Lý thuyết Cực trị của hàm số

1. Định nghĩa

Cho hàm số (y=f(x)) liên tục trên khoảng (a;b) và điểm (x_0in(a;b)):

  • Hàm số (f(x)) đạt cực đại tại (x_0) nếu (f(x_0)>f(x) forall xin (x_0-h,x_0+h) setminus left { x_0 right },h>0)
  • Hàm số (f(x)) đạt cực tiểu tại x0 nếu (f(x_0)0).

2. Điều kiện cần và điều kiện đủ để hàm số có cực trị

a) Điều kiện cần để hàm số có cực trị

(f(x)) đạt cực trị tại (x_0), có đạo hàm tại (x_0) thì (f'(x_0)=0).

b) Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

  • Điều kiện thứ nhất: Cho hàm số (y=f(x)) liên tục trên khoảng (K = ({x_0} – h;{x_0} + h),(h > 0)) và có đạo hàm trên K hoặc trên (Kbackslash left{ {{x_0}} right}):
    • Nếu Lý thuyết Cực trị của hàm số  thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số (f(x)).
    •  Nếu Lý thuyết Cực trị của hàm số thì x0 là điểm cực đại của hàm số (f(x)).
  • Cách phát biểu khác dễ hiểu hơn: Đi từ trái sang phải
    • Nếu (f(x)) đổi dấu từ – sang + khi qua (x_0) thì (x_0) là điểm cực tiểu.
    • Nếu (f(x)) đổi dấu từ + sang – khi qua (x_0) thì (x_0) là điểm cực đại.
  • Điều kiện thứ hai: Cho hàm số (y=f(x)) có đạo hàm cấp hai trên khoảng (K = ({x_0} – h;{x_0} + h),(h > 0)):
    • Nếu (f'(x_0)=0), (f”(x_0)<0) thì (x_0) là điểm cực đại của hàm số (f(x)).
    • Nếu (f'(x_0)=0), (f”(x_0)>0) thì (x_0) là điểm cực tiểu của hàm số (f(x)).

3. Quy tắc tìm cực trị

a) Quy tắc 1

  • Tìm tập xác định.
  • Tính (f'(x)). Tìm các điểm tại đó(f'(x)=0) hoặc (f'(x)) không xác định.
  • Lập bảng biến thiên.
  • Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

b) Quy tắc 2

  • Tìm tập xác định.
  • Tính (f'(x)). Tìm các nghiệm  của phương trình (f'(x)=0).
  • Tính (f”(x)) và (f”(x_i)) suy ra tính chất cực trị của các điểm $x_i$.

♦ Chú ý: nếu (f”(x_i)=0) thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị tại $x_i$

————–

Trả lời câu hỏi trong bài học SGK

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 2 trang 13: Dựa vào đồ thị (H.7, H.8), hãy chỉ ra các điểm tại đó mỗi hàm số sau có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất):

a) y = -x2 + 1 trong khoảng (-∞; +∞);

b) $y = frac{x}{3(x+3)^2}$ trong các khoảng (1/2; 3/2) và (3/2; 4).

Lý thuyết Cực trị của hàm số

Lời giải:

a) Tại x = 0 hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1.

Xét dấu đạo hàm:

Lý thuyết Cực trị của hàm số

b) Tại x = 1 hàm số có giá trị lớn nhất bằng 4/3.

Tại x = 3 hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 0.

Xét dấu đạo hàm:

Lý thuyết Cực trị của hàm số


Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 2 trang 14: Giả sử f(x) đạt cực đại tại xo. Hãy chứng minh khẳng định 3 trong chú ý trên bằng cách xét giới hạn tỉ số Lý thuyết Cực trị của hàm số khi Δx → 0 trong hai trường hợp Δx > 0 và Δx < 0.

Lời giải:

Với Δx > 0 Ta có Lý thuyết Cực trị của hàm số f'(xo+ ).

Với Δx < 0 Ta có Lý thuyết Cực trị của hàm số f'(xo ).

Vậy f’(xo) = 0.

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 2 trang 14: a) Sử dụng đồ thị, hãy xem xét các hàm số sau đây có cực trị hay không.

• y = -2x + 1;

• $y = frac{x}{3(x+3)^2}$ (H.8).

b) Nêu mối quan hệ giữa sự tồn tại cực trị và dấu của đạo hàm.

Lý thuyết Cực trị của hàm số

Lời giải:

a,Hàm số y = -2x + 1 không có cực trị.

Hàm số $y = frac{x}{3(x+3)^2}$ đạt cực đại tại x = 1 và đạt cực tiểu tại x = 3.

b, Nếu hàm số có cực trị thì dấu của đạo hàm bên trái và bên phải điểm cực trị sẽ khác nhau.


Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 2 trang 16: Chứng minh hàm số y = |x| không có đạo hàm tại x = 0. Hàm số có đạt cực trị tại điểm đó không ?

Lời giải:

Lý thuyết Cực trị của hàm số

Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại x = 0.

Nhưng dựa vào đồ thị của hàm số y = |x|. Ta có hàm số đạt cực trị tại x = 0.

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 2 trang 16: Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm $f(x) = x(x^2 – 3)$.

Lời giải:

1. TXĐ: D = R

2. $f’(x) = 3x^2 – 3$. Cho f’(x) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = -1.

3. Ta có bảng biến thiên:

Lý thuyết Cực trị của hàm số

Hàm số đạt cực đại tại x = -1 và giá trị cực đại là 2

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và giá trị cực tiểu là -2.

The post Lý thuyết Cực trị của hàm số appeared first on Sách Toán – Học toán.

Goc hoc tap