Giải bài tập SGK Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ – Hình học 10
********
Câu 1 (Trang 12 SGK)
Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B sao cho $AM > MB$. Vẽ các vec tơ $overrightarrow{MA} +overrightarrow{MB}$ và $overrightarrow{MA} -overrightarrow{MB}$.
Hướng dẫn giải:
Trên đoạn MA, lấy điểm C sao cho: $overrightarrow{AC} =overrightarrow{MB}$
=> $overrightarrow{MA} +overrightarrow{MB}=$overrightarrow{MA} +overrightarrow{AC}$
<=> $overrightarrow{MA} +overrightarrow{MB}=overrightarrow{MC}$
Tương tự: $overrightarrow{MA} -overrightarrow{MB}=overrightarrow{MA}+(-overrightarrow{MB})$
<=> $overrightarrow{MA} +overrightarrow{BM}=overrightarrow{BA}$.
Câu 2 (Trang 12 SGK)
Cho hình bình hành ABCD và điểm M tùy ý. Chứng minh rằng: $overrightarrow{MA} +overrightarrow{MC}=overrightarrow{MB}+overrightarrow{MD}$
Hướng dẫn giải:
Vì ABCD là hình bình hành => $overrightarrow{BA} =-overrightarrow{DC}$
=> $overrightarrow{BA} +overrightarrow{DC}=overrightarrow{0}$
Mặt khác: $overrightarrow{MA} +overrightarrow{MC}=(overrightarrow{MB}+overrightarrow{BA})+(overrightarrow{MD}+overrightarrow{DC})$
<=>$overrightarrow{MA}+overrightarrow{MC}=overrightarrow{MB}+overrightarrow{MD}+overrightarrow{BA}+overrightarrow{DC}$
<=> $overrightarrow{MA} +overrightarrow{MC}=overrightarrow{MB}+overrightarrow{MD}$ (đpcm)
Câu 3 (Trang 12 SGK)
Chứng minh rằng đối với tứ giác ABCD bất kỳ ta luôn có:
a) $overrightarrow{AB} +overrightarrow{BC}+overrightarrow{CD}+overrightarrow{DA}=overrightarrow{0}$
b) $overrightarrow{AB} -overrightarrow{AD}=overrightarrow{CB}+overrightarrow{CD}$
Hướng dẫn giải:
Ta có:
a) $overrightarrow{AB} +overrightarrow{BC}+overrightarrow{CD}+overrightarrow{DA}$
= $(overrightarrow{AB} +overrightarrow{BC})+(overrightarrow{CD}+overrightarrow{DA})$
= $overrightarrow{AC} +overrightarrow{CA}=overrightarrow{AA}=overrightarrow{0}$ (đpcm)
b) $overrightarrow{AB} -overrightarrow{AD}=overrightarrow{AB} +overrightarrow{DA}=overrightarrow{DB}$
$overrightarrow{CB}+overrightarrow{CD}=overrightarrow{DB}$
=> $overrightarrow{AB} -overrightarrow{AD}=overrightarrow{CB}+overrightarrow{CD}$ (đpcm)
Câu 4 (Trang 12 SGK)
Cho tam giác ABC. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành: ABIJ, BCPQ, CARS.
Chứng minh rằng: $overrightarrow{RJ} +overrightarrow{IQ}+overrightarrow{PS}=overrightarrow{0}$
Hướng dẫn giải:
Ta có: $overrightarrow{AJ} =overrightarrow{BI}=-overrightarrow{IB}$
$overrightarrow{CS} =-overrightarrow{RA}$
$overrightarrow{PC} =-overrightarrow{BQ}$
=> $overrightarrow{RJ} +overrightarrow{IQ}+overrightarrow{PS}
= $(overrightarrow{RA} +overrightarrow{AJ})+(overrightarrow{IB}+overrightarrow{BQ})(overrightarrow{PC}+overrightarrow{CS})$
= $(overrightarrow{RA} +overrightarrow{-IB})+(overrightarrow{IB}+overrightarrow{-PC})+(overrightarrow{PC}+overrightarrow{-RA})$
= $(overrightarrow{IB} +overrightarrow{-IB})+(overrightarrow{PC}+overrightarrow{-PC})+(overrightarrow{RA}+overrightarrow{-RA})=overrightarrow{0}$ ( đpcm )
Câu 5 (Trang 12 SGK)
Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Tính độ dài của các vectơ $overrightarrow{AB} +overrightarrow{BC}$ và $overrightarrow{AB} -overrightarrow{BC}$.
Hướng dẫn giải:
Ta có : $overrightarrow{AB} +overrightarrow{BC}=overrightarrow{AC}$
=> $left |overrightarrow{AB} +overrightarrow{BC} right |=AC=a$
Kẻ $overrightarrow{AD} =overrightarrow{BC}$
=> $overrightarrow{AB} -overrightarrow{BC}=overrightarrow{AB} -overrightarrow{AD}=overrightarrow{DB}$
Gọi I là giao điểm của AC và BD.
