Ôn tập chương III – góc với đường tròn – Sách bài tập Toán 9 tập 2

Ôn tập chương III – góc với đường tròn – Sách bài tập Toán 9 tập 2


Bài 73 trang 113

Cho đường tròn đường kính AB. Qua A và B kẻ hai tiếp tuyến của đường tròn đó. Gọi M là một điểm trên đường tròn. Các đường thẳng AM và BM cắt các tiếp tuyến trên lần lượt tại B’ và A’.

a) Chứng minh rằng ({rm{AA}}’.BB’ = A{B^2})

b) Chứng minh rằng (A'{A^2} = A’M.A’B).

Giải

Ôn tập chương III - góc với đường tròn - Sách bài tập Toán 9 tập 2

a) Xét ∆AA’B và ∆BB’A:

(widehat {A’AB} = widehat {B’BA} = {90^0})

(widehat {BB’A} = widehat {ABA’}) (vì cùng phụ với (widehat {BAB’}))

Suy ra: ∆AA’B đồng dạng ∆BAB’ (g.g)

({{AA’} over {BA}} = {{AB} over {BB}} Rightarrow AA’.BB’ = A{B^2})

b) (widehat {AMB} = {90^0}) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

( Rightarrow AM bot A’B)

∆AA’B vuông tại A. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

(AA{‘^2} = A’M.A’B)


Bài 74 trang 114 SBT Toán 9 tập 2

Cho lục giác ABCDEF. Chứng minh rằng đường chéo BF chia AD thành hai đoạn thẳng theo tỉ số 1: 3.

Giải

Ôn tập chương III - góc với đường tròn - Sách bài tập Toán 9 tập 2

Lục giác đều ABCDEF nội tiếp trong đường tròn (O)

(overparen{AB}) = (overparen{CB}) = (overparen{CD}) = (overparen{DE}) = (overparen{EF}) = (overparen{FA}) = 600

( Rightarrow ) sđ (overparen{ABCD}) = sđ (overparen{AB}) + sđ (overparen{BC}) +  sđ (overparen{CD}) = 1800

Nên AD là đường kính của đường tròn (O)

Ta có: OA = OB = OF = AB = AF = R

Nên tứ giác ABOF là hình thoi

Gọi giao điểm của AD và BF là H

Ta có: (FB bot OA) (tính chất hình thoi)

( Rightarrow AH = HO = {{AO} over 2} = {R over 2})

(HD = HO + OD = {R over 2} + R = {{3R} over 2})

Suy ra: ({{AH} over {HD}} = {{{R over 2}} over {{{3R} over 2}}} = {1 over 3})


Bài 75

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Dựng điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho (widehat {AMB} = widehat {BMC} = widehat {CMA})

Giải

Ôn tập chương III - góc với đường tròn - Sách bài tập Toán 9 tập 2

Giả sử M là điểm nằm trong ∆ABC sao cho (widehat {AMB} = widehat {BMC} = widehat {CMA})

Vì (widehat {AMB} + widehat {BMC} + widehat {CMA} = {360^0})

Thì điểm M nhìn các cạnh AB, BC, AC của ∆ABC dưới 1 góc bằng 1200 suy ra cách dựng:

– Dựng cung chứa góc 1200  vẽ trên đoạn BC.

– Dựng cung chứa góc 1200 vẽ trên đoạn AC

Giao điểm thứ hai của cung này là điểm M phải dựng


Bài 76

Hai ròng rọc có tâm O, O’ và bán kính R = 4a, R’ = a. Hai tiếp tuyến chung MN và PQ cắt nhau tại A theo góc 600. Tìm độ dài của dây cua- roa mắc qua hai dòng dọc.

Giải

Ôn tập chương III - góc với đường tròn - Sách bài tập Toán 9 tập 2

Vì hai tiếp tuyến chung của đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A nên O, O’, A thẳng hàng.

