Ôn tập chương II – Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit – Giải SBT chương 2 Giải tích 12 nâng cao

Ôn tập chương II – Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit – Giải SBT chương 2 Giải tích 12 nâng cao


Câu 2.126.

a) Nếu ({a^{{3 over 4}}} > {a^{{4 over 5}}}) và ({log _b}{1 over 2} < {log _b}{2 over 3}) thì

(A) a > 1, b > 1                               (B) 0 < a < 1, b > 1

(C) a > 1, 0 < b < 1                        (D) 0 < a < 1, 0 < b < 1

b) Nếu ({a^{{{13} over 7}}} < {a^{{{15} over 8}}}) và ({log _b}left( {sqrt 2  + sqrt 5 } right) > {log _b}left( {2 + sqrt 3 } right)) thì

(A) a > 1, b > 1                                (B) 0 < a < 1, b > 1

(C) a > 1, 0 < b < 1                         (D) 0 < a < 1, 0 < b < 1

c) Nếu ({left( {sqrt 6  – sqrt 5 } right)^x} > sqrt 6  + sqrt 5 ) thì

(A) x > 1                                  (B) x < 1                                 

(C) x > -1                                (D) x < -1

Giải

a) Chọn (B);            b) Chọn (C);           c) Chọn (D).

——————————————-

Câu 2.127

a) Giá trị của ({log _{{a^3}}}a(a > 0,a ne 1)) bằng

(A) 3                                  (B) ({1 over 3})                   

(C) -3                                (D) ( – {1 over 3})

b) Giá trị của ({a^{{{log }_{sqrt a }}4}}(a > 0,a ne 1)) bằng

(A) 4                            (B) 2                           

(C) 16                          (D) ({1 over 2})

c) Giá trị của ({a^{4{{log }_{{a^2}}}5}}(a > 0,a ne 1))

(A)({5^8})                             (B) ({5^2})                            

(C) ({5^4})                            (D) 5

Giải

a) Chọn (B), vì ({log _{{a^3}}}a = {1 over 3}) ({log _a}a = {1 over 3})

b) Chọn (C), vì ({a^{{{log }_{sqrt a }}4}} = {a^{2{{log }_a}4}} = {a^{{{log }_a}{4^2}}} = 16)

c) Chọn (B). vì ({a^{4{{log }_{{a^2}}}5}} = {a^{2{{log }_a}5}} = {a^{{{log }_a}{5^2}}} = {5^2}).

——————————————-

Câu 2.128

Nếu ({log _{12}}6 = a) và ({log _{12}}7 = b) thì

(A) ({log _2}7 = {a over {a – 1}})                  (B)  ({log _2}7 = {a over {1 – b}})

(C) ({log _2}7 = {a over {1 + b}})                 (D) ({log _2}7 = {b over {1 – a}})

Giải

Chọn (D), vì

({log _2}7 = {{{{log }_{12}}7} over {{{log }_{12}}2}} = {{{{log }_{12}}7} over {{{log }_{12}}12 – {{log }_{12}}6}} = {b over {1 – a}}).

——————————————-

Câu 2.129

a) Nếu (log 3 = a) thì (log 9000) bằng

(A) ({a^2} + 3)                                  (B)  (3 + 2a)                         

(C) (3{a^2})                                      (D) ({a^2})

b) Nếu (log 3 = a) thì ({1 over {{{log }_{81}}100}}) bằng

(A)({a^4})                             (B) ({a over 8})                               

(C) 2a                           (D) 16a

Giải

a) chọn (B) , vì

(log 9000 = log 9 + log 1000 = 2log 3 + 3 = 2a + 3)

b) Chọn (C), vì

({1 over {{{log }_{81}}100}} = {{log 81} over {log 100}} = {{4log 3} over 2} = {{4a} over 2} = 2a) .

——————————————-

Bài 2.130. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai ? Giải thích tại sao.

a) ({log _2}5 > 0)                              b) ({log _{0,2}}0,8 < 0)

c) ({log _{{1 over 5}}}sqrt 7  > 0)                          d) ({log _3}4 > lo{g_4}{1 over 3})

Giải

a) Đúng, vì ({log _2}5 > {log _2}1 = 0)

b) Sai, vì ({log _{0,2}}0,8 > {log _{0,2}}1 = 0)

c) Sai, vì  ({log _{{1 over 5}}}sqrt 7  < {log _{{1 over 5}}}1 = 0)

d) Đúng, vì ({log _3}4 = {{{{log }_4}4} over {{{log }_4}3}} = {1 over {{{log }_4}3}} > 0 >  – {log _4}3 = {log _4}{1 over 3})

Hoặc có thể giải thích ({log _3}4 > {log _3}3 = 1 = {log _4}4 > {log _4}{1 over 3}).

