Ôn tập Chương II – Phân thức đại số – Sách bài tập Toán 8 tập 1

Ôn tập Chương II – Phân thức đại số – Sách bài tập Toán 8 tập 1


Bài 58 trang 39 SBT Toán 8 tập 1

Thực hiện các phép tính :

a. (left( {{9 over {{x^3} – 9x}} + {1 over {x + 3}}} right):left( {{{x – 3} over {{x^2} + 3x}} – {x over {3x + 9}}} right))

b. (left( {{2 over {x – 2}} – {2 over {x + 2}}} right).{{{x^2} + 4x + 4} over 8})

c. (left( {{{3x} over {1 – 3x}} + {{2x} over {3x + 1}}} right):{{6{x^2} + 10x} over {1 – 6x + 9{x^2}}})

d. (left( {{x over {{x^2} – 25}} – {{x – 5} over {{x^2} + 5x}}} right):{{2x – 5} over {{x^2} + 5x}} + {x over {5 – x}})

e. (left( {{{{x^2} + xy} over {{x^3} + {x^2}y + x{y^2} + {y^3}}} + {y over {{x^2} + {y^2}}}} right):left( {{1 over {x – y}} – {{2xy} over {{x^3} – {x^2}y + x{y^2} – {y^3}}}} right))

Giải: a. (left( {{9 over {{x^3} – 9x}} + {1 over {x + 3}}} right):left( {{{x – 3} over {{x^2} + 3x}} – {x over {3x + 9}}} right))

(eqalign{  &  = left[ {{9 over {xleft( {x + 3} right)left( {x – 3} right)}} + {1 over {x + 3}}} right]:left[ {{{x – 3} over {xleft( {x + 3} right)}} – {x over {3left( {x + 3} right)}}} right]  cr  &  = {{9 + xleft( {x – 3} right)} over {xleft( {x + 3} right)left( {x – 3} right)}}:{{3left( {x – 3} right) – {x^2}} over {3xleft( {x + 3} right)}} = {{{x^2} – 3x + 9} over {xleft( {x + 3} right)left( {x – 3} right)}}.{{3xleft( {x + 3} right)} over {3x – 9 – {x^2}}}  cr  &  = {{3left( {{x^2} – 3x + 9} right)} over {left( {3 – x} right)left( {{x^2} – 3x + 9} right)}} = {3 over {3 – x}} cr} )

b. (left( {{2 over {x – 2}} – {2 over {x + 2}}} right).{{{x^2} + 4x + 4} over 8})( = {{2left( {x + 2} right) – 2left( {x – 2} right)} over {left( {x – 2} right)left( {x + 2} right)}}.{{{{left( {x + 2} right)}^2}} over 8})

( = {{2x + 4 – 2x + 4} over {left( {x – 2} right)left( {x + 2} right)}}.{{{{left( {x + 2} right)}^2}} over 8} = {8 over {left( {x – 2} right)left( {x + 2} right)}}.{{{{left( {x + 2} right)}^2}} over 8} = {{x + 2} over {x – 2}})

c. (left( {{{3x} over {1 – 3x}} + {{2x} over {3x + 1}}} right):{{6{x^2} + 10x} over {1 – 6x + 9{x^2}}})( = {{3xleft( {3x + 1} right) + 2xleft( {1 – 3x} right)} over {left( {1 – 3x} right)left( {1 + 3x} right)}}:{{2xleft( {3x + 5} right)} over {{{left( {1 – 3x} right)}^2}}})

(eqalign{  &  = {{9{x^2} + 3x + 2x – 6{x^2}} over {left( {1 – 3x} right)left( {1 + 3x} right)}}.{{{{left( {1 – 3x} right)}^2}} over {2xleft( {3x + 5} right)}} = {{xleft( {3x + 5} right)} over {left( {1 – 3x} right)left( {1 + 3x} right)}}.{{{{left( {1 – 3x} right)}^2}} over {2xleft( {3x + 5} right)}}  cr  &  = {{1 – 3x} over {2left( {1 + 3x} right)}} cr} )

d. (left( {{x over {{x^2} – 25}} – {{x – 5} over {{x^2} + 5x}}} right):{{2x – 5} over {{x^2} + 5x}} + {x over {5 – x}})

(eqalign{ &  = left[ {{x over {left( {x + 5} right)left( {x – 5} right)}} – {{x – 5} over {xleft( {x + 5} right)}}} right]:{{2x – 5} over {xleft( {x + 5} right)}} + {x over {5 – x}}  cr  &  = {{{x^2} – {{left( {x – 5} right)}^2}} over {xleft( {x + 5} right)left( {x – 5} right)}}.{{xleft( {x + 5} right)} over {2x – 5}} + {x over {5 – x}}  cr  &  = {{{x^2} – {x^2} + 10x – 25} over {left( {x – 5} right)left( {2x – 5} right)}} + {x over {5 – x}} = {{5left( {2x – 5} right)} over {left( {x – 5} right)left( {2x – 5} right)}} – {x over {x – 5}}  cr  &  = {5 over {x – 5}} – {x over {x – 5}} = {{5 – x} over {x – 5}} = {{ – left( {x – 5} right)} over {x – 5}} =  – 1 cr} )

e. (left( {{{{x^2} + xy} over {{x^3} + {x^2}y + x{y^2} + {y^3}}} + {y over {{x^2} + {y^2}}}} right):left( {{1 over {x – y}} – {{2xy} over {{x^3} – {x^2}y + x{y^2} – {y^3}}}} right))

