Giải SBT Giải Tích 12 ( nâng cao). Bài 5; 6: Hàm số mũ , hàm số lôgarit và hàm số lũy thừa

Bài 2.67 Trong các hàm số sau đây, hãy chỉ ra hàm số nào là đồng biến, hàm số nào là nghịch biến trên tập xác định của nó ?

a) (y = {left( {{e over 2}} right)^x})                                            

b) (y = {left( {{4 over {sqrt 5  + sqrt 4 }}} right)^x})

c) (y = {2^{ – x}}.{left( {{1 over {sqrt 6  – sqrt 5 }}} right)^x})                        

d) ({left( {sqrt {11}  – sqrt {10} } right)^x}.{left( {sqrt {11}  + sqrt {10} } right)^x})

Giải

a) Đồng biến                                      

b) Nghịch biến

c) Đồng biến, vì  ({2^{ – x}}.{left( {{1 over {sqrt 6  – sqrt 5 }}} right)^x} = {left( {{sqrt 6  + sqrt 5 } over 2}right)^x})và ({{sqrt 6  + sqrt 5 } over 2} > 1)

d) Không đồng biến, không nghịch biến mà là hàm số không đổi,

vì  ({left( {sqrt {11}  – sqrt {10} } right)^x}.{left( {sqrt {11}  + sqrt {10} } right)^x} = {left( {11 – 10} right)^x} = 1)

——————————————-

Bài 2.67 Tìm các giới hạn sau:

a) (mathop {lim }limits_{x to 0} {{{e^{3x}} – 1} over x})

b) (mathop {lim }limits_{x to 0} {{{e^{2x}} – {e^{3x}}} over {5x}})

c) (mathop {lim }limits_{x to 5} left( {{2^x} – {3^x}} right))

d) (mathop {lim }limits_{x to  + infty } left( {x{e^{{1 over x}}} – x} right))

Giải

a) (mathop {lim }limits_{x to 0} {{{e^{3x}} – 1} over x})

( = 3.mathop {lim }limits_{x to 0} {{{e^{3x}} – 1} over {3x}} = 3.1 = 3)

b)

(eqalign{ & mathop {lim }limits_{x to 0} {{{e^{2x}} – {e^{3x}}} over {5x}} = mathop {lim }limits_{x to 0} left( {{{{e^{2x }-1}} over {5x}} – {{{e^{3x }-1}} over {5x}}} right)  cr&  = mathop {lim }limits_{x to 0} {{{e^{2x }-1}} over {2x}}.{2 over 5} – mathop {lim }limits_{x to 0} {{{e^{3x }-1}} over {3x}}.{3 over 5} cr&= {2 over 5} – {3 over 5} =  – {1 over 5} cr} )

c) (mathop {lim }limits_{x to 5} left( {{2^x} – {3^x}} right))

( = {2^5} – {3^5} =  – 211)

d)

(mathop {lim }limits_{x to  + infty } left( {x{e^{{1 over x}}} – x} right) = mathop {lim }limits_{x to  + infty } {{{e^{{1 over x} }-1}} over {{1 over x}}} = mathop {lim }limits_{y to  0^+ } {{{e^y} – 1} over y} = 1)

—————————————————

Bài 2.70 Vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) (y = {3^x})                             b) (y = {left( {{1 over 3}} right)^x})

c) (y =  – {3^x})                         d) (y = {3^{left| x right|}})

Giải

Hình 2.1

Giải SBT Giải Tích 12 ( nâng cao). Bài 5; 6: Hàm số mũ , hàm số lôgarit và hàm số lũy thừa

———————————————————–

Bài 2.71 Cho 0 < a < 1. Với giá trị nào của x thì đồ thị của hàm số (y = {a^x})

a) Nằm ở phía trên đường thằng  y = a ?

b) Nằm ở phía dưới đường thằng  y = a ?

Giải

a) ( {a^x}>a)

(Leftrightarrow x < 1 ) (vì 0 < a < 1)

b) ( {a^x}

(Leftrightarrow x > 1 ) (vì 0 < a < 1)

——————————————-

Bài 2.72 Cũng câu hỏi tương tự như bài tập 2.71 với điều kiện a > 1.

Giải

a) ( {a^x}>a)

(Leftrightarrow x > 1 ) (vì a > 1)                                     

b) ( {a^x}

(Leftrightarrow x < 1 ) (vì a > 1)

———————————————–

Bài 2.73 Có thể nói gì về cơ số a, biết rằng :

a) ({a^{{1 over 2}}} > {a^{{2 over 3}}})       

b) ({a^{{5 over 4}}} > {a^{{7 over 8}}})

Giải

a)  0 < a < 1                            b) a > 1

—————————————————-

Bài 2.74 Tính các giới hạn sau:

a) (mathop {lim }limits_{x to 9} {log _3}x)

b) (mathop {lim }limits_{x to 0} {{ln left( {4x + 1} right)} over x})

c) (mathop {lim }limits_{x to 0} {{ln left( {3x + 1} right) – ln left( {2x + 1} right)} over x})                                                     d) (mathop {lim }limits_{x to 0} {{ln left( {1 + 3x} right)} over {sin 2x}})