————————————————-

Bài 2.132

Cho a > 3b > 0 và ({a^2} + 9{b^2} = 10ab). Chứng minh rằng

(log (a – 3b) – log2 = {1 over 2}(log a + log b)).

Giải

Từ ({a^2} + 9{b^2} = 10ab) ta có ({(a – 3b)^2} = 4ab)Lôgarit cớ số 10 hai vế, ta được

 (log{(a – 3b)^2} = log 4ab)

 ( Leftrightarrow 2log(a – 3b) = log 4 + log ab)

( Leftrightarrow log(a – 3b) – log2 = {1 over 2}(log a + log b)).

—————————————————

Bài 2.133 Tính đạo hàm của các hàm số sau trên tập xác định của nó:

a) (y = {e^{3x + 1}}cos 2x)            b) (y = ln sqrt {{x^3} – 1} )

c) (y = {log _2}left( {{x^2} + {e^x}} right))        d) (y = {5^{{rm{cos}}x{rm{ + }}sin x}})

Giải

a) (y’ = 3{e^{3x + 1}}cos 2x – 2{e^{3x + 1}}sin 2x)           

b) (y’ = {{3{x^2}} over {2({x^3} – 1)}})

c) (y’ = {{2x + {e^x}} over {({x^2} + {e^x})ln 2}})                      

d) (y’ = {5^{{rm{cos}}x{rm{ + }}sin x}}.( – sin x + cos x)ln5)

—————————————————-

Bài 2.134 Cho 3 số dương a, b, c đôi một khác nhau và khác 1. Chứng minh rằng

a) (log _a^2{b over c} = log _a^2{c over b})                 b) ({log _a}b{log _b}c{log _c}a = 1)  

c) Trong ba số  (log _{{a over b}}^2{c over b},log _{{c over b}}^2{a over c},log _{{c over a}}^2{b over a}) luôn có ít nhất một số lớn hơn 1.       

Giải

a) Do ({log _a}{b over c} =  – {log _a}{c over b}) nên (log _a^2{b over c} = log _a^2{c over b})

b) ({log _a}b{log _b}c{log _c}a = {log _b}c{log _c}{a^{{{log }_a}b}} = {log _b}c{log _c}b = 1)

c) Từ câu a) suy ra

(log _{{a over b}}^2{c over b} = log _{{a over b}}^2{b over c};log _{{b over c}}^2{a over c} = log _{{b over c}}^2{c over a};log _{{c over a}}^2{b over a} = log _{{c over a}}^2{a over b})

Do đó (log _{{a over b}}^2{c over b}.log _{{b over c}}^2{a over c}log _{{c over a}}^2{b over a} = log _{{a over b}}^2{b over c}log _{{b over c}}^2{c over a}log _{{c over a}}^2{a over b} = 1)

Vì vậy suy ra điều cần chứng minh.

—————————————————–

Bài 2.135 Giải các phương trình sau:

a) ({9.243^{{{x + 5} over {x – 7}}}} = {2187^{{{x + 17} over {x – 3}}}})

b) ({4^{sqrt {{x^2} + 5}  – x}} – {2^{sqrt {{x^2} + 5}  – x + 2}} =  – 4)

c) ({left| {2005 – x} right|^{2006}} + {left| {2006 – x} right|^{2005}} = 1)

d) ({3^x} – {3^{ – x}} = root 3 of {8 – {x^2}} )

Giải

a) Đưa cả hai vế về lũy thừa cùng cơ số 3.

(eqalign{
& Leftrightarrow {3^2}{.3^{5.{{x + 5} over {x – 7}}}} = {3^{7.{{x + 17} over {x – 3}}}} cr
& Leftrightarrow 2 + {{5left( {x + 5} right)} over {x – 7}} = {{7.left( {x + 17} right)} over {x – 3}} cr} )

Giải ra ta được: (x=10)

b) Đặt (t = {2^{sqrt {{x^2} + 5}  – x}}) ( với t > 0) ta có:

(eqalign{
& {t^2} – 4t + 4 = 0 cr
& Leftrightarrow t = 2 Rightarrow sqrt {{x^2} + 5} – x = 1 cr} )

Giải ra ta được: (x = 2)

c)

Nhận xét  (x = 2005) và (x = 2006) là hai nghiệm, rồi chứng tỏ không còn nghiệm nào khác như sau :

( bullet ) Với (x < 2005) hoặc (x > 2006), dễ thấy vế trái lớn hơn vế phải.

( bullet ) Với (2005 < x < 2006) thì (0 < left| {2005 – x} right| < 1,0 < left| {2006 – x} right| < 1)

Do đó ({left| {2005 – x} right|^{2006}} < left| {2005 – x} right| = x – 2005)

({left| {2006 – x} right|^{2005}} < left| {2006 – x} right| = 2006 – x)

Dẫn đến vế trái nhỏ hơn vế phải.

d) (x = 0)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si chỉ ra hai vế trái không nhỏ hơn 2, còn dễ thấy vế phải không nhỏ hơn 2.