(eqalign{  &  = left[ {{{{x^2} + xy} over {left( {{x^2} + {y^2}} right)left( {x + y} right)}} + {y over {{x^2} + {y^2}}}} right]:left[ {{1 over {x – y}} – {{2xy} over {left( {{x^2} + {y^2}} right)left( {x – y} right)}}} right]  cr  &  = {{{x^2} + xy + yleft( {x + y} right)} over {left( {{x^2} + {y^2}} right)left( {x + y} right)}}:{{{x^2} + {y^2} – 2xy} over {left( {{x^2} + {y^2}} right)left( {x – y} right)}}  cr  &  = {{{x^2} + xy + xy + {y^2}} over {left( {{x^2} + {y^2}} right)left( {x + y} right)}}.{{left( {{x^2} + {y^2}} right)left( {x – y} right)} over {{{left( {x – y} right)}^2}}}  cr  &  = {{{{left( {x + y} right)}^2}} over {left( {{x^2} + {y^2}} right)left( {x + y} right)}}.{{left( {{x^2} + {y^2}} right)left( {x – y} right)} over {{{left( {x – y} right)}^2}}} = {{x + y} over {x – y}} cr} )


Bài 59 trang 40 SBT Toán 8

Chứng minh đẳng thức :

a. (left( {{{{x^2} – 2x} over {2{x^2} + 8}} – {{2{x^2}} over {8 – 4x + 2{x^2} – {x^3}}}} right)left( {1 – {1 over x} – {2 over {{x^2}}}} right) = {{x + 1} over {2x}})

b. (left[ {{2 over {3x}} – {2 over {x + 1}}.left( {{{x + 1} over {3x}} – x – 1} right)} right]:{{x – 1} over x} = {{2x} over {x – 1}})

c. (left[ {{2 over {{{left( {x + 1} right)}^3}}}.left( {{1 over x} + 1} right) + {1 over {{x^2} + 2x + 1}}.left( {{1 over {{x^2}}} + 1} right)} right]:{{x – 1} over {{x^3}}} = {x over {x – 1}})

HD giải: a. Biến đổi vế trái :

(left( {{{{x^2} – 2x} over {2{x^2} + 8}} – {{2{x^2}} over {8 – 4x + 2{x^2} – {x^3}}}} right)left( {1 – {1 over x} – {2 over {{x^2}}}} right))

(eqalign{  &  = left[ {{{{x^2} – 2x} over {2left( {{x^2} + 4} right)}} – {{2{x^2}} over {4left( {2 – x} right) + {x^2}left( {2 – x} right)}}} right]{{{x^2} – x – 2} over {{x^2}}}  cr  &  = left[ {{{{x^2} – 2x} over {2left( {{x^2} + 4} right)}} – {{2{x^2}} over {left( {2 – x} right)left( {4 + {x^2}} right)}}} right]{{{x^2} – x – 2} over {{x^2}}}  cr  &  = {{left( {{x^2} – 2x} right)left( {2 – x} right) – 4{x^2}} over {2left( {2 – x} right)left( {{x^2} + 4} right)}}.{{{x^2} – x – 2} over {{x^2}}}  cr  &  = {{2{x^2} – {x^3} – 4x + 2{x^2} – 4{x^2}} over {2left( {2 – x} right)left( {{x^2} + 4} right)}}.{{{x^2} – 2x + x – 2} over {{x^2}}}  cr  &  = {{ – xleft( {{x^2} + 4} right)} over {2left( {2 – x} right)left( {{x^2} + 4} right)}}.{{xleft( {x – 2} right) + left( {x – 2} right)} over {{x^2}}}  cr  &  = {{xleft( {{x^2} + 4} right)} over {2left( {x – 2} right)left( {{x^2} + 4} right)}}.{{left( {x – 2} right)left( {x + 1} right)} over {{x^2}}} = {{x + 1} over {2x}} cr} )

Vế trái bằng vế phải, vậy đẳng thức được chứng minh.

b. Biến đổi vế trái:

 (eqalign{  & left[ {{2 over {3x}} – {2 over {x + 1}}.left( {{{x + 1} over {3x}} – x – 1} right)} right]:{{x – 1} over x}  cr  &  = left[ {{2 over {3x}} – {2 over {x + 1}}.{{x + 1 – 3xleft( {x + 1} right)} over {3x}}} right].{x over {x – 1}}  cr  &  = left[ {{2 over {3x}} – {2 over {x + 1}}.{{left( {x + 1} right)left( {1 – 3x} right)} over {3x}}} right].{x over {x – 1}}  cr  &  = left[ {{2 over {3x}} – {{2left( {1 – 3x} right)} over {3x}}} right].{x over {x – 1}} = {{2 – 2 + 6x} over {3x}}.{x over {x – 1}} = 2.{x over {x – 1}} = {{2x} over {x – 1}} cr} )

Vế trái bằng vế phải, vậy đẳng thức được chứng minh.

c. Biến đổi vế trái :

(eqalign{  & left[ {{2 over {{{left( {x + 1} right)}^3}}}.left( {{1 over x} + 1} right) + {1 over {{x^2} + 2x + 1}}.left( {{1 over {{x^2}}} + 1} right)} right]:{{x – 1} over {{x^3}}}  cr  &  = left[ {{2 over {{{left( {x + 1} right)}^3}}}.{{x + 1} over x} + {1 over {{{left( {x + 1} right)}^2}}}.{{{x^2} + 1} over {{x^2}}}} right].{{{x^3}} over {x – 1}}  cr  &  = left[ {{2 over {x{{left( {x + 1} right)}^2}}} + {{{x^2} + 1} over {{x^2}{{left( {x + 1} right)}^2}}}} right].{{{x^3}} over {x – 1}} = {{2x + {x^2} + 1} over {{x^2}{{left( {x + 1} right)}^2}}}.{{{x^3}} over {x – 1}}  cr  &  = {{{{left( {x + 1} right)}^2}} over {{x^2}{{left( {x + 1} right)}^2}}}.{{{x^3}} over {x – 1}} = {x over {x – 1}} cr} )

Vế trái bằng vế phải, vậy đẳng thức được chứng minh.