(widehat {OAM} = widehat {OAP} = {1 over 2}widehat {MAP}) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

( Rightarrow widehat {OAM} = {30^0})

Trong tam giác vuông OMA có (widehat {OMA} = {90^0})

( Rightarrow MA = OM.cot widehat {OAM})

            ( = 4acos {30^0} = 4asqrt 3 )

Trong tam giác vuông O’NA có(widehat {O’NA} = {90^0})

( Rightarrow NA = O’Ncot widehat {O’AN} = acot {30^0} = asqrt 3 )

(MN = MA – NA = 4asqrt 3  – asqrt 3  = 3asqrt 3 )

Trong tứ giác O’NAQ có (widehat N = widehat Q = {90^0}); (widehat A = {60^0})

Suy ra: (widehat {NO’Q} = {120^0})

Độ dài cung nhỏ (overparen{NQ}) là: ({l_1} = {{pi .a.120} over {180}} = {{2pi a} over 3})

Trong tứ giác OMAP có (widehat M = widehat P = {90^0}); (widehat A = {60^0}\)

Suy ra: (widehat {MOP} = {120^0}) nên số đo cung nhỏ (overparen{MP}) bằng 1200

  sđ (overparen{MnP}) ( = {360^0} – {120^0} = {240^0})

Độ dài cung lớn (overparen{MnP}) là ({l_2}) ( = {{pi .4a.240} over {180}} = {{16pi a} over 3})

Chiều dài của dây cua – roa mắc qua hai ròng rọc là:

(2MN + {l_1} + {l_2} = 2.3asqrt 3  + {{2pi a} over 3} + {{16pi a} over 3}(

                        =(6asqrt 3  + 6pi a = 6aleft( {sqrt 3  + pi } right))


Bài 77

Tính diện tích phần gạch sọc trên hình sau (theo kích thước đã cho trên hình)

Giải

Ôn tập chương III - góc với đường tròn - Sách bài tập Toán 9 tập 2

Diện tích phần gạch sọc là hiệu giữa diện tích hình thang ABCD và diện tích hình quạt tròn có góc ở tâm 300 của đường tròn bán kính bằng a.

Từ D kẻ (DH bot BC)

Trong tam giác vuông HDC có (widehat {DHC} = {90^0})

(DH = DC.sin C = a.sin {30^0} = {a over 2})

(CH = DC.coswidehat C = a.cos{30^0} = {{asqrt 3 } over 2})

(BH = BC – HC = a – {{asqrt 3 } over 2} = {{aleft( {2 – sqrt 3 } right)} over 2})

( Rightarrow AD = {{aleft( {2 – sqrt 3 } right)} over 2})

Diện tích của hình thang ABCD bằng:

({{AD + BC} over 2}.DH = {{{{aleft( {2 – sqrt 3 } right)} over 2} + a} over 2}.{a over 2})

                        ( = {{{a^2}left( {4 – sqrt 3 } right)} over 8})

Diện tích hình quạt tròn bằng: ({{pi .{a^2}.30} over {360}} = {{pi {a^2}} over {12}})

Diện tích phần gạch sọc:

(S = {{{a^2}left( {4 – sqrt 3 } right)} over 8} – {{pi a} over {12}})

( = {{3{a^2}left( {4 – sqrt 3 } right) – 2pi {a^2}} over {24}})

( = {{{a^2}} over {24}}left( {12 – 3sqrt 3  – 2pi } right))


Bài 78 – Ôn tập chương 3 hình học 9

Cho tam giác AHB có (widehat H = 90^circ ,widehat A = 30^circ ) và BH = 4cm. Tia phân giác của góc B cắt AH tại O. Vẽ đường tròn (O; OH) và đường tròn (O; OA).

a) Chứng minh đường tròn (O; OH) tiếp xúc với cạnh AB.

b) Tính diện tích hình vành khăn nằm giữa hai đường tròn trên.

Giải

Ôn tập chương III - góc với đường tròn - Sách bài tập Toán 9 tập 2

a) Kẻ (OK bot AB)

BO là đường phân giác của (widehat B)

( Rightarrow OK = OH) (tính chất đường phân giác)

Vậy đường tròn (O; OH) tiếp xúc với AB tại K.

b) ∆AHB có (widehat H = {90^0}); (widehat A = {30^0})

Suy ra: (widehat B = {60^0} Rightarrow widehat {ABO} = {1 over 2}widehat B = {30^0})

Suy ra: ∆OAB cân tại O nên OB = OA

Vậy B  (O; OA)

∆BHO có (widehat H = {90^0}); (widehat {OBH} = {30^0})

(OH = BH.tan {30^0} = 4.{{sqrt 3 } over 3} = {{4sqrt 3 } over 3}) (cm)

(OB = {{BH} over {cos widehat {OBH}}} = {4 over {cos {{30}^0}}} = {4 over {{{sqrt 3 } over 2}}} = {{8sqrt 3 } over 3}) (cm)

Diện tích đường tròn nhỏ: S1 = (pi {left( {{{4sqrt 3 } over 3}} right)^2} = {{16pi } over 3})  (cm2)

Diện tích đường tròn lớn: ({S_2} = pi {left( {{{8sqrt 3 } over 3}} right)^2} = {{64pi } over 3})  (cm2)

Diện tích hình vành khăn:

S = ({S_2} – {S_1} = {{64pi } over 3} – {{16pi } over 3} = {{48pi } over 3} = 16pi ) (cm2)


Bài 79

Cho nửa đường tròn đường kính AB. Gọi C là một điểm chạy trên nửa đường tròn đó. Trên AC lấy điểm D sao cho AD = CD. Qua A kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn rồi lấy AE = AB (E và C cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB)

a) Tìm quỹ tích điểm D

b) Tính diện tích phần chung của hai nửa hình tròn đường kính AB và AE.

Giải

Ôn tập chương III - góc với đường tròn - Sách bài tập Toán 9 tập 2

a) Chứng minh thuận

Nối DE. Xét ∆ABC và ∆AED:

AB = AE (gt)

AD = BC (gt)

(widehat {EAD} = widehat {ABC}) (hệ quả góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung)

Suy ra: ∆ABC = ∆EAD (c.g.c) ( Rightarrow widehat {EAD} = widehat {ACB})

Mà (widehat {ACB} = {90^0}) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

( Rightarrow widehat {EDA} = {90^0})

Điểm C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB thì điểm D luôn nhìn đoạn AE cố định dưới một góc bằng 900, nên điểm D nằm trên nửa đường tròn đường kính AE nằm trong nửa mặt phẳng bờ AE chứa nửa đường tròn đường kính AB.

Chứng minh đảo:

Trên nửa đường tròn đường kính AE lấy điểm D’ bất kỳ, đường thẳng AD’ cắt nửa đường tròn đường kính AB tại C’. Nối ED’, BC’.

Xét ∆AD’E và ∆BC’A:

(widehat {D’} = widehat {C’} = {90^0}) (các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

AE = AB (gt)

(widehat {EAD} = widehat {ABC’}) (2 góc cùng phụ (widehat {C’AB}))

Suy ra: ∆AD’E = ∆BC’A (cạnh huyền, góc nhọn)

                        ( Rightarrow AD’ = BC’)

Vậy khi điểm C chạy trên nửa đường tròn đường kính AB thì quỹ tích điểm D là nửa đường tròn đường kính AE.

Ôn tập chương III - góc với đường tròn - Sách bài tập Toán 9 tập 2

b) Gọi tâm hai nửa đường tròn đường kính AB và AE lần lượt là O và O’, giao điểm thứ hai của hai đường tròn là M

Ta có: OA = OM = O’A = O’M (vì AB = AE)

(widehat A = {90^0})

Vậy tứ giác AOMO’ là hình vuông

Diện tích phần chung của hai nửa hình tròn bằng diện tích hai quạt tròn có cung (overparen{AmM}) trừ đi diện tích hình vuông

Diện tích hình quạt tròn AOM bằng:

({{pi {{left( {{{AB} over 2}} right)}^2}.90} over {360}} = {{pi A{B^2}} over {16}})

Diện tích của hình vuông AOMO’ bằng:

({left( {{{AB} over 2}} right)^2} = {{A{B^2}} over 4})

Diện tích phần chung bằng:

(2.{{pi A{B^2}} over {16}} – {{A{B^2}} over 4} = {{pi A{B^2}} over 8} – {{2A{B^2}} over 8})

                        ( = {{A{B^2}} over 8}left( {pi  – 2} right))  (đơn vị diện tích)


Câu 3.1 trang 114 SBT Toán 9 tập 2

Cho tam giác đều ACB và ACD, cạnh a. Lần lượt lấy B và D làm tâm vẽ hai đường tròn bán kính a. Kẻ các đường kính ABE và ADF. Trên cung nhỏ CE của đường tròn tâm B lấy điểm M (không trùng với E và C). Đường thẳn CM cắt đường tròn tâm D tại điểm thứ hai là N. Hai đường thẳng EM và NF cắt nhau tại điểm T. Gọi H là giao điểm của AT và MN.

Chứng minh:

a) MNT là tam giác đều.

b) AT = 4AH.

Giải

 Ôn tập chương III - góc với đường tròn - Sách bài tập Toán 9 tập 2

a) Trong đường tròn (B) ta có:

(widehat {AMC} = {1 over 2}widehat {ABC}) (hệ quả góc nội tiếp) mà (widehat {ABC} = 60^circ ) (vì ∆ABC đều)

( Rightarrow widehat {AMC} = 30^circ )

(widehat {AME} = 90^circ ) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (B))

( Rightarrow widehat {AMT} = 90^circ )

(widehat {TMN} = widehat {AMT} – widehat {AMC} = 90^circ  – 30^circ  = 60^circ )

Trong đường tròn (D) ta có:

(widehat {ANC} = {1 over 2}widehat {ADC}) (Hệ quả góc nội tiếp) mà (widehat {ADC} = 60^circ ) (vì ∆ADC đều) ( Rightarrow widehat {ANC} = 30^circ )

(widehat {ANF} = 90^circ ) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (D))

( Rightarrow widehat {ANC} + widehat {CNF} = 90^circ  Rightarrow widehat {CNF} = 90^circ  – widehat {ANC} = 90^circ  – 30^circ  = 60^circ ) hay (widehat {MNT} = 60^circ )

Vậy ∆TMN đều.

b) (widehat {AMC} = widehat {ANC} = 30^circ )

( Rightarrow Delta AMN) cân tại A ( Rightarrow ) AM = AN nên A nằm trên đường trung trực MN ∆TMN đều

( Rightarrow ) TM = TN nên T nằm trên đường trung trực MN

Suy ra AT là đường trung trực của MN nên AT ⊥ MN

∆AHM có (widehat {AHM} = 90^circ )

(AM = {{AH} over {sin M}} = {{AH} over {sin 30^circ }} = {{AH} over {{1 over 2}}} = 2AH)              (1)

TH ⊥ MN nên TH là đường phân giác của (widehat T) nên (widehat {MTA} = 30^circ )

∆AMT có (widehat {AMT} = 90^circ )

(AT = {{AT} over {sin widehat {MTA}}} = {{AM} over {{1 over 2}}} = 2AM)     (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AT = 4AH


Câu 3.2 trang 115 SBT Toán 9 tập 2

Cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm M ở ngoài đường tròn đó.    Qua điểm M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB và cắt tuyến MCD với đường tròn (O), trong đó điểm C ở giữa hai điểm M, D. Đường thẳng qua điểm C và vuông góc với OA cắt AB tại H. Gọi I là trung điểm của dây CD. Chứng minh HI song song với AD.

Bài giải

Ôn tập chương III - góc với đường tròn - Sách bài tập Toán 9 tập 2

MA ⊥ OA (tính chất tiếp tuyến)

( Rightarrow widehat {MAO} = 90^circ )

MB ⊥ OB (tính chất tiếp tuyến)

( Rightarrow widehat {MBO} = 90^circ )

IC = ID (gt)

( Rightarrow ) OI ⊥ CD (đường kính đi qua điểm chính giữa của dây)

( Rightarrow widehat {MIO} = 90^circ )

A, B, I nhìn MO cố định dưới một góc bằng 90º nên A, B, I nằm trên đường tròn bán kính MO.

( Rightarrow widehat {AMI} = widehat {ABI}) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ AOI)

           CH ⊥ (overparen{AO}) (gt)

Suy ra: CH // MA

(widehat {AMI} = widehat {HCI}) (hai góc đồng vị)

Suy ra: (widehat {HCI} = widehat {ABI}) hay (widehat {HCI} = widehat {HBI})

B và C cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ chứa đường HI tạo với HI một góc bằng nhau nên tứ giác BCHI nội tiếp.

