Lý thuyết đồng biến, nghịch biến của hàm số

1. Định nghĩa

Kí hiệu: K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.

Cho hàm số (y=f(x)) xác định trên K.

  • Hàm số (y=f(x)) đồng biến (tăng) trên K nếu (left{ {begin{array}{*{20}{c}} {{x_1},{x_2} in K}\ {{x_1} < {x_2}} end{array}} right. Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})).
  • Hàm số (y=f(x)) nghịch biến (giảm) trên K nếu (left{ {begin{array}{*{20}{c}} {{x_1},{x_2} in K}\ {{x_1} < {x_2}} end{array}} right. Rightarrow f({x_1}) > f({x_2})).

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu

Cho hàm số (y=f(x)) có đạo hàm trên K:

  • Nếu (f(x)) đồng biến trên K thì (f'(x)geq 0) với mọi (xin K).
  • Nếu (f(x)) nghịch biến trên K thì (f'(x)leq 0) với mọi (xin K).

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

Cho hàm số (y=f(x)) có đạo hàm trên K:

  • Nếu (f'(x)geq 0) với mọi (xin K) và (f'(x)=0) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì (f(x)) đồng biến trên K.
  • Nếu (f'(x)leq 0) với mọi (xin K) và (f'(x)=0) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì (f(x)) nghịch biến trên K.
  • Nếu (f'(x)=0) với mọi (xin K) thì (f(x)) là hàm hằng trên K.

4. Các bước xét tính đơn điệu của hàm số

  • Bước 1: Tìm tập xác định
  • Bước 2: Tính đạo hàm (f'(x)=0). Tìm các điểm (x_i) (i= 1 , 2 ,…, n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
  • Bước 3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
  • Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Chú ý:
1) Dấu của f(x) = ax + b ((aneq 0))
Lý thuyết đồng biến, nghịch biến của hàm số
2) Dấu của f(x) = ax2 + bx + c ((aneq 0))
(Delta <0) thì f(x) cùng dấu a  Lý thuyết đồng biến, nghịch biến của hàm số
(Delta =0) thì f(x) cùng dấu với a Lý thuyết đồng biến, nghịch biến của hàm số
(forall xneq -frac{b}{2a}(f(-frac{b}{2a})=0))
(Delta >0) thì f(x) = 0 có 2 nghiệm (x_1.x_2(x_1Lý thuyết đồng biến, nghịch biến của hàm số
Quy tắc:  “Trong trái Ngoài cùng”

 

The post Lý thuyết đồng biến, nghịch biến của hàm số appeared first on Sách Toán – Học toán.

Goc hoc tap