Bài 60 trang 40

Biến đổi các biểu thức hữu tỉ thành phân thức :

a. ({{{x over {x – 1}} – {{x + 1} over x}} over {{x over {x + 1}} – {{x – 1} over x}}})

b. ({{{5 over 4} – {5 over {x + 1}}} over {{{9 – {x^2}} over {{x^2} + 2x + 1}}}})

Lời giải: a. ({{{x over {x – 1}} – {{x + 1} over x}} over {{x over {x + 1}} – {{x – 1} over x}}})( = left( {{x over {x – 1}} – {{x + 1} over x}} right):left( {{x over {x + 1}} – {{x – 1} over x}} right))

( = {{{x^2} – left( {x + 1} right)left( {x – 1} right)} over {xleft( {x – 1} right)}}:{{{x^2} – left( {x – 1} right)left( {x + 1} right)} over {xleft( {x + 1} right)}} = {1 over {xleft( {x – 1} right)}}.{{xleft( {x + 1} right)} over 1} = {{x + 1} over {x – 1}})

b. ({{{5 over 4} – {5 over {x + 1}}} over {{{9 – {x^2}} over {{x^2} + 2x + 1}}}})( = left( {{5 over 4} – {5 over {x + 1}}} right):left( {{{9 – {x^2}} over {{x^2} + 2x + 1}}} right) = {{5left( {x + 1} right) – 20} over {4left( {x + 1} right)}}:{{left( {3 + x} right)left( {3 – x} right)} over {{{left( {x + 1} right)}^2}}})

( = {{5left( {x – 3} right)} over {4left( {x + 1} right)}}.{{{{left( {x + 1} right)}^2}} over {left( {3 + x} right)left( {3 – x} right)}} = {{ – 5left( {3 – x} right)left( {x + 1} right)} over {4left( {3 + x} right)left( {3 – x} right)}} = {{ – 5left( {x + 1} right)} over {4left( {3 + x} right)}})


Bài 61

Một phân thức có giá trị bằng 0 khi giá trị của tử thức bằng 0 còn giá trị của mẫu thức khác 0. Ví dụ giá trị của phân thức ({{{x^2} – 25} over {x + 1}} = 0) khi ({x^2} – 25 = 0) và (x + 1 ne 0) hay (left( {x – 5} right)left( {x + 5} right) = 0) và(x ne  – 1). Vậy giá trị của phân thức này bằng 0 khi (x =  pm 5)

Tìm các giá trị của x để giá trị của mỗi phân thức sau bằng 0 :

a. ({{98{x^2} – 2} over {x – 2}})

b. ({{3x – 2} over {{x^2} + 2x + 1}})

Hướng dẫn: a.  ({{98{x^2} – 2} over {x – 2}})= 0 khi (98{x^2} – 2 = 0) và x – 2 ≠ 0

Ta có: x – 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ 2

(eqalign{  & 98{x^2} – 2 = 0 Rightarrow 2left( {49{x^2} – 1} right) = 0 Rightarrow left( {7x – 1} right)left( {7x + 1} right) = 0  cr  &  Rightarrow left[ {matrix{   {7x + 1 = 0}  cr   {7x – 1 = 0}  cr}  Rightarrow left[ {matrix{   {x =  – {1 over 7}}  cr   {x = {1 over 7}}  cr} } right.} right. cr} )

(x = {1 over 7})và (x =  – {1 over 7}) thỏa mãn điều kiện x ≠ 2

Vậy (x = {1 over 7}) hoặc (x =  – {1 over 7}) thì phân thức ({{98{x^2} – 2} over {x – 2}}) có giá trị bằng 0.

b. ({{3x – 2} over {{x^2} + 2x + 1}})( = {{3x – 2} over {{{left( {x + 1} right)}^2}}} = 0) khi 3x – 2 = 0 và ({left( {x + 1} right)^2} ne 0)

Ta có : ({left( {x + 1} right)^2} ne 0 Rightarrow x + 1 ne 0 Rightarrow x ne  – 1)

(3x – 2 = 0 Rightarrow x = {2 over 3})

(x = {2 over 3}) thỏa mãn điều kiện x ≠ – 1

Vậy (x = {2 over 3}) thì phân thức ({{3x – 2} over {{x^2} + 2x + 1}}) có giá trị bằng 0.


Bài 62 trang 40

Đối với mỗi biểu thức sau, hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định :

a. ({{2x – 3} over {{{x – 1} over {x + 2}}}})

b. ({{{{2{x^2} + 1} over x}} over {x – 1}})

c. ({{{x^2} – 25} over {{{{x^2} – 10x + 25} over x}}})

d. ({{{x^2} – 25} over {{{{x^2} + 10x + 25} over {x – 5}}}})

Trả lời: a. ({{2x – 3} over {{{x – 1} over {x + 2}}}}) biểu thức xác định khi x – 1 ≠ 0 và x + 2 ≠ 0

⇒ x ≠ 1 và x ≠ -2. Vậy điều kiện để biểu thức xác định x ≠ 1 và x ≠ – 2

b. ({{{{2{x^2} + 1} over x}} over {x – 1}}) biểu thức xác định khi  và x – 1 ≠ 0

⇒ x ≠ 0 và x ≠ 1.

Vậy điều kiện để biểu thức xác định  x ≠ 0 và x ≠ 1

c. ({{{x^2} – 25} over {{{{x^2} – 10x + 25} over x}}}) biểu thức xác định khi ({x^2} – 10x + 25 ne 0) và x ≠ 0

({x^2} – 10x + 25 ne 0 Rightarrow {left( {x – 5} right)^2} ne 0 Rightarrow x ne 5)

Vậy điều kiện để biểu thức xác định là x ≠ 0 và x ≠ 5

d. ({{{x^2} – 25} over {{{{x^2} + 10x + 25} over {x – 5}}}}) biểu thức xác định khi ({x^2} + 10x + 25 ne 0) và x – 5 ≠ 0.