Mà ABCD là hình thoi => I là trung điểm BD và vuông tại I.
=> $BI=ABsin A=asin 60^{circ}=frac{asqrt{3}}{2}$
=> $BD=2BI=asqrt{3}$
=> $left |overrightarrow{AB} -overrightarrow{BC} right |=asqrt{3}$.
Câu 6 (Trang 12 SGK)
Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Chứng minh rằng:
a) $overrightarrow{CO}-overrightarrow{OB}=overrightarrow{BA}$
b) $overrightarrow{AB}-overrightarrow{BC}=overrightarrow{DB}$
c) $overrightarrow{DA}-overrightarrow{DB}=overrightarrow{OA}-overrightarrow{OB}$
d) $overrightarrow{DA}-overrightarrow{DB}+overrightarrow{DC}=overrightarrow{0}$
Hướng dẫn giải:
Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có:
a) $overrightarrow{CO}-overrightarrow{OB}$
= $overrightarrow{CO}+overrightarrow{OD}$
= $overrightarrow{CD}=overrightarrow{BA}$ (đpcm)
b) $overrightarrow{AB}-overrightarrow{BC}$
= $overrightarrow{AB}+(-overrightarrow{BC})$
= $overrightarrow{AB}+overrightarrow{DA}$
= $overrightarrow{DB}$ (đpcm)
c) Ta có : $overrightarrow{DA}-overrightarrow{DB}=overrightarrow{BA}$
$overrightarrow{OA}-overrightarrow{OB}=overrightarrow{OD}-overrightarrow{OC}=overrightarrow{CD}$
Mà $overrightarrow{BA}=overrightarrow{CD}$
=> $overrightarrow{DA}-overrightarrow{DB}=overrightarrow{OA}-overrightarrow{OB}$ (đpcm)
d) $overrightarrow{DA}-overrightarrow{DB}+overrightarrow{DC}$
= $overrightarrow{BA}+overrightarrow{DC}$
= $overrightarrow{BA}+overrightarrow{AB}=overrightarrow{0}$ (đpcm)
Câu 7 (Trang 12 SGK)
Cho vectơ a, b là hai vectơ khác vectơ 0. Khi nào có đẳng thức:
a) $left | overrightarrow{a} +overrightarrow{b}right |=left | overrightarrow{a} right |+left | overrightarrow{b} right |$
b) $left | overrightarrow{a} +overrightarrow{b}right |=left | overrightarrow{a}-overrightarrow{b} right |$
Hướng dẫn giải:
a) Để $left | overrightarrow{a} +overrightarrow{b}right |=left | overrightarrow{a} right |+left | overrightarrow{b} right |$ xảy ra
<=> $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ cùng hướng.
b) Để $left | overrightarrow{a} +overrightarrow{b}right |=left | overrightarrow{a}-overrightarrow{b} right |$ xảy ra
<=> $overrightarrow{a}$ vuông góc với $overrightarrow{b}$.
Câu 8 (Trang 12 SGK)
Cho $left | overrightarrow{a} +overrightarrow{b}right |= overrightarrow{0}$.
So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ a và b.
Hướng dẫn giải:
Theo bài ra: $left | overrightarrow{a} +overrightarrow{b}right |= overrightarrow{0}$
=> $overrightarrow{a} =-overrightarrow{b}$
=> Hai vec tơ cùng phương , cùng độ lớn và ngược chiều.
Câu 9 (Trang 12 SGK)
Chứng minh rằng : $overrightarrow{AB} =overrightarrow{CD}$ khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.
Hướng dẫn giải:
Nếu $overrightarrow{AB} =overrightarrow{CD}$
=> AB // CD
AB = CD
=> ABCD là hình bình hành.
Khi đó AD và BC có trung điểm trùng nhau.
Mặt khác: Nếu trung điểm AD và BC trùng nhau
=> Tứ giác ABCD là hình bình hành.
=> $overrightarrow{AB} =overrightarrow{CD}$ (đpcm )
Câu 10 (Trang 12 SGK)
Cho ba lực $overrightarrow{F_{1}} =overrightarrow{MA}$ ; $overrightarrow{F_{2}} =overrightarrow{MB}$ , $overrightarrow{F_{3}} =overrightarrow{BC}$ cùng tác động
vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết cường độ của hai lực $F_{1}, F_{2}$ đều là 100N và $widehat{AMB}=60^{circ}$.
Tìm cường độ và hướng của lực $F_{3}$.
Hướng dẫn giải:
Theo bài ra: $MA=MB=100N$
$widehat{AMB}=60^{circ}$
=> $triangle AMB$ là tam giác đều.
=> $MH=frac{MAsqrt{3}}{2}=50sqrt{3}(N)$
Vì AMBC là hình thoi => MC = 2MH.
=> $MC = 100sqrt{3}(N)=F_{3}$
Vậy $F_{3}=100sqrt{3}(N)$ và có hướng là tia phân giác của $widehat{AMB}$.
Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ
