Ôn tập chương III: Phương Pháp tọa độ trong mặt phẳng

Bài 1. Xét vị trí tương đối của các đường thẳng ({Delta _1}) và ({Delta _2}) trong mỗi trường hợp sau

a) ({Delta _1}:3x – 2y + 1 = 0) và ({Delta _2}:2x + 3y – 5 = 0;)

b)

({Delta _1}:left{ matrix{
x = 4 + 2t hfill cr
y = – 1 + t hfill cr} right.)

({Delta _2}:left{ matrix{
x = 7-{4t’} hfill cr
y = 5-{2 t’} hfill cr} right.)

c)

({Delta _1}:left{ matrix{
x = 3 + 4t hfill cr
y = – 2 – 5t hfill cr} right.)

và ({Delta _2}:5x + 4y – 7 = 0.)

Giải

a) Ta có ({3 over 2} ne , – {2 over 3}) nên ({Delta _1}) và ({Delta _2})  cắt nhau.

b) Phương trình tổng quát của ({Delta _1}) và ({Delta _2}) là

(eqalign{
& {Delta _1},,:,,x – 2y – 6 = 0 cr
& {Delta _2},,:,x – 2y + 3 = 0 cr} )

Ta có ({1 over 1} = {{ – 2} over { – 2}} ne {{ – 6} over 3}) nên  ({Delta _1}) // ({Delta _1})

c) Phương trình tổng quát của ({Delta _1}) là (5x + 4y – 7 = 0) . Do đó ({Delta _1} equiv {Delta _2})

——————————————————–

Bài 2. Cho đường thẳng  (Delta :3x – 4y + 2 = 0.)

a) Viết phương trình của Δ dưới dạng tham số.

b) Viết phương trình của Δ dưới dạng phương trình theo đoạn chắn.

c) Tính khoảng cách từ mỗi điểm (M(3;5),N( – 4;0),P(2;1)) tới Δ và xét xem đường thẳng  cắt cạnh nào của tam giác MNP.

d) Tính góc hợp bởi Δ và mỗi trục tọa độ.

Giải

a) Δ có vec tơ pháp tuyến là (overrightarrow n  = (3,;, – 4))nên có vec tơ chỉ phương là (overrightarrow u left( {4;3} right)).

Δ đi qua điểm (Aleft( {0,;,{1 over 2}} right)) . Vậy Δ có phương trình tham số là

(left{ matrix{
x = 4t hfill cr
y = {1 over 2} + 3t hfill cr} right.)

b) Ta có

(3x – 4y + 2 = 0,,, Leftrightarrow ,,,3x – 4y =  – 2)

(Leftrightarrow ,,{x over { – {2 over 3}}} + {y over {{1 over 2}}} = 1)

c) Ta có

(eqalign{
& d(,M,;,Delta ) = {{|3.3 – 4.5 + 2|} over {sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = {9 over 5} cr
& d(,N,;,Delta ) = {{| – 12 + 2|} over {sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = {{10} over 5} = 2 cr
& d(,P,;,Delta ) = {{|6 – 4 + 2|} over {sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = {4 over 5} cr} )

M và N cùng phía đối với đường thẳng Δ còn P nằm khác  phía nên Δ không cắt MN, Δ cắt MP và NP.

d) Đường thẳng Ox có phương trình  y = 0, α là góc giữa α với Ox thì

(cos alpha  = {{|3.0 – 4.1|} over {sqrt {{3^2} + {4^2}} .sqrt {{0^2} + {1^2}} }} = {4 over 5},,,,,,,,,,,,,, Rightarrow ,,alpha  approx {36^0}52’)

Phương trình đường thẳng Oy là  x = 0, (beta  ) là góc giữa Δ  với Oy  ta có

(cos beta  = {{|3.1 – 4.0|} over {sqrt {{3^2} + {4^2}} .sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = {3 over 5},,,,,,,,,,,,,, Rightarrow ,,beta  approx {53^0}7’)

—————————————————

Bài 3. Cho đường thẳng (d:x – y + 2 = 0) và điểm A(2, 0)

a) Với điều kiện nào của x và y thì điểm M(x, y) thuộc nửa mặt phẳng có bờ d và chứa gốc tọa độ O? Chứng minh điểm A nằm trong nửa mặt phẳng đó.

b) Tìm điểm đối xứng với điểm O qua đường thẳng d.

c) Tìm điểm M trên d sao cho chu vi tam giác OMA nhỏ nhất.

Giải

a) Điểm M và O nằm cùng phía đối với d khi và chỉ khi

((x – y + 2).(0 – 0 + 2) > 0,,, Leftrightarrow ,,,x – y + 2 > 0)

Ta có : ({x_A} – {y_A} + 2 = 2 – 0 + 2 = 4 > 0) , do đó A nằm trong nửa mặt phẳng có bờ là d và chứa O.

b) Gọi d’ là đường thẳng qua O và vuông góc với d thì phương trình tổng quát của d’ là  (d’: x+y=0). Gọi H là hình chiếu của O lên d thì tọa độ H là nghiệm của hệ:

(left{ matrix{
x – y = – 2 hfill cr
x + y = 0 hfill cr} right.,,,, Leftrightarrow ,,,left{ matrix{
x = – 1 hfill cr
y = 1 hfill cr} right.)

Vậy (H(-1, 1))

Gọi O’ là điểm đối xứng của O qua d thì H là trung điểm của OO’ do đó

(left{ matrix{
{x_H} = {{{x_O} + {x_{O’}}} over 2} hfill cr
{y_H} = {{{y_O} + {y_{O’}}} over 2} hfill cr} right.,,,, Leftrightarrow ,,,,left{ matrix{
{x_{O’}} = 2{x_H} – {x_O} = – 2 hfill cr
{y_{O’}} = 2{y_H} – {y_O} = 2 hfill cr} right.)

Vậy (O'(-2, 2))

c) OA không đổi nên chu vi tam giác AMO nhỏ nhất  khi tổng MO+MA nhỏ nhất.

Ta có: (MO = MO’Rightarrow ,,,MO + MA = MO’ + MA ge ,AO’)

( Rightarrow ,,MO + MA) nhỏ nhất khi A, M, O’ thẳng hàng , khi đó M là giao điểm của d với đường thẳng O’A.

Phương trình O’A :

(eqalign{
& {{x – {x_A}} over {{x_{O’}} – {x_A}}} = {{y – {y_A}} over {{y_{O’}} – {y_A}}} cr
& {{x – 2} over { – 2 – 2}} = {{y – 0} over {2 – 0}},,,,, Leftrightarrow ,,,x + 2y – 2 = 0 cr} )

Tọa độ M là nghiệm của hệ:

(left{ matrix{
x – y = – 2 hfill cr
x + 2y = 2 hfill cr} right.,,, Leftrightarrow ,,,left{ matrix{
x = – {2 over 3} hfill cr
y = {4 over 3} hfill cr} right.,,)

Vậy (Mleft( { – {2 over 3},;,{4 over 3}} right))

—————————————————-

Bài 4.

Cho đường thẳng (Delta :ax + by + c = 0) và điểm (I({x_0};{y_0}).)Viết phương trình đường thẳng  đối xứng với đường thẳng Δ qua I.

Giải

Đường thẳng Δ’ đối xứng với đường thẳng Δ qua  I thì Δ // Δ’ do đó phương trình tổng quát của Δ’ có dạng (ax + by + c’ = 0,,(c’ ne c)).Ta có

Loại trường hợp (c=c’).

Vậy (Delta ‘,,:ax + by – c – 2(a{x_o} + b{y_o} + c) = 0)

———————————-

Bài 5.

Một hình bình hành có hai cạnh nằm trên hai đường thẳng x + 3y – 6 = 0 và 2x – 5y – 1 = 0. Biết hình bình hành đó có tâm đối xứng là I(3, 5). Hãy viết phương trình hai cạnh còn lại của hình bình hành đó.

Giải

Giả sử hình bình hành ABCD có tâm I

(eqalign{
& AB:,,x + 3y – 6 = 0 cr
& AD:,,2x – 5y – 1 = 0 cr} )

Tọa độ của A là nghiệm của hệ

(left{ matrix{
x + 3y – 6 = 0 hfill cr
2x – 5y – 1 = 0 hfill cr} right.,,, Leftrightarrow ,,,left{ matrix{
x = 3, hfill cr
y = 1 hfill cr} right.)

Vậy (A(3 ; 1)).

I là trung điểm của AC nên

(left{ matrix{
{x_I} = {1 over 2}({x_A} + {x_C}) hfill cr
{y_I} = {1 over 2}({y_A} + {y_C}) hfill cr} right.,,,, Leftrightarrow ,,left{ matrix{
{x_C} = 2{x_I} – {x_A} = 3 hfill cr
{y_C} = 2{y_I} – {y_A} = 9 hfill cr} right.)

Vậy (C(3 ; 9)).

BC là đường thẳng qua C và song song với AD nên BC có phương trình:

(2(x – 3) – 5(y – 9) = 0,, Leftrightarrow ,,2x – 5y + 39 = 0)

CD là đường thẳng qua C và song song với AB nên CD có phương trình:

(1(x – 3) + 3(y – 9) = 0,, Leftrightarrow ,,x + 3y – 30 = 0)

Vậy hai cạnh còn lại của hình bình hành là

(2x – 5y + 39 = 0) và (x + 3y – 30 = 0)

—————————————————-

Bài 6. Cho phương trình

({x^2} + {y^2} + mx – 2(m + 1)y + 1 = 0.,,,,,(1))

a) Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình đường tròn?

b) Tìm tập hợp tâm của các đường tròn nói ở câu a).

Giải

a) Ta có: (2a = m,,,2b =  – 2(m + 1),,,,c = 1)

(Rightarrow ,,a = {m over 2},,,,b =  – (m + 1),,,,c = 1)

(1) là đường tròn ( Leftrightarrow ,,{a^2} + {b^2} – c > 0,, Leftrightarrow ,,{{{m^2}} over 4} + {(m + 1)^2} – 1 > 0)

( Leftrightarrow ,,{5 over 4}{m^2} + 2m > 0,,, Leftrightarrow ,,,left[ matrix{
m < – {8 over 5}, hfill cr
m > 0 hfill cr} right.,,)

b) Với điều kiện (m <  – {8 over 5}) hoặc m > 0 thì (1) là phương trình đường tròn có tâm (Ileft( { – {m over 2},;,m + 1} right)) .

Ta có tọa độ của I

(left{ matrix{
x = – {m over 2} hfill cr
y = m + 1 hfill cr} right.)

Khử m từ hoành độ và tung độ của I ta được (2x + y – 1 = 0) vì  (m <  – {8 over 5}) hoặc m > 0 nên (x =  – {m over 2} > {4 over 5}) hoặc (x < 0) .

Vậy tập hợp tâm I của đường tròn là

(left{ matrix{
2x + y – 1 = 0 hfill cr
left[ matrix{
x < 0 hfill cr
x > {4 over 5} hfill cr} right., hfill cr} right.)

————————————————–

Bài 7. Chứng minh rằng nếu hai đường tròn không đồng tâm thì tập hợp các điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn là một đường thẳng

a) Biết đường tròn (C) có phương trình ({x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0.) Chứng minh rằng phương tích của điểm (M({x_0};{y_0})) đối với đường tròn (C) bằng (x_0^2 + y_0^2 + 2a{x_0} + 2b{y_0} + c.)

b) Chứng minh rằng nếu hai đường tròn không đồng tâm thì tập hợp các điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn là một đường thẳng (gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn).

Giải

a) Đường tròn  (C) có tâm I(-a, -b) ,bán kính (R = sqrt {{a^2} + {b^2} – c} )

Phương tích của điểm (M({x_0};{y_0})) đối với đường tròn (C) là

(eqalign{
& {wp _{{M_{{/_{(C)}}}}}} = M{I^2} – {R^2} cr&,,,,,,,,,,,,,,= {({x_o} + a)^2} + {({y_o} + b)^2} – ({a^2} + {b^2} – c) cr
& ,,,,,,,,,,,,,, = x_o^2 + y_o^2 + 2a{x_o} + 2b{y_o} + c cr} )

b) Cho hai đường tròn không đồng tâm

(eqalign{
({C_1}), & & :,,{x^2} + {y^2} + 2{a_1}x + 2{b_1}y + {c_1} cr
({C_2}), & & :,,{x^2} + {y^2} + 2{a_2}x + 2{b_2}y + {c_2} cr} )

Gọi (M({x_0};{y_0})) là điểm có cùng phương tích đối với (({C_1})) và (({C_2}))  thì

(eqalign{
& ,,,,,,,x_o^2 + y_o^2 + 2{a_1}{x_o} + 2{b_1}{y_o} + {c_1} = x_o^2 + y_o^2 cr&+ 2{a_2}{x_o} + 2{b_2}{y_o} + {c_2} cr
& Leftrightarrow ,,2({a_1} – {a_2}){x_o} + 2({b_1} – {b_2}){y_o} + {c_1} – {c_2} = 0,,,(1) cr} )

Vì (({C_1})) và (({C_2})) không đồng tâm nên ({a_1} – {a_2}) và ({b_1} – {b_2}) không đồng thời bằng 0 ( tức ({({a_1} – {a_2})^2} + {({b_1} – {b_2})^2} ne 0))

Do đó (M({x_0};{y_0})) nằm trên đường thẳng có phương trình:

(Delta ,,:,,2({a_1} – {a_2})x + 2({b_1} – {b_2})y + {c_1} – {c_2} = 0)

Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng Δ .

—————————————————-

Bài 8. Viết phương trình đường thẳng MN

Cho hai đường tròn có phương trình ({x^2} + {y^2} + 2{a_1}x + 2{b_1}y + {c_1} = 0) và ({x^2} + {y^2} + 2{a_2}x + 2{b_2}y + {c_2} = 0.) Giả sử chúng cắt nhau ở hai điểm M,N. Viết phương trình đường thẳng MN.

Giải

Hai đường tròn cắt nhau tại M, N thì trục đẳng phương của chùng chính là đường thẳng MN.

Áp dụng bài 7 thì MN có phương trình là

(MN,:,,2({a_1} – {a_2})x + 2({b_1} – {b_2})y + {c_1} – {c_2} = 0)

———————————————-

Bài 9. Tính các khoảng cách từ A đến tiếp điểm của hai tiếp tuyến nói ở câu a) và khoảng cách giữa hai tiếp điểm đó.

Cho đường tròn ((C):,,{x^2} + {y^2} = 4) và điểm A(-2, 3)

a) Viết phương trình của các tiếp tuyến của (C) kể từ A.

b) Tính các khoảng cách từ A đến tiếp điểm của hai tiếp tuyến nói ở câu a) và khoảng cách giữa hai tiếp điểm đó.

Giải

Đường tròn (C) có tâm  O(0 ; 0), bán kính R=2.

a) Đường thẳng Δ qua A có dạng

(eqalign{
& a(x + 2) + b(y – 3) = 0 cr
& Leftrightarrow ,ax + by + 2a – 3b = 0 cr} )

Δ là tiếp tuyến của (C)

(eqalign{
& Leftrightarrow ,,d(O,;,Delta ) = R,,, Leftrightarrow ,,,{{|2a – 3b|} over {sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 2 cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,{(2a – 3b)^2} = 4({a^2} + {b^2}) cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,5{b^2} – 12ab = 0 cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Leftrightarrow ,,b(5b – 12a) = 0cr&,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Leftrightarrow ,,,left[ matrix{
b = 0 hfill cr
12a = 5b hfill cr} right. cr} )

Với b = 0, chọn a = 1 ta có tiếp tuyến ({Delta _1},,:,,x + 2 = 0)

