Sự tương giao của đồ thị

Sự tương giao của đồ thị – Sự tương giao của đường cong…

Sự tương giao của hai đồ thị:
Hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số $y = f(x)$ và $y = g(x)$ là nghiệm của phương trình:
$$f(x) = g(x), (*)$$
Từ đó suy ra số giao điểm của hai đồ thị đã cho bằng số nghiệm của phương trình $(*)$.
————-
1. Dựa vào đồ thị để biện luận số nghiệm của phương trình:
Ví dụ 1. Cho hàm số $y=x^3-3x$.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $left ( C right )$ của hàm số.
b) Dựa vào đồ thị $left ( C right )$ hãy biện luận theo tham số $m$ số nghiệm của phương trình: $x^3-x=m^3-3m (2.1)$.
Giải
a)Đồ thị:
Sự tương giao của đồ thịSố nghiệm của phương trình $(2.1)$ bằng số giao điểm của đồ thị $left ( C right )$ và đường thẳng $y=m^3-m$. Ta có các trường hợp sau:
* TH1: $left [ begin{matrix}m^3-m2 end{matrix}right.Leftrightarrow left [ begin{matrix}m < -2\m > 2 end{matrix}right.$ Khi đó phương trình $(2.1)$ có đúng 1 nghiệm duy nhất.*TH2: $left [ begin{matrix}m^3-3m=-2\m^3-3m=2 end{matrix}right.Leftrightarrow left [ begin{matrix}m=pm 2\m = pm 1 end{matrix}right.$. Khi đó phương trình $(2.1)$ có 2 nghiệm phân biệt

*TH3: $-2

———–
Ví dụ 2. Cho hàm số $y=x^3+3x^2-4$.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $left ( C right )$ của hàm số.
b) Dựa vào đồ thị $left ( C right )$ hãy biện luận theo tham số $m$ số nghiệm của phương trình: $left |x^3+3x^2-4 right |=m (2.2)$.
Giải
a) Đồ thị:
Sự tương giao của đồ thị
b) Đặt $f(x)=x^3+3x^2-4$. Ta có:
$$g(x)=left |x^3+3x^2-4 right | = left | f(x) right | = left{begin{matrix} f(x)&textrm{khi } f(x) geq 0\ -f(x)&textrm{khi } f(x) < 0end{matrix}right.$$
Như vậy, muốn vẽ đồ thị hàm số $y=g(x)$, ta làm như sau:
– Giữ nguyên phần phía trên trục $Ox$ của đồ thị $left ( C right )$,
– Lấy đối xứng phần phía dưới $Ox$ của $left ( C right )$ qua $Ox$
– Xóa phần phần phía dưới $Ox$ của $left ( C right )$.
Ta có đồ thị hàm số $y=g(x)$ là đường màu xanh trong hình sau:
Sự tương giao của đồ thị
Số nghiệm của phương trình $(2.2)$ bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y=g(x)$ và đường thẳng $y=m$. Ta có các trường hợp sau:
* TH1:Nếu $m<0$ thì phương trình $(2.2)$ vô nghiệm
*TH2: Nếu $m=0$ hoặc $m>4$ thì phương trình $(2.2)$ có đúng 2 nghiệm phân biệt
*TH3: Nếu $0 *TH4: Nếu $m=4$ thì phương trình $(2.2)$ có đúng 3 nghiệm.
————-
Ví dụ 3. Cho hàm số $y=frac{x-2}{x+1}$
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $left ( C right )$ của hàm số.
b) Dựa vào đồ thị $left ( C right )$ hãy biện luận theo tham số $m$ số nghiệm của phương trình: $frac{|x-2|}{x+1} =m (2.5)$.
Giải
a) Đồ thị
Sự tương giao của đồ thị
b) Đặt $f(x)=frac{x-2}{x+1}$. Ta có:$$g(x)=frac{|x-2|}{x+1}=left{begin{matrix}f(x)& textrm{khi }x geq 2\- f(x)& textrm{khi }x < 2\ end{matrix}right.$$
Từ đó, để vẽ đồ thị $y=g(x)$, ta làm như sau:
– Giữ nguyên phần đồ thị $left ( C right )$ ở bên phải đường thẳng $x=2$
– Lấy đối xứng phần đồ thị $left ( C right )$ ở bên trái đường thẳng $x=2$ qua $Ox$
– Xóa bỏ phần đồ thị $left ( C right )$ ở bên trái đường thẳng $x=2$
Đồ thị hàm số $y=g(x)$ chính là đường cong màu xanh trong hình vẽ
Sự tương giao của đồ thị

Số nghiệm của phương trình $(2.5)$ bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y=g(x)$ và đường thẳng $y=m$. Ta có các trường hợp sau:
* TH1: Nếu $m < – 1$ hoặc $mgeq 1$ thì phương trình $(2.5)$ có 1 nghiệm.
* TH2: Nếu $-1 leq m <0$ thì phương trình vô nghiệm
* TH3: Nếu $2 leq m < 1$ thì phương trình có 2 nghiệm

———–

2. Tìm giao điểm 2 đường và có tham số m:

Ví dụ 1: Tìm giao điểm của đồ thị ((C):y = {x^3} – 3{x^2} + 2x + 1) và đường thẳng (y = 1).

giải​

Phương trình hoành độ giao điểm: ({x^3} – 3{x^2} + 2x + 1 = 1 Leftrightarrow {x^3} – 3{x^2} + 2x = 0)( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 0\x = 1\x = 2end{array} right.). Vậy có ba giao điểm (Aleft( {0;1} right),Bleft( {1;1} right),Cleft( {2;1} right).)

Ví dụ 2: Cho hàm số (y = m{x^3} – {x^2} – 2x + 8m) có đồ thị là (left( {{C_m}} right)). Tìm m đồ thị (left( {{C_m}} right))cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

giải​

Phương trình hoành độ giao điểm (m{x^3} – {x^2} – 2x + 8m = 0) (1)
( Leftrightarrow )(left( {x + 2} right)left[ {m{x^2} – (2m + 1)x + 4m} right] = 0)( Leftrightarrow )(left[ begin{array}{l}x = – 2\m{x^2} – (2m + 1)x + 4m = 0{rm{ (2)}}end{array} right.)
(left( {{C_m}} right)) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt ( Leftrightarrow )(left( 1 right))có ba nghiệm phân biệt.
( Leftrightarrow )(left( 2 right))có hai nghiệm phân biệt khác ( – 2)
( Leftrightarrow )(left{ begin{array}{l}m ne 0\Delta = – 12{m^2} + 4m + 1 > 0\12m + 2 ne 0end{array} right.)
( Leftrightarrow ) (left{ begin{array}{l}m ne 0\ – frac{1}{6} < m < frac{1}{2}\m ne – frac{1}{6}end{array} right.) ( Leftrightarrow )(left{ begin{array}{l}m ne 0\ – frac{1}{6} < m < frac{1}{2}end{array} right.).
Vậy (m in left( { – frac{1}{6};frac{1}{2}} right)backslash left{ 0 right}) thỏa yêu cầu bài toán.

Ví dụ 3: Cho hàm số (y = 2{x^3} – 3m{x^2} + left( {m – 1} right)x + 1) có đồ thị (left( C right)). Tìm m để đường thẳng (d:y = – x + 1) cắt đồ thị (left( C right)) tại ba điểm phân biệt.

giải​

Phương trình hoành độ giao điểm của (left( C right))và d:
(2{x^3} – 3m{x^2} + left( {m – 1} right)x + 1 = – x + 1 Leftrightarrow xleft( {2{x^2} – 3mx + m} right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 0\2{x^2} – 3mx + m = 0left( * right)end{array} right.)
Yêu cầu bài toán ( Leftrightarrow left( * right)) có hai nghiệm phân biệt khác 0
( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta = 9{m^2} – 8m > 0\m ne 0end{array} right.)
( Leftrightarrow m in left( { – infty ;0} right) cup left( {frac{8}{9}; + infty } right)).
Vậy (m in left( { – infty ;0} right) cup left( {frac{8}{9}; + infty } right)) thỏa yêu cầu bài toán.

Ví dụ 4. Cho hàm số (y = frac{{2x – 1}}{{x – 1}}) có đồ thị là (C). Tìm m để đường thẳng (d:y = – x + m) cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.

giải​

Phương trình hoành độ giao điểm: (frac{{2x – 1}}{{x – 1}} = – x + m) (left( 1 right))
Điều kiện: (x ne 1). Khi đó ((1)) ( Leftrightarrow ) (2x – 1 = left( { – x + m} right)left( {x – 1} right))
( Leftrightarrow ) ({x^2} – left( {m – 1} right)x + m – 1 = 0) (left( 2 right))
dcắt (C)tại hai điểm phân biệt ( Leftrightarrow )(left( 1 right))có hai nghiệm phân biệt
( Leftrightarrow )(2) có hai nghiệm phân biệt khác (1)( Leftrightarrow ) (left{ begin{array}{l}Delta = {left[ { – left( {m – 1} right)} right]^2} – 4left( {m – 1} right) > 0\1 – left( {m – 1} right).1 + m – 1 ne 0end{array} right.)
( Leftrightarrow )({m^2} – 6m + 5 > 0)( Leftrightarrow m in left( { – infty ;1} right) cup left( {5; + infty } right).)
Vậy giá trị m cần tìm là (m in left( { – infty ;1} right) cup left( {5; + infty } right).)

