Giải SBT Giải Tích 12 ( nâng cao). Bài 8: Phương trình mũ và lôgarit

Bài 1.112 Giải các hệ phương trình sau:

a)(left{ matrix{ x + y = 11 hfill cr{log _2}x + {log _2}y = 1 + {log _2}15 hfill cr}  right.)                                 

b) (left{ matrix{ log ({x^2} + {y^2}) = 1 + log 8 hfill crlog (x + y) – log(x – y) = log 3; hfill cr}  right.) 

Giải         

a) Điều kiện (x > 0,y > 0)

Biến đổi phương trình thứ hai trong hệ như sau:

({log _2}x + {log _2}y = 1 + {log _2}15 Leftrightarrow {log _2}xy = {log _2}30)

( Leftrightarrow xy = 30)

(left( {x;y} right)) là (left( {5;6} right),left( {6;5} right))

b) Điều kiện (x + y > 0,x – y > 0)

Biến đổi phương trình thứ nhất và phương trình thứ hai trong hệ như sau:

(eqalign{& log ({x^2} + {y^2}) = 1 + log 8 Leftrightarrow log ({x^2} + {y^2}) = log 80cr&Leftrightarrow  {x^2} + {y^2}=80cr& log(x + y) – log(x – y) = log 3cr& Leftrightarrow log {{x + y} over {x – y}} = log 3cr& Leftrightarrow {{x + y} over {x – y}} = 3 cr} )

Vậy (left( {x;y} right) = left( {8;4} right))

—————————————————-

Bài 2.113 Giải các hệ phương trình sau:

a)(left{ matrix{{3^x}{.2^y} = 972 hfill cr{log _{sqrt 3 }}(x – y) = 2; hfill cr}  right.)                                           

b) (left{ matrix{ x + y = 25 hfill cr{log _2}x – {log _2}y = 2 hfill cr}  right.)         

Giải

a)

(left{ matrix{{3^x}{.2^y} = 972 hfill cr{log _{sqrt 3 }}(x – y) = 2 hfill cr}  right. Leftrightarrow left{ matrix{{3^x}{.2^y} = 972 hfill cr x – y = 3 hfill cr}  right.)

(Leftrightarrow left{ matrix{ x = y + 3 hfill cr{3^{y+3}}{.2^y} = 972 hfill cr}  right.)

( Leftrightarrow left{ matrix{x = y + 3 hfill cr{6^y} = 36 hfill cr}  right. Leftrightarrow left{ matrix{x = 5 hfill cr y = 2 hfill cr}  right.)

b) Biến đổi phương trình thứ hai trong hệ thành

({x over y} = 4left( {x > 0,y > 0} right))

Vậy (left( {x;y} right) = left( {20;5} right))

———————————————————

Bài 2. 115 Giải các hệ phương trình sau:

a)(left{ matrix{{2^x} + {5^{x + y}} = 7 hfill cr {2^{x – 1}}{.5^{x + y}} = 5 hfill cr}  right.)

b) (left{ matrix{{x^2} – {y^2} = 3 hfill cr {log _3}left( {x + y} right) – {log _5}left( {x – y} right) = 1 hfill cr}  right.)

Giải

a)

Đặt (u = {2^x},v = {5^{x + y}}(u > 0,v > 0)), ta có hệ:

(left{ matrix{u + v = 7 hfill cr uv = 10 hfill cr}  right.)

Vậy (left( {x;y} right)) là (left( {{{log }_2}5;{{log }_5}2 – {{log }_2}5} right),left( {1;0} right))

b)

ĐKXĐ: (x pm y > 0) . Khi đó

(left{ matrix{{x^2} – {y^2} = 3 hfill cr{log _3}left( {x + y} right) – {log _5}left( {x – y} right) = 1 hfill cr}  right. )

(Leftrightarrow left{ matrix{{log _3}left( {x + y} right) + {log _3}left( {x – y} right) = 1 hfill cr{log _3}left( {x + y} right) – {{{{log }_3}left( {x – y} right)} over {{{log }_3}5}} = 1 hfill cr}  right.)

Tiếp theo, đặt (u = {log _3}left( {x + y} right)) và (v = {log _3}left( {x – y} right) = 1) , ta có hệ

(left{ matrix{u + v = 1 hfill cr u – {v over {{{log }_3}5}} = 1 hfill cr}  right.)

Giải hệ ta được (left( {x;y} right) = left( {2;1} right))

————————————————————

Bài 2.116 Giải các hệ phương trình sau:

a )(left{ matrix{{log ^2}x = {log ^2}y + {log ^2}xy hfill cr{log ^2}left( {x – y} right) + log xlog y = 0 hfill cr}  right.)

b) (left{ matrix{{3^{log x}} = {4^{log y}} hfill cr{left( {4x} right)^{log 4}} = {left( {3y} right)^{log 3}} hfill cr}  right.)

Giải

a) ĐKXĐ: (x > 0,y > 0,x > y)

Biến đổi phương trình đầu như sau:

(eqalign{& {log ^2}x = {log ^2}y + {left( {log x + log y} right)^2} cr&Leftrightarrow 2{log ^2}y + 2log xlog y = 0  cr&  Leftrightarrow log yleft( {log x + log y} right) = 0 cr&Leftrightarrow left[ matrix{log y = 0 hfill crlog x + log y = 0 hfill cr}  right.left[ matrix{ y = 1 hfill cr y = {1 over x} hfill cr}  right. cr} )

– Với (y = 1), thế vào phương trình thứ hai ta được

({log ^2}left( {x – 1} right) + log xlog 1 = 0 )

(Leftrightarrow x – 1 = 1 Leftrightarrow x = 2)

– Với (y = {1 over x}),  thế vào phương trình thứ hai ta được

(eqalign{& {log ^2}left( {x – {1 over x}} right) + log xlog {1 over x} = 0 cr&Leftrightarrow{log ^2}{{{x^2} – 1} over x} – {log ^2}x = 0  cr &  Leftrightarrow left[ matrix{lo{g^2}{{{x^2} – 1} over x} = log x hfill cr lo{g^2}{{{x^2} – 1} over x} =  – log x hfill cr}  right. cr&Leftrightarrow left[ matrix{{x^2} – 1 = {x^2}left( {loại} right) hfill cr {{{x^2} – 1} over x} = {1 over x} hfill cr}  right. Leftrightarrow {x^2} = 2 cr} )

Kết hợp với ĐKXĐ, ta được (x = sqrt 2 ;y = {1 over {sqrt 2 }})

Vậy (left( {x;y} right)) là (left( {2;1} right),left( {sqrt 2 ;{1 over {sqrt 2 }}} right))

b)

Lôgarit có số 10 của hai vế phương trình trong hệ ta được

(left{ matrix{log xlog 3 = log ylog 4 hfill crlog 4left( {log 4 + log x} right) = log 3left( {log 3 + log y} right) hfill cr}  right.)

Rồi đặt (u = log x,v = log y)

Tìm u, v giải ra x, y ta được:

(left( {x;y} right) = left( {{1 over 4};{1 over 3}} right))

————————————————

Bài 2.117 Giải các hệ phương trình sau:

a ) (left{ matrix{ {4^{{{log }_3}xy}} = 2 + {left( {xy} right)^{{{log }_3}2}} hfill cr {x^2} + {y^2} – 3x – 3y = 12 hfill cr}  right.)

b)  (left{ matrix{ y = 1 + {log _2}x hfill cr{x^y} = 64 hfill cr}  right.)

Giải

a) (left( {x;y} right)) là (left( {3 – sqrt 6 ;3 + sqrt 6 } right),left( {3 + sqrt 6 ;3 – sqrt 6 } right))

ĐKXĐ: (xy > 0)

Áp dụng công thức ({a^{{{log }_c}b}} = {b^{{{log }_c}a}}) , phương trình đầu của hệ có thể viết thành

({left( {{2^2}} right)^{{{log }_3}xy}} = 2 + {2^{{{log }_3}xy}})

Đặt (t = {2^{{{log }_3}xy}}left( {t > 0} right)) ta có ({t^2} = 2 + t). Giải phương trình ta tìm được (t =  – 1) (loại) và (t = 2). Từ đó ({log _3}xy = 1) hay (xy = 3)

Biến đổi phương trình thứ hai của hệ thành

({left( {x + y} right)^2} – 3left( {x + y} right) – 18 = 0)

Giải ra, ta được (x + y = 6) và (x + y =  – 3)

Như vậy, ta có hai hệ phương trình

(left{ matrix{ x + y = 6 hfill cr xy = 3 hfill cr}  right.) và (left{ matrix{ x + y =  – 3 hfill cr xy = 3 hfill cr}  right.)

Vậy (left( {x;y} right)) là (left( {3 – sqrt 6 ;3 + sqrt 6 } right),left( {3 + sqrt 6 ;3 – sqrt 6 } right))

b)

Thế y từ phương trình đầu vào phương trình thứ hai rồi lấy lôgarit cơ số 2 cả hai vế.

(eqalign{
& left( {1 + {{log }_2}x} right){log _2}x = 6 Leftrightarrow log _2^2x + {log _2}x – 6 = 0 cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
{log _2}x = 2 hfill cr
{log _2}x = – 3 hfill cr} right. Leftrightarrow left[ matrix{
x = 4 Rightarrow y = 3 hfill cr
x = {1 over 8} Rightarrow y = – 2 hfill cr} right. cr} )

Vậy nghiệm của hệ là: (left( {4;3} right),left( {{1 over 8}; – 2} right))

———————————————————

Bài 2.118

a) (left{ matrix{9{x^2} – 4{y^2} = 5 hfill cr{log _5}left( {3x + 2y} right) – {log _3}left( {3x – 2y} right) = 1 hfill cr}  right.)                    

b) (left{ matrix{{5^{ln x}} = {6^{ln y}}  hfill cr{left( {6x} right)^{ln 6}} = {left( {5y} right)^{ln 5}} hfill cr}  right.)

Giải

a) ĐKXĐ: (3x pm 2y > 0)

Lôgarit cơ số 5 hai vế của phương trình đầu ta được

({log _5}left( {3x + 2y} right) – {log _5}left( {3x – 2y} right) = 1)

Biến đổi phương trình thứ hai thành ({log _5}left( {3x + 2y} right) – {{{{log }_5}left( {3x – 2y} right)} over {{{log }_5}3}} = 1)

Sau đó đặt ({log _5}left( {3x + 2y} right) = u;{log _5}left( {3x – 2y} right) = v)

(left( {u > 0,v > 0} right)) dẫn đến hệ

(left{ matrix{u – v = 1 hfill cr u – {v over {{{log }_5}3}} = 1 hfill cr}  right.)

Ta tìm được: v=0, u=1

Vậy (left( {x;y} right) = left( {1;1} right))

b) Điều kiện (x > 0,y > 0)

Lôgarit cơ số e hai vế của  cả hai  phương trình của hệ dẫn đến

(left{ matrix{ln xln 5 = ln yln 6 hfill crln 6left( {ln 6 + ln x} right) = ln 5left( {ln 5 + ln y} right) hfill cr}  right.)

Giải hệ ta được: (left( {x;y} right) = left( {{1 over 6};{1 over 5}} right))

The post Giải SBT Giải Tích 12 ( nâng cao). Bài 8: Phương trình mũ và lôgarit appeared first on Học giải bài tập.

Goc hoc tap