Với (12a=5b), chọn (a=5, b=12) ta có tiếp tuyến ({Delta _2}:,,5x + 12y – 26 = 0)

b) Gọi T, T’ là tiếp điểm của ({Delta _1},,,{Delta _2}) với (C) . Ta có

(AT = AT’ = sqrt {A{O^2} – {R^2}}  = sqrt {13 – 4}  = 3)

Gọi H là giao điểm của TT’ và AO, TH là đường cao của tam giác vuông ATO, ta có

(eqalign{
& {1 over {T{H^2}}} = {1 over {A{T^2}}} + {1 over {T{O^2}}} = {1 over 9} + {1 over 4} = {{13} over {36}} cr
& Rightarrow ,,TH = {6 over {sqrt {13} }},, Rightarrow ,,,TT’ = 2TH = {{12} over {sqrt {13} }} cr} )

———————————————————

Bài 10. Tìm tọa độ các tiêu điểm của (E) và (H)

Cho ((E):{{{x^2}} over 5} + {{{y^2}} over 4} = 1) và hypebol ((H):{{{x^2}} over 5} – {{{y^2}} over 4} = 1.)

a) Tìm tọa độ các tiêu điểm của (E) và (H).

b) Vẽ phác elip (E) và hypebol (H) trong cùng một hệ trục tọa độ.

c) Tìm tọa độ các giao điểm của (E) và (H).

Giải

a) Với ((E):{{{x^2}} over 5} + {{{y^2}} over 4} = 1) ta có (a = sqrt 5 ,,,,b = 2,,, Rightarrow ,c = sqrt {{a^2} – {b^2}}  = 1)

Tọa độ các tiêu điểm của (E) là ({F_1}( – 1,;,0),,,,{F_2}(1,;,0))

Với (H) : ({{{x^2}} over 5} – {{{y^2}} over 4} = 1) , ta có (a = sqrt 5 ,,,b = 2,,,,c = sqrt {{a^2} + {b^2}}  = 3)

Tọa độ các tiêu điểm của (H) là ({F_1}( – 3,;,0),,,,{F_2}(3,;,0))

b) Vẽ (E) và (H).

c) Tọa độ giao điểm của (E) và (H) là nghiệm của hệ phương trình

(left{ matrix{
{{{x^2}} over 5} + {{{y^2}} over 4} = 1 hfill cr
{{{x^2}} over 5} – {{{y^2}} over 4} = 1 hfill cr} right.,,,, Leftrightarrow ,,,left{ matrix{
{x^2} = 5 hfill cr
{y^2} = 0 hfill cr} right.,,,, Leftrightarrow ,,,left{ matrix{
x = pm sqrt 5 hfill cr
y = 0 hfill cr} right.)

Vậy tọa đô giao điểm của (E) và (H) là (left( {sqrt 5 ,;,0} right)) và (left( -{sqrt 5 ,;,0} right)) .

———————————————————

Bài 11. Với giá trị nào của m thì Δ cắt (E) tại hai điểm phân biệt?

Cho đường thẳng (Delta :2x – y – m = 0) và elip ((E):{{{x^2}} over 5} + {{{y^2}} over 4} = 1.)

a) Với giá trị nào của m thì Δ cắt (E) tại hai điểm phân biệt?

b) Với giá trị nào của m thì Δ cắt (E) tại một điểm duy nhất?

Giải

Tọa độ giao điểm của Δ và (E) là nghiệm của hệ

(left{ matrix{
2x – y – m = 0 hfill cr
{{{x^2}} over 5} + {{{y^2}} over 4} = 1 hfill cr} right.Leftrightarrow left{ matrix{
y = 2x – m,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(1) hfill cr
{{{x^2}} over 5} + {{{{(2x – m)}^2}} over 4} = 1,,,,,,,,,,(2) hfill cr} right.)

Ta có (2) ( Leftrightarrow ,,4{x^2} + 5(4{x^2} – 4mx + {m^2}) = 20)

( Leftrightarrow ,,24{x^2} – 20mx + 5{m^2} – 20 = 0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(*))

a) Δ  cắt (E) tại hai điểm phân biệt

⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt

(eqalign{
& Leftrightarrow ,Delta ‘ = 100{m^2} – 24(5{m^2} – 20) > 0 cr
& Leftrightarrow ,, – 20{m^2} + 480 > 0 cr
& Leftrightarrow ,,|m| < 2sqrt 6 cr
& Leftrightarrow ,, – 2sqrt 6 < m < 2sqrt 6 cr} )

b) Δ cắt (E) tại một điểm duy nhất  ( Leftrightarrow ,,m =  pm 2sqrt 6 )

—————————————————–

Bài 12. Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) nhận các tiêu điểm của (E) làm đỉnh và có hai tiêu điểm là hai đỉnh của elip (E)

Cho elip ((E):{{{x^2}} over {25}} + {{{y^2}} over 9} = 1.)

a) Xác định tọa độ hai tiêu điểm  và các đỉnh của (E).

b) Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) nhận các tiêu điểm của (E) làm đỉnh và có hai tiêu điểm là hai đỉnh của elip (E).

c) Vẽ phác elip (E) và hypebol (H) nói ở câu b) trong cùng một hệ trục tọa độ.

d) Viết phương trình của đường tròn đi qua các giao điểm của hai đường cônic nói trên.

