( nâng cao). Bài 2: Căn bậc hai của số phức, phương trình bậc hai

The post Giải SBT Giải Tích 12 ( nâng cao). Bài 2: Căn bậc hai của số phức, phương trình bậc hai appeared first on Học giải bài tập.

Goc hoc tap