Ví dụ 5: Cho hàm số (y = frac{{mx – 1}}{{x + 2}}) có đồ thị là (left( {{C_m}} right)). Tìm m để đường thẳng (d:y = 2x – 1) cắt đồ thị (left( {{C_m}} right)) tại hai điểm phân biệt (A,{rm{ }}B) sao cho (AB = sqrt {10} ).

giải​

Phương trình hoành độ giao điểm: (frac{{mx – 1}}{{x + 2}} = 2x – 1) (left( 1 right))
Điều kiện: (x ne – 2). Khi đó
((1))( Leftrightarrow )(mx – 1 = left( {2x – 1} right)left( {x + 2} right))( Leftrightarrow )(2{x^2} – left( {m – 3} right)x – 1 = 0) (left( 2 right))
d cắt (left( {{C_m}} right))tại hai điểm phân biệt (A,{rm{ }}B) ( Leftrightarrow )(left( 1 right))có hai nghiệm phân biệt
( Leftrightarrow )(2) có hai nghiệm phân biệt khác ( – 2)
( Leftrightarrow )(left{ begin{array}{l}Delta = {left[ { – left( {m – 3} right)} right]^2} + 8 > 0\8 + 2m – 6 – 1 ne 0end{array} right.) ( Leftrightarrow )(m ne – frac{1}{2}) (*)
Đặt (Aleft( {{x_1};2{x_1} – 1} right);{rm{ }}Bleft( {{x_2};2{x_2} – 1} right))với ({x_1},{rm{ }}{x_2}) là hai nghiệm của phương trình (left( 2 right)).
Theo định lý Viet ta có (left{ begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = frac{{m – 3}}{2}\{x_1}{x_2} = – frac{1}{2}end{array} right.), khi đó
(AB = sqrt {{{left( {{x_1} – {x_2}} right)}^2} + 4{{left( {{x_1} – {x_2}} right)}^2}} = sqrt {10} )( Leftrightarrow )(5left[ {{{left( {{x_1} + {x_2}} right)}^2} – 4{x_1}{x_2}} right] = 10)
( Leftrightarrow )({left( {frac{{m – 3}}{2}} right)^2} + 2 = 2)( Leftrightarrow )(m = 3) (thỏa (*))
Vậy giá trị m cần tìm là (m = 3).

Ví dụ 6: Cho hàm số (y = frac{{2x + 1}}{{x + 1}}) (C). Tìm m để đường thẳng (d:y = – 2x + m) cắt (C) tại hai điểm phân biệt (A,{rm{ }}B) sao cho tam giác (OAB) có diện tích là (sqrt 3 ).

giải​

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d:
(frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = – 2x + m Leftrightarrow 2x + 1 = left( {x + 1} right)left( { – 2x + m} right)) ( điều kiện: (x ne – 1))
( Leftrightarrow 2{x^2} + left( {4 – m} right)x + 1 – m = 0{rm{ }}left( 1 right)) ( điều kiện: (x ne – 1)).
d cắt (C) tại hai điểm(A,{rm{ }}B) phân biệt ( Leftrightarrow )(1) có hai nghiệm phân biệt khác ( – 1).
( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta = {m^2} + 8 > 0{rm{ }}forall m\2.{left( { – 1} right)^2} + left( {4 – m} right)left( { – 1} right) + 1 – m ne 0end{array} right.).
Suy ra d luôn cắt (C) tại hai điểm (A,{rm{ }}B) phân biệt với mọi m.
Gọi (Aleft( {{x_1};{y_1}} right);{rm{ }}Bleft( {{x_2};{y_2}} right)), trong đó({y_1} = – 2x{}_1 + m;{rm{ }}{y_2} = – 2x{}_2 + m) và ({x_1},{rm{ }}{x_2}) là các nghiệm của (left( 1 right)). Theo định lý Viet ta có (left{ begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = frac{{m – 4}}{2}\{x_1}{x_2} = frac{{1 – m}}{2}end{array} right.). Tính được:
(dleft( {O;AB} right) = frac{{left| m right|}}{{sqrt 5 }};{rm{ }}AB = sqrt {{{left( {{x_1} – {x_2}} right)}^2} + {{left( {{y_1} – {y_2}} right)}^2}} = sqrt {5{{left( {{x_1} + {x_2}} right)}^2} – 20{x_1}{x_2}} = frac{{sqrt {5left( {{m^2} + 8} right)} }}{2})
({S_{OAB}} = frac{1}{2}AB.dleft( {O;AB} right) = frac{{left| m right|sqrt {{m^2} + 8} }}{4} = sqrt 3 Leftrightarrow m = 2 vee m = – 2.)
Vậy các giá trị m cần tìm là (m = 2;{rm{ }}m = – 2.)

The post Sự tương giao của đồ thị appeared first on Sách Toán – Học toán.

Goc hoc tap