Giải

a) Ta có: (a = 5,,,,,b = 3,,,,c = sqrt {{a^2} – {b^2}}  = 4)

Tọa độ các tiêu điểm của (E) là ({F_1},( – 4,;,0),,,,{F_2},(4,;,0)) .

Tọa độ các đỉnh của (E) là ({A_1}( – 5,;,0),,,,{A_2}(5,;,0),,,,{B_1}(0,;, – 3),,,,{B_2}(0,;,3)) .

b) (H) nhận (-4, 0) và (4, 0) làm đỉnh thì (a=4).

(H) nhận (-5, 0) và (5, 0) làm tiêu điểm  thì  có (c=5).

( Rightarrow ,,{b^2} = {c^2} – {a^2} = 25 – 16 = 9,,, Rightarrow ,,,b = 3)

Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H) là : ({{{x^2}} over {16}} – {{{y^2}} over 9} = 1)

c) Vẽ (E) và (H).

d) Tọa độ giao điểm của (E) và (H) là nghiệm của hệ phương trình

(left{ matrix{
{{{x^2}} over {25}} + {{{y^2}} over 9} = 1 hfill cr
{{{x^2}} over {16}} – {{{y^2}} over 9} = 1 hfill cr} right.,,,,, Leftrightarrow ,,,left{ matrix{
{x^2} = {{800} over {41}} hfill cr
{y^2} = {{81} over {41}} hfill cr} right.)

Vậy (E) và (H) cắt nhau tại 4 điểm có tọa độ thỏa phương trình ({x^2} + {y^2} = {{881} over {41}})

Vậy đường tròn đi qua các giao điểm  của (E) và (H) có phương trình là ({x^2} + {y^2} = {{881} over {41}})

—————————————————–

Bài 13. Chứng minh rằng đường thẳng IM cắt parabol đã cho tại một điểm duy nhất.

Cho parabol ((P):{y^2} = 2px.) Với mỗi điểm M trên (P) (M khác O), gọi M’ là hình chiếu của M trên  Oy  và  I  là trung điểm của đoạn OM’. Chứng minh rằng đường thẳng IM cắt parabol đã cho tại một điểm duy nhất.

Giải

Giả sử (M({x_o},;,{y_o}),, in ,,,(P))  ta có (y_o^2 = 2p{x_o},({x_o} ne 0)) . M’ là hình chiếu của M trên Oy nên (M'(0,;,{y_o})) , khi đó (Ileft( {0,;,{{{y_o}} over 2}} right),, Rightarrow ,,overrightarrow {IM}  = left( {{x_o},;,{{{y_o}} over 2}} right)) là vectơ chỉ phương của đường thẳng IM.

Phương trình tham số của IM là

(left{ matrix{
x = {x_o}.t hfill cr
y = {{{y_o}} over 2} + {{{y_o}} over 2}.t hfill cr} right.)

Thay x, y trong phương trình tham số của IM vào phương trình của (P) ta được

({{y_o^2} over 4}(1 + {t^2}) = 2p{x_o}t)

mà (2p{x_o} = y_o^2) nên (y_o^2(1 + {t^2}) = 4y_o^2t,,, Leftrightarrow ,,(1 + {t^2}) = 4t,,) ( do ({y_o} ne 0))

(eqalign{
& ,, Leftrightarrow ,,{(t – 1)^2} = 0,,, cr
& ,, Leftrightarrow ,t = 1 cr} )

Vậy IM cắt (P) tại điểm duy nhất (M({x_o},;,{y_o}),) .

————————————————-

Bài 14. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định

Cho parabol ((P):{y^2} = {1 over 2}x.) Gọi M,N là hai điểm di động trên (P) sao cho (OM bot ON) (M,N không trùng với O). Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.

Giải

Giả sử (M(2y_1^2,;,{y_1}),, in ,,(P),,,,N(2y_2^2,;,{y_2}),, in ,,(P)) trong đó ({y_1},,{y_2}, ne 0) và ({y_1} ne ,{y_2}) vì (overrightarrow {OM} .,overrightarrow {ON}  = 0) nên (4y_1^2y_2^2 + {y_1}{y_2} = 0)

suy ra (4{y_1}{y_2} + 1 = 0,,, Leftrightarrow ,,{y_1}{y_2} =  – {1 over 4})

Ta có (overrightarrow {MN}  = left( {2y_2^2 – 2y_1^2,;,{y_2} – {y_1}} right) )

(= left( {{y_2} – {y_1}} right).left( {2{y_2} + 2{y_1},;,1} right))

Vì ({y_1} ne ,{y_2}) nên vec tơ chỉ phương của đường thẳng MN là ((2{y_1} + 2{y_2},;,1)) .

Do đó vec tơ pháp tuyến của MN là (overrightarrow n  = (1,;, – 2{y_1} – 2{y_2}))

Phương trình tổng quát của MN là

(1.(x – 2y_1^2) – (2{y_1} + 2{y_2}).(y – {y_1}) = 0)

Tìm giao điểm của MN với trục hoành bằng cách thay (y=0) vào (*) ta được

(x – 2y_1^2 + 2y_1^2 + 2{y_1}{y_2} = 0,,,, Leftrightarrow ,,,x = {1 over 2})

Vậy MN đi qua điểm (left( {{1 over 2},;,0} right)) cố định.