(eqalign{  & {x^2} + 10x + 25 ne 0 Rightarrow {left( {x + 5} right)^2} ne 0 Rightarrow x ne  – 5  cr  & x – 5 ne 0 Rightarrow x ne 5 cr} )

Vậy điều kiện để biểu thức xác định x ≠ 5 và x ≠ -5


Bài 63 trang 40 SBT Toán 8 tập 1

Tìm giá trị của x để giá trị của các biểu thức trong bài tập 62 bằng 0

Hướng dẫn giải: a. ({{{{2x – 3} over {x – 1}}} over {x + 2}}) điều kiện x ≠ 1 và x ≠ -2

( Rightarrow {{left( {2x – 3} right)left( {x + 2} right)} over {x – 1}} = 0) biểu thức bằng 0 khi (left( {2x – 3} right)left( {x + 2} right) = 0) và (x – 1 ne 0)

(left( {2x – 3} right)left( {x + 2} right) = 0 Rightarrow 2x – 3 = 0)hoặc (x + 2 = 0)

(2x – 3 = 0 Rightarrow x = 1,5;x + 2 = 0 Rightarrow x =  – 2)

(x =  – 2) không thỏa mãn điều kiện, (x = 1,5) thỏa mãn điều kiện.

Vậy (x = 1,5) thì biểu thức ({{{{2x – 3} over {x – 1}}} over {x + 2}}) có giá trị bằng 0.

b. ({{{{2{x^2} + 1} over x}} over {x – 1}} = 0) điều kiện x ≠ 0 và x ≠ 1

( Rightarrow {{2{x^2} + 1} over {xleft( {x – 1} right)}} = 0) biểu thức có giá trị bằng 0 khi (2{x^2} + 1 = 0) và (xleft( {x – 1} right) ne 0)

Ta có: (2{x^2} ge 0 Rightarrow 2{x^2} + 1 ne 0) với mọi x

Vậy không có giá trị nào của x để biểu thức ({{{{2{x^2} + 1} over x}} over {x – 1}}) có giá trị bằng 0

c. ({{{x^2} – 25} over {{{{x^2} – 10x + 25} over x}}}) điều kiện x ≠ 0 và x ≠ 5

( Rightarrow {{left( {x + 5} right)left( {x – 5} right)x} over {{{left( {x – 5} right)}^2}}} = 0 Rightarrow {{xleft( {x + 5} right)} over {x – 5}} = 0)

Biểu thức có giá trị bằng 0 khi x (x + 5) = 0 và x – 5 ≠ 0

(xleft( {x + 5} right) = 0 Rightarrow x = 0) hoặc (x + 5 = 0 Rightarrow x =  – 5)

x = 0 không thỏa mãn điều kiện,

x = – 5 thỏa mãn điều kiện

Vậy x = -5 thì biểu thức ({{{x^2} – 25} over {{{{x^2} – 10x + 25} over x}}}) có giá trị bằng 0

d. ({{{x^2} – 25} over {{{{x^2} + 10x + 25} over {x – 5}}}})  điều kiện x ≠ 5 và x ≠ -5

( Rightarrow {{left( {x + 5} right)left( {x – 5} right)left( {x – 5} right)} over {{x^2} + 10x + 25}} = 0 Rightarrow {{left( {x + 5} right){{left( {x – 5} right)}^2}} over {{{left( {x + 5} right)}^2}}} = 0)

( Rightarrow {{{{left( {x – 5} right)}^2}} over {x + 5}} = 0). Biểu thức bằng 0 khi ({left( {x – 5} right)^2} = 0) và (x + 5 ne 0)

({left( {x – 5} right)^2} = 0 Rightarrow x – 5 = 0 Rightarrow x = 5)

(x = 5) không thỏa mãn điều kiện.

Vậy không có giá trị nào của x để biểu thức ({{{x^2} – 25} over {{{{x^2} + 10x + 25} over {x – 5}}}}) có giá trị bằng 0.


Bài 64 trang 41 – Ôn tập chương 2

Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định và chứng minh rằng với điều kiện đó biểu thức không phụ thuộc vào biến :

a. ({{x – {1 over x}} over {{{{x^2} + 2x + 1} over x} – {{2x + 2} over x}}})

b. ({{{x over {x + 1}} + {1 over {x – 1}}} over {{{2x + 2} over {x – 1}} – {{4x} over {{x^2} – 1}}}})

c. ({1 over {x – 1}} – {{{x^3} – x} over {{x^2} + 1}}.left( {{x over {{x^2} – 2x + 1}} – {1 over {{x^2} – 1}}} right))

d. (left( {{x over {{x^2} – 36}} – {{x – 6} over {{x^2} + 6x}}} right):{{2x – 6} over {{x^2} + 6x}} + {x over {6 – x}})

Bài giải: a.  ({{x – {1 over x}} over {{{{x^2} + 2x + 1} over x} – {{2x + 2} over x}}})

Ta có: (x – {1 over x}) xác định khi x ≠ 0

({{{x^2} + 2x + 1} over x} – {{2x + 2} over x}) xác định khi x ≠ 0

(eqalign{  & {{{x^2} + 2x + 1} over x} – {{2x + 2} over x} ne 0 Rightarrow {{{x^2} – 1} over x} ne 0 Rightarrow {x^2} – 1 ne 0  cr  &  Rightarrow left( {x + 1} right)left( {x – 1} right) ne 0 Rightarrow x ne  – 1;x ne 1 cr} )

Vậy với x ≠ 0, x ≠ 1 và x ≠ -1 thì biểu thức xác định.

