Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên một miền

Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên một miền

Ta xét dạng toán tìm điều kiện của tham số $m$ để hàm số đơn điệu trên $R$ hoặc trên khoảng con của $R.$

Lý thuyết:
Cho hàm số $y = fleft( {x,m} right)$ với $m$ là tham số xác định trên một khoảng $I.$
a. Hàm số đồng biến trên $I$ $ Leftrightarrow y’ ge 0, forall x in I$ và $y’ = 0$ chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm.
b. Hàm số nghịch biến trên $I$ $ Leftrightarrow y’ le 0, forall x in I$ và $y’ = 0$ chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm.
Chú ý: Để xét dấu của $y’$ ta thường sử dụng phương pháp hàm số hay định lý về dấu của tam thức bậc hai như sau:
Cho tam thức bậc hai: $gleft( x right) = a{x^2} + bx + c, left( {a ne 0} right).$
a. Nếu $Delta < 0$ thì $g(x)$ luôn cùng dấu với $a.$
b. Nếu $Delta = 0$ thì $g(x)$ luôn cùng dấu với $a$ (trừ $x = – frac{b}{{2a}}$).
c. Nếu $Delta > 0$ thì phương trình $gleft( x right) = 0$ luôn có hai nghiệm phân biệt, khi đó dấu của $g(x)$ trong khoảng hai nghiệm thì khác dấu với hệ số $a$, ngoài khoảng hai nghiệm thì cùng dấu với hệ số $a.$
Các bước cơ bản để giải bài toán tìm giá trị của tham số để hàm số đơn điệu trên một khoảng xác định:
+ Bước 1: Tìm miền xác định.
+ Bước 2: Tìm đạo hàm.
+ Bước 3: Áp dụng lý thuyết vửa nhắc ở trên.

==============

Ví dụ 1:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số (y=x^3+3x^2+mx+m) đồng biến trên (mathbb{R}).

Lời giải:

  • Xét hàm số (y=x^3+3x^2+mx+m)
    • TXĐ: (D=mathbb{R})
    • (y’ = 3{x^2} + 6x + m)
  • Hàm số đồng biến trên (mathbb{R}) khi (y’ ge 0,forall x inmathbb{R} Leftrightarrow left{ begin{array}{l} Delta ‘ le 0\ a = 1 > 0 end{array} right. Leftrightarrow 9 – 3m < 0 Leftrightarrow m ge 3).
  • Kết luận: với (mgeq 3) thì hàm số đồng biến trên (mathbb{R}).

Ví dụ 2:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số (y = 2x^3 – 3(2m + 1){x^2} + 6m(m + 1)x + 1) đồng biến trong khoảng ((2; + infty )).

Lời giải:

  • Xét hàm số (y = 2x^3 – 3(2m + 1){x^2} + 6m(m + 1)x + 1).
    • TXĐ: (D=mathbb{R})
    • (y’ = 6{x^2} – 6(2m + 1)x + 6m(m + 1))
    • (Delta = {(2m + 1)^2} – 4({m^2} + m) = 1 > 0)
    • (y’ = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = m\ x = m + 1 end{array} right.)
  • Do (m

Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên một miền

  • Hàm số đồng biến trong các khoảng (( – infty ;m),,,(m + 1; + infty )).
  • Kết luận: Do đó hàm số đồng biến trong khoảng ((2; + infty )) khi (m + 1 le 2 Leftrightarrow m le 1.)

Ví dụ 3: Trong tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} – mx – m$ đồng biến trên $R$, giá trị nhỏ nhất của $m$ là?
Phân tích: Đây là hàm bậc ba, ta xét $y’ ge 0, forall x in R$, dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm để tìm giá trị nhỏ nhất của $m.$
Lời giải: Ta có $y’ = {x^2} + 2mx – m$. Để hàm số đã cho luôn đồng biến trên $R$ thì $Delta’ le 0$ với mọi $m$ $ Leftrightarrow {m^2} + m le 0$ $ Leftrightarrow – 1 le m le 0$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $m$ thỏa mãn là $m = -1$.