Phần bài tập trắc nghiệm


Bài 1. Đường thẳng (2x + y – 1 = 0) có vectơ pháp tuyến là vectơ nào?

(eqalign{
& (A),,,,overrightarrow n = left( {2; – 1} right) cr
& (B),,,overrightarrow n = left( {1; – 1} right) cr
& (C),,,overrightarrow n = left( {2;1} right) cr
& (D),,,overrightarrow n = left( { – 1;2} right) cr} )

Giải

Đường thẳng (2x + y – 1 = 0) có vectơ pháp tuyến là (overrightarrow n  = (2,;,1)) .

Chọn (C).

——————————————————

Bài 2. Đường trung trực của đoạn thẳng AB với (A = ( – 3;2),B( – 3;3)) có vectơ pháp tuyến là vectơ nào?

(eqalign{
& (A),,,overrightarrow n = left( {6;5} right) cr
& (B),,,overrightarrow n = left( {0;1} right) cr
& (C),,,overrightarrow n = left( { – 3;5} right) cr
& (D),,,overrightarrow n = left( { – 1;0} right) cr} )

Giải

Đường trung trực của đoạn thẳng AB  có vectơ pháp tuyến là (overrightarrow {AB}  = (0,;,1)) .

Chọn (B).

——————————————————

Bài 3. Phương trình nào là phương trình tham số của đường thẳng (x-y+3=0)

(eqalign{
& (A),,left{ matrix{
x = t hfill cr
y = 3 + t hfill cr} right. cr
& (B),,,left{ matrix{
x = 3 hfill cr
y = t hfill cr} right. cr
& (C),,,left{ matrix{
x = 2+t hfill cr
y =1+ t hfill cr} right. cr
& (B),,,left{ matrix{
x = t hfill cr
y =3- t hfill cr} right. cr} )

Giải

Đặt x=t thì y=t+3.

Chọn (A).

——————————————————

Bài 4. Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của đường thẳng có phương trình 

(left{ matrix{
x = – 1 + 2t hfill cr
y = 3 – t hfill cr} right.)

(eqalign{
& (A),,overrightarrow n = left( {2; – 1} right) cr
& (B),,,overrightarrow n = left( { – 1;2} right) cr
& (C),,,overrightarrow n = left( {  1;-2} right) cr
& (D),,,overrightarrow n = left( {1;2} right) cr} )

Giải

Đường thẳng đã cho có vec tơ chỉ phương (overrightarrow u  = (2,;, – 1))  nên có vec tơ pháp tuyến là (overrightarrow n  = (1,;,2)) .

Chọn (D).

——————————————————

Bài 5. Đường thẳng nào không cắt đường thẳng (2x+3y-1=0 )? 

(eqalign{
& (A),,,2x + 3y + 1 = 0 cr
& (B),,,x – 2y + 5 = 0 cr
& (C),,,2x – 3y + 3 = 0 cr
& (D),,,4x – 6y – 2 = 0 cr} )

Giải

Ta có đường thẳng (,,2x + 3y + 1 = 0) song song với đường thẳng (,,2x + 3y – 1 = 0) nên không cắt (,,2x + 3y – 1 = 0) .

Chọn (A).

——————————————————

Bài 6. Đường thẳng nào song song với đường thẳng (x – 3y +4 = 0)

(eqalign{
& (A),,,left{ matrix{
x = 1 + t hfill cr
y = 2 + 3t hfill cr} right. cr
& (B),,,left{ matrix{
x = 1 – t hfill cr
y = 2 + 3t hfill cr} right. cr
& (C),,left{ matrix{
x = 1 – 3t hfill cr
y = 2 + t hfill cr} right. cr
& (D),,,left{ matrix{
x = 1 – 3t hfill cr
y = 2 – t hfill cr} right. cr} )

Giải

Đường thẳng (x – 3y +4 = 0) có vec tơ chỉ phương là (overrightarrow u ,(3,;,1)) .

Chọn (D).

——————————————————

Bài 7. Đường thẳng nào song song với đường thẳng 

(left{ matrix{
x = 3 – t hfill cr
y = – 1 + 2t hfill cr} right.)

(eqalign{
& (A),,,left{ matrix{
x = 5 + t hfill cr
y = 2t hfill cr} right. cr
& (B),,,left{ matrix{
x = 5 + t hfill cr
y = – 2t hfill cr} right. cr
& (C),,,left{ matrix{
x = 5 – 2t hfill cr
y = t hfill cr} right. cr
& (D),,,left{ matrix{
x = 5 + 4t hfill cr
y = 2t hfill cr} right. cr} )

Giải

Véc tơ chỉ phương của đường thẳng (left{ matrix{
x = 3 – t hfill cr
y = – 1 + 2t hfill cr} right.) là (overrightarrow u left( { – 1;2} right))

Chọn (B).

——————————————————

Bài 8. Đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng (4x – 3y + 1 = 0)

(eqalign{
& (A),,,left{ matrix{
x = 4t hfill cr
y = – 3 – 3t hfill cr} right. cr
& (B),,,left{ matrix{
x = 4t hfill cr
y = – 3 + 3t hfill cr} right. cr
& (C),,,left{ matrix{
x = – 4t hfill cr
y = – 3 – 3t hfill cr} right. cr
& (D),,,left{ matrix{
x = 8t hfill cr
y = – 3 + t hfill cr} right. cr} )

Giải

Vec tơ pháp tuyến của đường thẳng (4x – 3y + 1 = 0) là (overrightarrow n  = (4,;, – 3)) .