({{x – {1 over x}} over {{{{x^2} + 2x + 1} over x} – {{2x + 2} over x}}})( = {{{{{x^2} – 1} over x}} over {{{{x^2} – 1} over x}}} = {{{x^2} – 1} over x}.{x over {{x^2} – 1}} = 1)

b.  ({{{x over {x + 1}} + {1 over {x – 1}}} over {{{2x + 2} over {x – 1}} – {{4x} over {{x^2} – 1}}}})

Ta có: ({x over {x + 1}} + {1 over {x – 1}}) xác định khi x + 1 ≠ 0 và x – 1 ≠ 0 ⇒ (x ne  pm 1)

({{2x + 2} over {x – 1}} – {{4x} over {{x^2} – 1}}) xác định khi x – 1 ≠ 0 và ({x^2} – 1 ne 0 Rightarrow x ne  pm 1)

({{2x + 2} over {x – 1}} – {{4x} over {{x^2} – 1}} ne 0 Rightarrow {{left( {2x + 2} right)left( {x + 1} right) – 4x} over {left( {x – 1} right)left( {x + 1} right)}} ne 0)

( Rightarrow {{2{x^2} + 2x + 2x + 2 – 4x} over {left( {x – 1} right)left( {x + 1} right)}} ne 0 Rightarrow {{2{x^2} + 2} over {left( {x + 1} right)left( {x – 1} right)}} ne 0) mọi x

Vậy điều kiện để biểu thức xác định x ≠ 1 và x ≠ -1

({{{x over {x + 1}} + {1 over {x – 1}}} over {{{2x + 2} over {x – 1}} – {{4x} over {{x^2} – 1}}}})( = {{{{xleft( {x – 1} right) + left( {x + 1} right)} over {left( {x + 1} right)left( {x – 1} right)}}} over {{{2{x^2} + 2} over {left( {x + 1} right)left( {x – 1} right)}}}} = {{{x^2} + 1} over {left( {x + 1} right)left( {x – 1} right)}}.{{left( {x + 1} right)left( {x – 1} right)} over {2left( {{x^2} + 1} right)}} = {1 over 2})

c. ({1 over {x – 1}} – {{{x^3} – x} over {{x^2} + 1}}.left( {{x over {{x^2} – 2x + 1}} – {1 over {{x^2} – 1}}} right))

Biểu thức xác định khi x – 1 ≠ 0, ({x^2} – 2x + 1 ne 0)và ({x^2} – 1 ne 0)

(eqalign{  & x – 1 ne 0 Rightarrow x ne 1  cr  & {x^2} – 2x + 1 ne 0 Rightarrow {left( {x – 1} right)^2} ne 0 Rightarrow x ne 1  cr  & {x^2} – 1 ne 0 Rightarrow left( {x + 1} right)left( {x – 1} right) ne 0 Rightarrow x ne  – 1;x ne 1 cr} )

Vậy biểu thức xác định với x ≠ -1 và x ≠ 1

Ta có: ({1 over {x – 1}} – {{{x^3} – x} over {{x^2} + 1}}.left( {{x over {{x^2} – 2x + 1}} – {1 over {{x^2} – 1}}} right))

(eqalign{  &  = {1 over {x – 1}} – {{xleft( {{x^2} – 1} right)} over {{x^2} + 1}}.left[ {{x over {{{left( {x – 1} right)}^2}}} – {1 over {left( {x + 1} right)left( {x – 1} right)}}} right]  cr  &  = {1 over {x – 1}} – {{xleft( {x + 1} right)left( {x – 1} right)} over {{x^2} + 1}}.{{xleft( {x + 1} right) – left( {x – 1} right)} over {left( {x + 1} right){{left( {x – 1} right)}^2}}}  cr  &  = {1 over {x – 1}} – {{xleft( {{x^2} + x – x + 1} right)} over {left( {{x^2} + 1} right)left( {x – 1} right)}} = {1 over {x – 1}} – {{xleft( {{x^2} + 1} right)} over {left( {{x^2} + 1} right)left( {x – 1} right)}} = {1 over {x – 1}} – {x over {x – 1}}  cr  &  = {{ – left( {x – 1} right)} over {x – 1}} =  – 1 cr} )

d. (left( {{x over {{x^2} – 36}} – {{x – 6} over {{x^2} + 6x}}} right):{{2x – 6} over {{x^2} + 6x}} + {x over {6 – x}})

Biểu thức xác định khi

(eqalign{  & {x^2} – 36 ne 0,{x^2} + 6x ne 0,6 – x ne 0,2x – 6 ne 0  cr  & {x^2} – 36 ne 0 Rightarrow left( {x – 6} right)left( {x + 6} right) ne 0 Rightarrow x ne 6;x ne  – 6  cr  & {x^2} + 6x ne 0 Rightarrow xleft( {x + 6} right) ne 0 Rightarrow x ne 0;x ne  – 6  cr  & 6 – x ne 0 Rightarrow x ne 6  cr  & 2x – 6 ne 0 Rightarrow x ne 3 cr} )

Vậy x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ 6 và x ≠ -6 thì biểu thức xác định.

Ta có : (left( {{x over {{x^2} – 36}} – {{x – 6} over {{x^2} + 6x}}} right):{{2x – 6} over {{x^2} + 6x}} + {x over {6 – x}})

(eqalign{  &  = left[ {{x over {left( {x + 6} right)left( {x – 6} right)}} – {{x – 6} over {xleft( {x + 6} right)}}} right]:{{2x – 6} over {xleft( {x + 6} right)}} + {x over {6 – x}}  cr  &  = {{{x^2} – {{left( {x – 6} right)}^2}} over {xleft( {x + 6} right)left( {x – 6} right)}}.{{xleft( {x + 6} right)} over {2left( {x – 3} right)}} + {x over {6 – x}} = {{{x^2} – {x^2} + 12x – 36} over {xleft( {x + 6} right)left( {x – 6} right)}}.{{xleft( {x + 6} right)} over {2left( {x – 3} right)}} + {x over {6 – x}}  cr  &  = {{12left( {x – 3} right)} over {x – 6}}.{1 over {2left( {x – 3} right)}} + {x over {6 – x}} = {6 over {x – 6}} – {x over {x – 6}} = {{ – left( {x – 6} right)} over {x – 6}} =  – 1 cr} )