—————————————————

Bài 2.137 Giải các hệ phương trình sau:

a) (left{ matrix{{5^x}{.2^y} = 500 hfill cr {log _{sqrt 2 }}left( {2x – y} right) = 4 hfill cr}  right.)                                                        

b) (left{ matrix{  {log _{27}}xy = 3{log _{27}}x{log _{27}}y hfill cr   {log _3}{x over y} = {{3{{log }_3}x} over {4{{log }_3}y}} hfill cr}  right.)

Giải

a)

Biến đổi phương trình về dạng

(left{ matrix{ {5^x}{.2^y} = 500 hfill cr  2x – y = 4 hfill cr}  right. Leftrightarrow left{ matrix{ {5^x}{.2^{2x – 4}} = 500 hfill cr  y = 2x – 4 hfill cr}  right.)

(Leftrightarrow left{ matrix{  {20^x} = {20^3} hfill cr  y = 2x – 4 hfill cr}  right.)

(Leftrightarrow left{ matrix{  x = 3 hfill cr y = 2 hfill cr}  right.)

b)

. Đưa về cùng lôgarit cơ số 3, ta có

(left{ matrix{{log _{27}}xy = 3{log _{27}}x.{log _{27}}y hfill cr{log _3}{x over y} = {{3{{log }_3}x} over {4{{log }_3}y}} hfill cr}  right. )

(Leftrightarrow left{ matrix{{log _3}x + 3{log _3}y = {log _3}x{log _3}y hfill cr{log _3}x – {log _3}y = {{3{{log }_3}x} over {4{{log }_3}y}} hfill cr}  right.)

Rồi đặt (u = {log _3}x,v = {log _3}y) ta được hệ phương trình (left{ matrix{u + v = uv hfill cr u – v = {{3u} over {4v}} hfill cr}  right.)

Giải hệ rồi tìm x, y ta được:

 (left( {x;y} right) = left( {{1 over 3};sqrt 3 } right);(x;y) = (27;3sqrt 3 ))

—————————————————–

Bài 2.138 Giải các bất phương trình sau:

a) (left| {{{log }_4}x – 3} right| < 1)

b) ({log _2}x + {log _3}x < 1 + {log _2}x{log _3}x)

c) ({15^{2x + 3}} > {5^{3x + 1}}{.3^{x + 5}})

d) ({{{{log }^2_{a}}x.{{log }_a}x + 2} over {{{log }_a}x – 2}} > 1) với a > 0 và (a ne 1)

Giải

a)

Cách 1. (left| {{{log }_4}x – 3} right| < 1 Leftrightarrow {({log _4}x – 3)^2} < 1)

(Leftrightarrow log _4^2x – 6{log _4}x + 8 < 0)

( Leftrightarrow 2 < {log _4}x < 4 Leftrightarrow 16 < x < 256).

Cách  2.(left| {{{log }_4}x – 3} right| < 1 Leftrightarrow  – 1 < {log _4}x – 3 < 1)

(Leftrightarrow 2<{log _4}x < 4)

( Leftrightarrow 16 < x < 256).

b) 

Biến đổi bất phương trình về dạng

                                (({log _2}x – 1)(1 – {log _3}x) < 0)

Xảy ra hai trường hợp

( bullet left{ matrix{{log _2}x – 1 > 0 hfill cr1 – {log _3}x < 0 hfill cr}  right. Leftrightarrow left{ matrix{x > 2 hfill cr x > 3 hfill cr}  right. Leftrightarrow x > 3)

( bullet left{ matrix{ {log _2}x – 1 < 0 hfill cr1 – {log _3}x > 0 hfill cr}  right. Leftrightarrow left{ matrix{0 < x < 2 hfill cr0 < x < 3 hfill cr}  right. Leftrightarrow 0 < x < 2)

c) Chia cả hai vế của bất phương trình cho ({15^{2x + 3}})

(eqalign{
& Leftrightarrow {left( {{5 over 3}} right)^x} < {{25} over 9} cr
& Leftrightarrow {left( {{5 over 3}} right)^x} < {left( {{5 over 3}} right)^2} cr
& Leftrightarrow x < 2 cr} )

d) Đặt ({log _a}x = t) (với (t ne 2)), ta có ({{{t^2} + t + 2} over {t – 2}} > 1 Leftrightarrow t > 2), tức là ({log _a}x > 2). Sau đó xét hai khả năng (a > 1,0 < a < 1)

Kết luận:

Với a > 1 thì (x > {a^2})

Với 0 < a < 1 thì  0 < x <({a^2})

 

The post Ôn tập chương II – Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit – Giải SBT chương 2 Giải tích 12 nâng cao appeared first on Sách Toán – Học toán.

Goc hoc tap