Chọn (A).

——————————————————

Bài 9. Đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng 

(left{ matrix{
x = – 1 + t hfill cr
y = – 1 + 2t hfill cr} right.)

(eqalign{
& (A),,,2x + y + 1 = 0 cr
& (B),,,x + 2y + 1 = 0 cr
& (C),,,4x – 2y + 1 = 0 cr
& (D),,,{{x + 1} over 1} = {{y + 1} over 2} cr} )

Giải

Đường thẳng (left{ matrix{
x = – 1 + t hfill cr
y = – 1 + 2t hfill cr} right.) có vec tơ chỉ phương là (overrightarrow u  = (1;,2)) .

Chọn (B).

——————————————————

Bài 10. Khoảng cách từ điểm O(0, 0) đến đường thẳng (4x – 3y – 5 = 0) bằng bao nhiêu? 

(eqalign{
& (A),,,0 cr
& (B),,,1 cr
& (C),,, – 5 cr
& (D),,,{1 over 5} cr} )

Giải

Ta có: (d(O,;,Delta ) = {{| – 5|} over {sqrt {{4^2} + {3^3}} }} = 1)

Chọn (B).

——————————————————

Bài 11. Phương trình nào là phương trình của đường tròn có tâm I(-3, 4) và bán kính R = 2

(eqalign{
& (A),,,{left( {x + 3} right)^2} + {left( {y – 4} right)^2} – 4 = 0 cr
& (B),,,{left( {x – 3} right)^2} + {left( {y – 4} right)^2} = 4 cr
& (C),,,{left( {x + 3} right)^2} + {left( {y + 4} right)^2} = 4 cr
& (D),,,{left( {x + 3} right)^2} + {left( {y – 4} right)^2} = 2 cr} )

Giải

Chọn (A).

——————————————————

Bài 12. Phương trình ({x^2} + {y^2} – 2x + 4y + 1 = 0) là phương trình của đường tròn nào?

(A) Đường tròn có tâm (-1, 2) , bán kính R = 1

(B) Đường tròn có tâm (1, -2) , bán kính R = 2

(C) Đường tròn có tâm (2, -4) , bán kính R = 2

(D) Đường tròn có tâm (1, -2) , bán kính R = 1

Giải

Ta có: (a =  – 1,,,,b = 2,,,,c = 1,,,R = sqrt {{a^2} + {b^2} – c}  = 2)

Chọn (B).

——————————————————

Bài 13. Cặp điểm nào là các tiêu điểm của elip ((E):{{{x^2}} over 5} + {{{y^2}} over 4} = 1?)

(eqalign{
& (A),,,{F_{1,2}} = left( { pm 1;0} right); cr
& (B),,,{F_{1,2}} = left( { pm 3;0} right); cr
& (C),,,{F_{1,2}} = left( {0; pm 1} right); cr
& (D),,,{F_{1,2}} = left( {1; pm 2} right). cr} )

Giải

Ta có: (a = sqrt 5 ,,,,b = 2,,, Rightarrow ,,c = sqrt {{a^2} – {b^2}}  = sqrt {5 – 4}  = 1)

Chọn (A).

——————————————————

Bài 14. Elip sau có tâm sai bằng bao nhiêu?

 Elip ((E):{{{x^2}} over 9} + {{{y^2}} over 4} = 1) có tâm sai bằng bao nhiêu?

(eqalign{
& (A),,,e = {3 over 2} cr
& (B),,,e = – {{sqrt 5 } over 3} cr
& (C),,,e = {2 over 3} cr
& (D),,,e = {{sqrt 5 } over 3} cr} )

Giải

Ta có (a = 3,,,,b = 2,,,c = sqrt {{a^2} – {b^2}}  = sqrt {9 – 4}  = sqrt 5 )

(Rightarrow ,,e = {c over a} = {{sqrt 5 } over 3})

Chọn (D).

——————————————————

Bài 15. Điểm M(x, y) thuộc elip đã cho có các bán kính qua tiêu là bao nhiêu?

Cho elip có các tiêu điểm ({F_1}( – 3;0),{F_2}(3;0)) và đi qua A(-5, 0) . Điểm M(x, y) thuộc elip đã cho có các bán kính qua tiêu là bao nhiêu?

(eqalign{
& (A),,,M{F_1} = 5 + {3 over 5}x,M{F_2} = 5 – {3 over 5}x cr
& (B),,,M{F_1} = 5 + {4 over 5}x,M{F_2} = 5 – {4 over 5}x cr
& (C),,,,M{F_1} = 3 + 5x,M{F_2} = – 3 – 5x cr
& (D),,,,M{F_1} = 5 + 4x,M{F_2} = 5 – 4x. cr} )

Giải

Giả sử (E) : ({{{x^2}} over {{a^2}}} + {{{y^2}} over {{b^2}}} = 1,,,,A( – 5,;,0),, in ,,,(E))  nên (25 = {a^2},,, Rightarrow ,,a = 5) .

Tiêu điểm ({F_1} = ( – 3,;,0)) nên (c=3).

({r_1} = M{F_1} = a + {{cx} over a} = 5 + {{3x} over 5},,;,,M{F_2} = 5 – {{3x} over 5})

Chọn (A).