Hướng dẫn: d) Vận dụng công thức (mathop {lim }limits_{x to 0} {{sin x} over x} = 1)

Giải

a) (mathop {lim }limits_{x to 9} {log _3}x={log _3}9 = 2)

b) (mathop {lim }limits_{x to 0} {{ln left( {4x + 1} right)} over x})

(=mathop {lim }limits_{x to 0} 4.{{ln left( {4x + 1} right)} over {4x}}=4.1=4)

c) (mathop {lim }limits_{x to 0} {{ln left( {3x + 1} right) – ln left( {2x + 1} right)} over x} )

(= mathop {lim }limits_{x to 0} {{ln left( {3x + 1} right)} over {3x}}.3 – mathop {lim }limits_{x to 0} {{ln left( {2x + 1} right)} over {2x}}.2 = 3 – 2 = 1)

d) (mathop {lim }limits_{x to 0} {{ln left( {1 + 3x} right)} over {sin 2x}} = mathop {lim }limits_{x to 0} {{{{ln left( {1 + 3x} right)} over {3x}}} over {{{sin 2x} over {2x}}}}.{3 over 2} = {{mathop {lim }limits_{x to 0} {{ln left( {1 + 3x} right)} over {3x}}} over {mathop {lim }limits_{x to 0} {{sin 2x} over {2x}}}}.{3 over 2} = {3 over 2})

———————————————————

Bài 2.77 Trong các hàm số sau đây, hãy chỉ ra hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến trên tập xác định của nó ?

a) (y = {log _{sqrt 3 }}x)                   

b) (y = {log _{{1 over 3}}}x)

c) (y = {log _{{pi  over 4}}}x)                 

d) (y = {log _a}x) với (a = {1 over {5left( {sqrt 6  – sqrt 5 } right)}})

Giải

a) Đồng biến                       b) Nghịch biến

c) Nghịch biến

d) Nghịch biến vì  (a = {1 over {5left( {sqrt 6  – sqrt 5 } right)}} = {{sqrt 6  + sqrt 5 } over 5} < 1)

——————————————————

Bài 2.78 Vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) (y = {log _2}x)                          b) (y = {log _{{1 over 2}}}x)

c) (y = left| {{{log }_2}x} right|)                        d) (y = {log _2}left( {x + 1} right))

Giải

Hình 2.2

Giải SBT Giải Tích 12 ( nâng cao). Bài 5; 6: Hàm số mũ , hàm số lôgarit và hàm số lũy thừa

———————————————————

Bài 2.79 Tính giá trị gắn đúng của đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm đã chỉ ra (chính xác đến hàng phần nghìn):

a)(y = {log _2}cos x) tại (x = {pi  over 6})                               

b) (y = {{{3^x}} over {{x^5}}}) tại x = 1

c) (y = {log _x}2) tại x = 5

Giải

a) (y’ = {{ – tan x} over {ln 2}};y’left( {{pi  over 6}} right) = {{ – tan {pi  over 6}} over {ln 2}} approx  – 0,833)

b) (y’ = {{{3^x}left( {xln 3 – 5} right)} over {{x^6}}};y’left( 1 right) = 3ln 3 – 5.3 approx  – 11,704)

c) (y’ = {1 over {xln 2{{left( {{{log }_2}x} right)}^2}}};)

(y'(5) = {1 over {5ln 2{{left( {{{log }_2}5} right)}^2}}} =  – {{ln 2} over {5.{{left( {ln 5} right)}^2}}} approx  – 0,054)

——————————————————-

Bài 2.80

Chứng minh rằng đồ thị của hai hàm số (y = {a^x}) và (y =  – {log _a}left( { – x} right)) đối xứng với nhau qua đường thẳng (y = -x).

Giải

Gọi (left( {{G_1}} right)) và (left( {{G_2}} right)) lần lượt là đồ thị của các hàm số (y = {a^x}) và (y =  – {log _a}left( { – x} right)).

(Mleft( {{x_0};{y_0}} right)) là một điểm bất kì. Khi đó điểm đối xứng với M qua đường thẳng (y =  – x) là (M’left( { – {y_0};{x_0}} right)). Ta có

(M in left( {{G_1}} right) Leftrightarrow {y_0} = {a^{{x_0}}} Leftrightarrow {x_0} = {log _a}{y_0} )

(Leftrightarrow  – {x_0} =  – log left[ { – left( { – {y_0}} right)} right] Leftrightarrow M’ in left( {{G_2}} right))

Điều đó chứng tỏ (left( {{G_1}} right)) và (left( {{G_2}} right)) đối xứng với nhau qua đường thẳng (y =  – x).