Bài 65 trang 41

Chứng minh rằng :

a. Giá trị của biểu thức ({left( {{{x + 1} over x}} right)^2}:left[ {{{{x^2} + 1} over {{x^2}}} + {2 over {x + 1}}left( {{1 over x} + 1} right)} right]) bằng 1 với mọi giá trị x ≠ 0 và x ≠ -1

 b. Giá trị của biểu thức ({x over {x – 3}} – {{{x^2} + 3x} over {2x + 3}}.left( {{{x + 3} over {{x^2} – 3x}} – {x over {{x^2} – 9}}} right)) bằng 1 khi (x ne 0,x ne  – 3,x ne 3,x ne  – {3 over 2})

Trả lời: a. ({left( {{{x + 1} over x}} right)^2}:left[ {{{{x^2} + 1} over {{x^2}}} + {2 over {x + 1}}left( {{1 over x} + 1} right)} right])

Biểu thức ({left( {{{x + 1} over x}} right)^2}) xác định khi (x ne 0)

Biểu thức ({{{x^2} + 1} over {{x^2}}} + {2 over {x + 1}}left( {{1 over x} + 1} right)) xác định khi (x ne 0) và (x + 1 ne 0)

hay xác định khi (x ne 0) và (x ne  – 1)

Vậy với điều kiện (x ne 0) và(x ne 1)

Ta có : ({left( {{{x + 1} over x}} right)^2}:left[ {{{{x^2} + 1} over {{x^2}}} + {2 over {x + 1}}left( {{1 over x} + 1} right)} right])

(eqalign{  &  = {left( {{{x + 1} over x}} right)^2}:left[ {{{{x^2} + 1} over {{x^2}}} + {2 over {x + 1}}.{{1 + x} over x}} right]  cr  &  = {left( {{{x + 1} over x}} right)^2}:left( {{{{x^2} + 1} over {{x^2}}} + {2 over x}} right) = {left( {{{x + 1} over x}} right)^2}:{{{x^2} + 1 + 2x} over {{x^2}}}  cr  &  = {left( {{{x + 1} over x}} right)^2}:{{{{left( {x + 1} right)}^2}} over {{x^2}}} = {{{{left( {x + 1} right)}^2}} over {{x^2}}}.{{{x^2}} over {{{left( {x + 1} right)}^2}}} = 1 cr} )

b. Biểu thức : ({x over {x – 3}} – {{{x^2} + 3x} over {2x + 3}}.left( {{{x + 3} over {{x^2} – 3x}} – {x over {{x^2} – 9}}} right)) xác định khi (x – 3 ne 0,2x + 3 ne 0,{x^2} – 3x ne 0) và ({x^2} – 9 ne 0)

hay (x ne 3;x ne  – {3 over 2};x ne 0;x ne 3) và (x ne  pm 3)

Vậy điều kiện (x ne 0,x ne 3,x ne  – 3) và (x ne  – {3 over 2})

Ta có: ({x over {x – 3}} – {{{x^2} + 3x} over {2x + 3}}.left( {{{x + 3} over {{x^2} – 3x}} – {x over {{x^2} – 9}}} right))

(eqalign{  &  = {x over {x – 3}} – {{{x^2} + 3x} over {2x + 3}}.left[ {{{x + 3} over {xleft( {x – 3} right)}} – {x over {left( {x + 3} right)left( {x – 3} right)}}} right]  cr  &  = {x over {x – 3}} – {{xleft( {x + 3} right)} over {2x + 3}}.{{{{left( {x + 3} right)}^2} – {x^2}} over {xleft( {x + 3} right)left( {x – 3} right)}}  cr  &  = {x over {x – 3}} – {{{x^2} + 6x + 9 – {x^2}} over {left( {2x + 3} right)left( {x – 3} right)}} = {x over {x – 3}} – {{3left( {2x + 3} right)} over {left( {2x + 3} right)left( {2x – 3} right)}}  cr  &  = {x over {x – 3}} – {3 over {x – 3}} = {{x – 3} over {x – 3}} = 1 cr} )


Bài 66 trang 41

Chú ý rằng nếu c > 0 thì ({left( {a + b} right)^2} + c) và ({left( {a – b} right)^2} + c) đều dương với mọi a, b. Áp dụng điều này chứng minh rằng :

a. Với mọi giá trị của x khác ± 1, biểu thức

({{x + 2} over {x – 1}}.left( {{{{x^3}} over {2x + 2}} + 1} right) – {{8x + 7} over {2{x^2} – 2}}) luôn luôn có giá trị dương;

b. Với mọi giá trị của x khác 0 và khác – 3 , biểu thức :

({{1 – {x^2}} over x}.left( {{{{x^2}} over {x + 3}} – 1} right) + {{3{x^2} – 14x + 3} over {{x^2} + 3x}}) luôn luôn có giá trị âm.