( Rightarrow widehat {CBH} = widehat {CIH}) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ (overparen{CH})) hay (widehat {CBA} = widehat {CIH})                                                                                     (1)

Trong đường tròn (O) ta có:

(widehat {CBA} = widehat {CDA}) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ (overparen{AC})     (2)

Từ (1) và (2) suy ra: (widehat {CIH} = widehat {CDA}) nên HI // AD (vì có cặp góc ở vị trí đồng vị bằng nhau)

(Trường hợp cát tuyến đi qua tâm ngũ giác MAOIB suy biến thành tứ giác MAOB chứng minh tương tự ta có HO // AD).


Câu 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.7, 3.8 trang 115, 116 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

Mỗi bài III.3 đến III.12 sau đây đều có 4 phương án lựa chọn là (A), (B), (C), (D) nhưng chỉ có một trong số đó đúng. Hãy chỉ ra phương án mà em cho là đúng.

Câu 3.3

Góc nội tiếp là góc:

(A) có đỉnh nằm trên đường tròn.

(B) có hai cạnh là hai giây của đường tròn.

(C) có hai đỉnh là tâm đường tròn và có hai cạnh là hai bán kính.

(D) có hai cạnh là hai dây của đường tròn đó và chỉ có một đầu mút chung.


Câu 3.4

Một đường tròn là đường tròn nội tiếp nếu có:

(A) đi qua các đỉnh của một tam giác.

(B) tiếp xúc với các đường thẳng chứa các cạnh của một tam giác.

(C) tiếp xúc với các cạnh của một tam giác.

(D) nằm trong một tam giác.


Câu 3.5

Một tứ giác là tứ giác nội tiếp nếu

(A) có hai đỉnh cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau.

(B) có 4 góc bằng nhau.

(C) có 4 cạnh bằng nhau.

(D) có các cạnh tiếp xúc với đường tròn.


Câu 3.6

Quỹ tích các điểm M nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc 120º là

(A) một đường tròn đi qua hai điểm A, B.

(B)  một đường thẳng song song với AB.

(C)  một cung chứa góc 120ºdựng trên hai điểm A, B.

(D) hai cung chứa góc 120º (đối xứng nhau) dựng trên hai điểm A, B).


Câu 3.7 trang 116 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

Độ dài của nửa đường tròn có đường kính 8R bằng:

(A) πR;                     (B) 2πR;

(C) 4πR;                    (D) 8πR.


Câu 3.8

Diện tích của nửa hình tròn có đường kính 4R bằng:

(A)    πR2;                   (B) πR;

(C) 2πR2                   (D) 4πR2.


Câu 3.9, 3.10, 3.11, 3.12 trang 116 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

Câu 3.9

Cho hình sau. Khi đó, số đo của (widehat {MFE}) bằng bao nhiêu?

(A)    50º;                   (B) 80º;

(C) 130º;                    (D) Không tính được.

Ôn tập chương III - góc với đường tròn - Sách bài tập Toán 9 tập 2


Câu 3.10

Tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Khi đó, (widehat {BOC}) có số đo bằng bao nhiêu?

(A)    60º ;                   (B)120º;

(C) 240º;                    (D) Không tính được.


Câu 3.11

Hình vuông XYZT nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. điểm M bất kì thuộc cung nhỏ XT, (widehat {ZMT}) có số đo bằng bao nhiêu?

(A)    23º30′;             (B) 45º;

(C) 90º;                     (D) Không tính được.


Câu 3.12

Cho hình như hình bên (PQ = PR; QY và RX là các tia phân giác). Khi đó, PYKX là:

(A) hình thang và không phải là hình bình hành.

(B)  hình bình hành và không phải hình thoi.

(C)  hình thoi và không phải hình chữ nhật.

(D) hình chữ nhật.

Ôn tập chương III - góc với đường tròn - Sách bài tập Toán 9 tập 2

 

The post Ôn tập chương III – góc với đường tròn – Sách bài tập Toán 9 tập 2 appeared first on Sách Toán – Học toán.

Goc hoc tap