—————————————————————–

Bài 2.81 Với  giá  trị nào của x thì đồ thị của hàm số (y = {log _2}x)

a) Nằm ở phía trên đường thẳng  y = 2 ?

b) Nằm ở phía dưới đường thẳng  y = 1 ?

Giải

a) ({log _2}x > 2 Leftrightarrow x > {2^2} = 4)   

b) ({log _2}x < 1 Leftrightarrow x < 2)

————————————————————-

Câu 2.82.Với  giá  trị nào của x thì đồ thị của hàm số (y = {left( {0,5} right)^x})

a) Nằm ở phía trên đường thằng  y = 4 ?

b) Nằm ở phía dưới đường thằng  (y = {1 over 4}) ?

Giải

a) ({left( {0,5} right)^x} > 4 Leftrightarrow {left( {{1 over 2}} right)^x} > {left( {{1 over 2}} right)^{ – 2}} Leftrightarrow x <  – 2)

b) ({left( {0,5} right)^x} < {1 over 4} Leftrightarrow {left( {{1 over 2}} right)^x} < {left( {{1 over 2}} right)^2} Leftrightarrow x > 2)

——————————————

Bài 2.84 Vẽ các đồ thị hàm số sau:

a) (y = {x^3})                b) (y = {x^4})                    c) (y = sqrt x )

 

Giải 

h.2.3

Giải SBT Giải Tích 12 ( nâng cao). Bài 5; 6: Hàm số mũ , hàm số lôgarit và hàm số lũy thừa

————————————————————

Bài 2.85

a) Chứng minh rằng hàm số (y = {{{2^x} – {2^{ – x}}} over 3}) đồng biến trên R                                               

b) Chứng minh rằng hàm số (y = {log _{{1 over 2}}}x – {log _{{1 over 2}}}left( {x + 1} right)) nghịch biến trên tập các số thực dương.      

Giải

a) Với ({x_1},{x_2}) bất kì thuộc R ta có

({y_1} – {y_2} = {{{2^{{x_1}}} – {2^{ – {x_1}}}} over 3} – {{{2^{{x_2}}} – {2^{ – {x_2}}}} over 3} = {{{2^{{x_1}}} – {2^{{x_2}}}} over 3} + {{{2^{ – {x_2}}} – {2^{ – {x_1}}}} over 3})

Vì hàm số (y = {2^x}) đồng biến trên R ,nên ({{{2^{{x_1}}} – {2^{{x_2}}}} over 3} < 0;{{{2^{ – {x_2}}} – {2^{ – {x_1}}}} over 3} < 0)

Do đó ({y_1} – {y_2} < 0) , tức là ({y_1} < {y_2}).

Vậy hàm số (y = {{{2^x} – {2^{ – x}}} over 3}) đồng biến trên R.

b) Cách làm tương tự câu a) với lưu ý hàm số (y = {log _{{1 over 2}}}x) nghịch biến trên tập các số thực dương.

———————————————————

Bài 2.86 Tìm các giới hạn sau:

a) (mathop {lim }limits_{x to 0} {{{e^{5x + 3}} – {e^3}} over {2x}})                                   b) (mathop {lim }limits_{x to 0} {{{e^x} – 1} over {sqrt {x + 1}  – 1}})

c) (mathop {lim }limits_{x to 0} {{ln left( {1 + {x^3}} right)} over {2x}})                                   d) (mathop {lim }limits_{x to 0} {{ln left( {1 + 2x} right)} over {tan x}})

Giải

a) (mathop {lim }limits_{x to 0} {{{e^3}left( {{e^{5x}} – 1} right)} over {5x}}.{5 over 2} = {5 over 2}{e^3}mathop {lim }limits_{x to 0} {{{e^{5x}} – 1} over {5x}} = {5 over 2}{e^3})

b) (mathop {lim }limits_{x to 0} {{{e^x} – 1} over {sqrt {x + 1}  – 1}})

(=mathop {lim }limits_{x to 0} {{{e^x} – 1} over {sqrt {x + 1}  – 1}} = mathop {lim }limits_{x to 0} {{({e^x} – 1)(sqrt {x + 1}  + 1)} over x})

( = mathop {lim }limits_{x to 0} {{{e^x} – 1} over x}.(sqrt {x + 1}  + 1) = 2)

c) (mathop {lim }limits_{x to 0} {{ln left( {1 + {x^3}} right)} over {2x}})

(=mathop {lim }limits_{x to 0} {{ln left( {{x^3} + 1} right)} over {{x^3}}} cdot {1 over 2}{x^2} = 1.0 = 0)

d)  (mathop {lim }limits_{x to 0} {{ln left( {1 + 2x} right)} over {tan x}} = mathop {lim }limits_{x to 0} {{{{ln left( {1 + 2x} right)} over {2x}}} over {{{tan x} over x}}}.2 = {1 over 1}.2 = 2)

The post Giải SBT Giải Tích 12 ( nâng cao). Bài 5; 6: Hàm số mũ , hàm số lôgarit và hàm số lũy thừa appeared first on Học giải bài tập.

Goc hoc tap