Ví dụ 4: Điều kiện cần và đủ để hàm số $y = frac{{mx + 5}}{{x + 1}}$ đồng biến trên từng khoảng xác định là?
Phân tích: Hàm số bậc nhất trên bậc nhất có dạng $y = frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ có đạo hàm $y’ = frac{{ad – bc}}{{{{left( {cx + d} right)}^2}}}$ luôn đơn điệu trên từng khoảng xác định (chứ không phải trên tập xác định).
Đồng biến trên từng khoảng xác định khi $ad – bc > 0$, nghịch biến trên từng khoảng xác định khi $ad – bc < 0.$
Lời giải: Ta có $y’ = frac{{m – 5}}{{{{left( {x + 1} right)}^2}}}$. Để hàm số đã cho luôn đồng biến trên từng khoảng xác định thì $m – 5 > 0 Leftrightarrow m > 5.$

Ví dụ 5: Cho hàm số $y = frac{{mx + 2 – 2m}}{{x + m}} (1)$ ($m$ là tham số). Tìm $m$ để hàm số $(1)$ đồng biến trên từng khoảng xác định.
Phân tích: Một bài toán về hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất nhưng có tham số ở mẫu. Nếu bài toán hỏi “Tìm $m$ để hàm số $(1)$ nghịch biến (hoặc đồng biến) trên một khoảng $left( {a;b} right)$ nhất định thì bài toán phải thêm điều kiện, tuy nhiên ở đây ta có thể giải đơn giản như sau:
Lời giải: Điều kiện $x ne – m.$
Ta có $y’ = frac{{{m^2} + 2m – 2}}{{{{left( {x + m} right)}^2}}}$. Để hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định thì:
${m^2} + 2m – 2 > 0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
m > – 1 + sqrt 3 \
m < – 1 – sqrt 3
end{array} right.$
Ví dụ 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = frac{{x + 2 – 2m}}{{x + m}}$ đồng biến trên $left( { – 1;2} right)$.
Phân tích: Hàm số đơn điệu trên khoảng nào thì phải xác định trên khoảng đó. Do vậy ở đây cần có điều kiện cho $ – m notin left( { – 1;2} right)$.
Lời giải: Để hàm số đã cho đồng biến trên $left( { – 1;2} right)$ thì $y’ > 0$ với mọi $x in left( { – 1;2} right).$
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
m – left( {2 – 2m} right) > 0\
– m notin left( { – 1;2} right)
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
3m – 2 > 0\
left[ begin{array}{l}
m ge 1\
m le – 2
end{array} right.
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
m > frac{2}{3}\
left[ begin{array}{l}
m ge 1\
m le – 2
end{array} right.
end{array} right. Leftrightarrow m ge 1.$
Chú ý: Phải có điều kiện $-m$ nằm ngoài khoảng $left( { – 1;2} right)$ bởi nếu $-m$ nằm trong khoảng $left( { – 1;2} right)$ thì hàm số bị gián đoạn trên $left( { – 1;2} right)$. Tức là không thể đồng biến trên $left( { – 1;2} right)$ được.

Ví dụ 7: Cho hàm số $y = frac{{mx + 2m – 3}}{{x – m}}$ ($m$ là tham số). Tìm tất cả các giá trị của $m$ sao cho hàm số nghịch biến trên khoảng $(2; + infty )$.
Lời giải:
Tập xác định $D = Rbackslash left{ m right}.$
Ta có: $y’ = frac{{ – {m^2} – 2m + 3}}{{{{left( {x – m} right)}^2}}}.$
Hàm số $y = frac{{mx + 2m – 3}}{{x – m}}$ nghịch biến trên khoảng $(2; + infty )$ khi và chỉ khi:
$left{ begin{array}{l}
y’ < 0\
m notin left( {2; + infty } right)
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
– {m^2} – 2m + 3 < 0\
m le 2
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
left[ begin{array}{l}
m > 1\
m < – 3
end{array} right.\
m le 2
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
1 < m le 2\
m < – 3
end{array} right.$
Phân tích: Ở đây nhiều đọc giả không xét điều kiện để hàm số luôn xác định trên $(2; + infty )$ là sai.

The post Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên một miền appeared first on Sách Toán – Học toán.

Goc hoc tap