HD: a. ({{x + 2} over {x – 1}}.left( {{{{x^3}} over {2x + 2}} + 1} right) – {{8x + 7} over {2{x^2} – 2}}) điều kiện (x ne 1) và (x ne  – 1)

(eqalign{  &  = {{x + 2} over {x – 1}}.{{{x^3} + 2x + 2} over {2left( {x + 1} right)}} – {{8x + 7} over {2left( {{x^2} – 1} right)}}  cr  &  = {{left( {x + 2} right)left( {{x^3} + 2x + 2} right)} over {2left( {x – 1} right)left( {x + 1} right)}} – {{8x + 7} over {2left( {x – 1} right)left( {x + 1} right)}}  cr  &  = {{{x^4} + 2{x^2} + 2x + 2{x^3} + 4x + 4 – 8x – 7} over {2left( {x – 1} right)left( {x + 1} right)}}  cr  &  = {{{x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} – 2x – 3} over {2left( {x – 1} right)left( {x + 1} right)}} = {{{x^4} – {x^2} + 2{x^3} – 2x + 3{x^2} – 3} over {2left( {x – 1} right)left( {x + 1} right)}}  cr  &  = {{{x^2}left( {{x^2} – 1} right) + 2xleft( {{x^2} – 1} right) + 3left( {{x^2} – 1} right)} over {2left( {x – 1} right)left( {x + 1} right)}} = {{left( {{x^2} – 1} right)left( {{x^2} + 2x + 3} right)} over {2left( {{x^2} – 1} right)}}  cr  &  = {{{x^2} + 2x + 3} over 2} cr} )

Biểu thức dương khi ({x^2} + 2x + 3 > 0) ta có : ({x^2} + 2x + 3 = {x^2} + 2x + 1 + 2 = {left( {x + 1} right)^2} + 3 > 0) với mọi giá trị của x.

Vậy giá trị của biểu thức dương với mọi giá trị (x ne  – 1) và (x ne 1)

b. ({{1 – {x^2}} over x}.left( {{{{x^2}} over {x + 3}} – 1} right) + {{3{x^2} – 14x + 3} over {{x^2} + 3x}}) điều kiện (x ne 0) và (x ne  – 3)

(eqalign{  &  = {{1 – {x^2}} over x}.{{{x^2} – left( {x + 3} right)} over {x + 3}} + {{3{x^2} – 14x + 3} over {xleft( {x + 3} right)}} = {{left( {1 – {x^2}} right)left( {{x^2} – x – 3} right)} over {xleft( {x + 3} right)}} + {{3{x^2} – 14x + 3} over {xleft( {x + 3} right)}}  cr  &  = {{{x^2} – x – 3 – {x^4} + {x^3} + 3{x^2} + 3{x^2} – 14x + 3} over {xleft( {x + 3} right)}}  cr  &  = {{ – {x^4} + {x^3} + 7{x^2} – 15x} over {xleft( {x + 3} right)}} = {{xleft( { – {x^3} + {x^2} + 7x – 15} right)} over {xleft( {x + 3} right)}}  cr  &  = {{ – {x^3} + {x^2} + 7x – 15} over {x + 3}} = {{ – {x^3} – 3{x^2} + 4{x^2} + 12x – 5x – 15} over {x + 3}}  cr  &  = {{ – {x^2}left( {x + 3} right) + 4xleft( {x + 3} right) – 5left( {x + 3} right)} over {x + 3}} = {{left( {x + 3} right)left( { – {x^2} + 4x – 5} right)} over {x – 3}}  cr  &  =  – {x^2} + 4x – 5 =  – left( {{x^2} – 4x + 5} right) cr} )

Vì ({x^2} – 4x + 5 = {x^2} – 4x + 4 + 1 = {left( {x – 2} right)^2} + 1 > 0) với mọi giá trị của x

nên ( – left[ {{{left( {x + 2} right)}^2} + 1} right] < 0) với mọi giá trị của x.

Vậy giá trị của biểu thức luôn luôn âm với mọi giá trị (x ne 0)và (x ne  – 3)


Bài 67 trang 42 Sách bài tập Toán 8 tập 1

Chú ý rằng vì ({left( {x + a} right)^2} ge 0) với mọi giá trị của x và ({left( {x + a} right)^2} = 0) khi (x =  – a) nên ({left( {x + a} right)^2} + b ge b) với mọi giá trị của x và ({left( {x + a} right)^2} + b = b) khi(x =  – a). Do đó giá trị nhỏ nhất của ({left( {x + a} right)^2} + b) bằng b khi(x =  – a). Áp dụng điều này giải các bài tập sau :

a. Rút gọn rồi tìm giá trị của x để biểu thức

({{{x^2}} over {x – 2}}.left( {{{{x^2} + 4} over x} – 4} right) + 3) có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy.

b. Rút gọn rồi tìm giá trị của x để biểu thức

({{{{left( {x + 2} right)}^2}} over x}.left( {1 – {{{x^2}} over {x + 2}}} right) – {{{x^2} + 6x + 4} over x}) có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất ấy.

Bài giải: a. ({{{x^2}} over {x – 2}}.left( {{{{x^2} + 4} over x} – 4} right) + 3) (điều kiện (x ne 2) và (x ne 0) )

(eqalign{  &  = {{{x^2}} over {x – 2}}.{{{x^2} + 4 – 4x} over x} + 3 = {{{x^2}} over {x – 2}}.{{{{left( {x – 2} right)}^2}} over x} + 3  cr  &  = xleft( {x – 2} right) + 3 = {x^2} – 2x + 1 + 2 = {left( {x – 1} right)^2} + 2 cr} )

Ta có: ({left( {x – 1} right)^2} ge 0 Rightarrow {left( {x – 1} right)^2} + 2 ge 2) với mọi giá trị của x

nên giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 2 khi (x = 1)

(x = 1) thỏa mãn điều kiện

Vậy biểu thức đã cho có giá trị nhỏ nhất bằng 2 tại (x = 1)

b. ({{{{left( {x + 2} right)}^2}} over x}.left( {1 – {{{x^2}} over {x + 2}}} right) – {{{x^2} + 6x + 4} over x}) (điều kiện (x ne 0) và(x ne  – 2))