——————————————————

Bài 16. Elip sau có tiêu cự là bao nhiêu?

Elip ((E):{{{x^2}} over {{p^2}}} + {{{y^2}} over {{q^2}}} = 1) , với p > q > 0 , có tiêu cự là bao nhiêu?

(eqalign{
& (A),,,p + q; cr
& (B),,,{p^2} – {q^2}; cr
& (C),,,p – q; cr
& (D),,,2sqrt {{p^2} – {q^2}} . cr} )

Giải

Ta có: (a = p,,,b = q,,,c = sqrt {{a^2} – {b^2}}  = sqrt {{p^2} – {q^2}} ) .

Tiêu cự (2c = 2sqrt {{p^2} – {q^2}} )

Chọn (D).

——————————————————

Bài 17. Phương trình sau là phương trình chính tắc của đường nào?Phương trình ({{{x^2}} over {{a^2}}} – {{{y^2}} over {{b^2}}} = 1) là phương trình chính tắc của đường nào?

(A) Elip với trục lớn bằng 2a , trục bé bằng 2b

(B) Hypebol với trục lớn bằng 2a , trục bé bằng 2b

(C) Hypebol với trục hoành bằng 2a , trục tung bằng 2b

(D) Hypebol với trục thực bằng 2a , trục ảo bằng 2b

Giải

Chọn (D).

——————————————————

Bài 18. Cặp điểm nào là các tiêu điểm của hypebol ({{{x^2}} over 9} – {{{y^2}} over 5} = 1?)

(eqalign{
& (A),,,left( { pm 4;0} right); cr
& (B),,,left( { pm sqrt {14} ;0} right); cr
& (C),,,left( { pm 2;0} right); cr
& (D),,,left( {0; pm sqrt {14} } right). cr} )

Giải

Ta có: (a = 3,,,b = sqrt 5 ,,,,c = sqrt {{a^2} + {b^2}}  = sqrt {14} )

Chọn (B).

——————————————————

Bài 19. Cặp đường thẳng nào là các đường tiệm cận của hypebol ({{{x^2}} over {16}} – {{{y^2}} over {25}} = 1?)

(eqalign{
& (A),,y = pm {5 over 4}x,; cr
& (B),,,y = pm {4 over 5}x,; cr
& (C),,,y = pm {{25} over {16}}x,; cr
& (D),,,y = pm {{16} over {25}}x,. cr} )

Giải

Ta có (a = 4, b = 5) phương trình đường tiệm cận là (y =  pm {5 over 4}x) .

Chọn (A).

——————————————————

Bài 20. Cặp đường thẳng nào là các đường chuẩn của hypebol ({{{x^2}} over {{q^2}}} – {{{y^2}} over {{p^2}}} = 1?)

(eqalign{
& (A),,,x = pm {p over q} cr
& (B),,,x = pm {q over p} cr
& (C),,,x = pm {{{q^2}} over {sqrt {{q^2} + {p^2}} }} cr
& (D),,,x = pm {{{p^2}} over {sqrt {{q^2} + {p^2}} }} cr} )

Giải

Ta có: (a = p,,,b = q,,,c = sqrt {{a^2} + {b^2}}  = sqrt {{p^2} + {q^2}} )

Phương trình đường chuẩn của hypebol là: (x =  pm {a over e} =  pm {{{a^2}} over c} =  pm {{{p^2}} over {sqrt {{p^2} + {q^2}} }})

Chọn (D).

——————————————————

Bài 21. Đường tròn nào ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của hypebol ({{{x^2}} over {16}} – {{{y^2}} over 9} = 1?)

(eqalign{
& (A),,,{x^2} + {y^2} = 25 cr
& (B),,,{x^2} + {y^2} = 7 cr
& (C),,,{x^2} + {y^2} = 16 cr
& (D),,,{x^2} + {y^2} = 9 cr} )

Giải

Đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của hypebol có bán kính (R = sqrt {{a^2} + {b^2}} ) .

Ta có a = 4, b = 3

Chọn (A).

——————————————————

Bài 22. Điểm nào là tiêu điểm của parabol ({y^2} = 5x?)

(eqalign{
& (A),,,Fleft( {5;0} right) cr
& (B),,,Fleft( {{5 over 2};0} right) cr
& (C),,,Fleft( { pm {5 over 4};0} right) cr
& (D),,,Fleft( {{5 over 4};0} right) cr} )

Giải

Ta có (p = {5 over 2}) .

Tiêu điểm của parabol là (Fleft( {{5 over 4},;,0} right)) .

Chọn (D).

——————————————————

Bài 23. Đường thẳng nào là đường chuẩn của parabol ({y^2} = -4x?)

(eqalign{
& (A);;,x = 4 cr
& (B),,,x = – 2 cr
& (C),,,x = pm 1 cr
& (D),,,x = – 1 cr} )

Giải

Ta có (p=2).

Chọn (D).

——————————————————

Bài 24. Cônic có tâm sai (e = {1 over {sqrt 2 }}) là đường nào?

(A) Hypebol                      (B) Parabol

(C) Elip                              (D) Đường tròn

Giải

Chọn (C).

The post Ôn tập chương III: Phương Pháp tọa độ trong mặt phẳng appeared first on Học giải.

Goc hoc tap