(eqalign{  &  = {{{{left( {x + 2} right)}^2}} over x}.{{x + 2 – {x^2}} over {x + 2}} – {{{x^2} + 6x + 4} over x} = {{left( {x + 2} right)left( {x + 2 – {x^2}} right)} over x} – {{{x^2} + 6x + 4} over x}  cr  &  = {{{x^2} + 2x – {x^3} + 2x + 4 – 2{x^2} – {x^2} – 6x – 4} over x} = {{ – {x^3} – 2{x^2} – 2x} over x}  cr  &  = {{ – xleft( {{x^2} + 2x + 2} right)} over x} =  – left( {{x^2} + 2x + 2} right) =  – left[ {left( {{x^2} + 2x + 1} right) + 1} right]  cr  &  =  – left[ {{{left( {x + 1} right)}^2} + 1} right] =  – {left( {x + 1} right)^2} – 1  cr  & {left( {x + 1} right)^2} ge 0 Rightarrow  – {left( {x + 1} right)^2} le 0 Rightarrow  – {left( {x + 1} right)^2} – 1 le  – 1 cr} )

nên biểu thức có giá trị lớn nhất bằng – 1 khi x = – 1

x = – 1 thỏa mãn điều kiện.

Vậy biểu thức đã cho có giá trị lớn nhất bằng – 1 tại x = – 1


Câu II.1

(Đề thi học sinh giỏi toán cấp II, Miền Bắc năm 1963)

Rút gọn và tính giá trị của biểu thức sau tại x = -1,76 và (y = {3 over {25}})

(P = left[ {left( {{{x – y} over {2y – x}} – {{{x^2} + {y^2} + y – 2} over {{x^2} – xy – 2{y^2}}}} right):{{4{x^4} + 4{x^2}y + {y^2} – 4} over {{x^2} + y + xy + x}}} right]:{{x + 1} over {2{x^2} + y + 2}})

Ta có :  (eqalign{  & P = left[ {left( {{{x – y} over {2y – x}} – {{{x^2} + {y^2} + y – 2} over {{x^2} – xy – 2{y^2}}}} right):{{4{x^4} + 4{x^2}y + {y^2} – 4} over {{x^2} + y + xy + x}}} right]:{{x + 1} over {2{x^2} + y + 2}}  cr  &  = left[ {left( {{{x – y} over {2y – x}} – {{{x^2} + {y^2} + y – 2} over {left( {x + y} right)left( {x – 2y} right)}}} right):{{{{left( {2{x^2} + y} right)}^2} – 4} over {left( {x + y} right)left( {x + 1} right)}}} right].{{2{x^2} + y + 2} over {x + 1}}  cr  &  = left[ {{{left( {y – x} right)left( {x + y} right) – left( {{x^2} + {y^2} + y – 2} right)} over {left( {x + y} right)left( {x – 2y} right)}}.{{left( {x + y} right)left( {x + 1} right)} over {left( {2{x^2} + y + 2} right)left( {2{x^2} + y – 2} right)}}} right].{{2{x^2} + y + 2} over {x + 1}}  cr  &  = left[ {{{{y^2} – {x^2} – {x^2} – {y^2} – y + 2} over {left( {x + y} right)left( {x – 2y} right)}}.{{left( {x + y} right)left( {x + 1} right)} over {left( {2{x^2} + y + 2} right)left( {2{x^2} + y – 2} right)}}} right].{{2{x^2} + y + 2} over {x + 1}}  cr  &  = {{ – left( {2{x^2} + y – 2} right)left( {x + y} right)left( {x + 1} right)} over {left( {x + y} right)left( {x – 2y} right)left( {2{x^2} + y + 2} right)left( {2{x^2} + y – 2} right)}}.{{2{x^2} + y + 2} over {x + 1}}  cr  &  = {{ – left( {x + 1} right)} over {left( {x – 2y} right)left( {2{x^2} + y + 2} right)}}.{{2{x^2} + y + 2} over {x + 1}} = {{ – 1} over {x – 2y}} = {1 over {2y – x}} cr} )

Thay (x =  – 1,76;y = {3 over {25}})

(P = {1 over {2.{3 over {25}} – left( { – 1,76} right)}} = {1 over {0,24 + 1,76}} = {1 over 2})


Câu II.2 trang 42

(Đề thi học sinh giỏi, lớp 8 toàn quốc năm 1980).

Thực hiện phép tính :

({1 over {left( {b – c} right)left( {{a^2} + ac – {b^2} – bc} right)}} + {1 over {left( {c – a} right)left( {{b^2} + ab – {c^2} – ac} right)}} + {1 over {left( {a – b} right)left( {{c^2} + bc – {a^2} – ab} right)}})

Bài giải: ({1 over {left( {b – c} right)left( {{a^2} + ac – {b^2} – bc} right)}} + {1 over {left( {c – a} right)left( {{b^2} + ab – {c^2} – ac} right)}} + {1 over {left( {a – b} right)left( {{c^2} + bc – {a^2} – ab} right)}})

(eqalign{  &  = {1 over {left( {b – c} right)left[ {left( {a + b} right)left( {a – b} right) + cleft( {a – b} right)} right]}} + {1 over {left( {c – a} right)left[ {left( {b + c} right)left( {b – c} right) + aleft( {b – c} right)} right]}}  cr  &  + {1 over {left( {a – b} right)left[ {left( {c + a} right)left( {c – a} right) + bleft( {c – a} right)} right]}}  cr  &  = {1 over {left( {b – c} right)left( {a – b} right) + left( {a + b + c} right)}} + {1 over {left( {c – a} right)left( {b – c} right)left( {a + b + c} right)}} + {1 over {left( {a – b} right)left( {c – a} right)left( {a + b + c} right)}}  cr  &  = {{c – a + a – b + b – c} over {left( {a – b} right)left( {b – c} right)left( {c – a} right)left( {a + b + c} right)}} = 0 cr} )

 

 

The post Ôn tập Chương II – Phân thức đại số – Sách bài tập Toán 8 tập 1 appeared first on Sách Toán – Học toán.

Goc hoc tap