Ví dụ Đường tiệm cận

Phương pháp Tìm tiệm cận ngang, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$
Thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số $f(x).$
+ Bước 2. Tìm các giới hạn của $f(x)$ khi $x$ dần tới các biên của miền xác định và dựa vào định nghĩa của các đường tiệm cận để kết luận.
Chú ý:
+ Đồ thị hàm số $f$ chỉ có thể có tiệm cận ngang khi tập xác định của nó là một khoảng vô hạn hay một nửa khoảng vô hạn (nghĩa là biến $x$ có thể tiến đến $ + infty $ hoặc  $ – infty $).
+ Đồ thị hàm số $f$ chỉ có thể có tiệm cận đứng khi tập xác định của nó có một trong các dạng sau: $(a;b)$, $[a;b)$, $(a;b]$, $(a;+∞)$, $(-∞;b)$ hoặc là hợp của các tập hợp này và tập xác định không có một trong các dạng sau: $R$, $(c;+∞)$, $(-∞;d)$, $[c;d]$.


Ví dụ 1

Tìm tiệm cận của hàm số:
a. $y = frac{{2x + 1}}{{x + 1}}.$
b. $y = frac{{2 – 4x}}{{1 – x}}.$
c. $y = 2x + 1 – frac{1}{{x + 2}}.$
d. $y = frac{{{x^2}}}{{1 – x}}.$

a. $y = frac{{2x + 1}}{{x + 1}}.$
$mathop {lim }limits_{x to + infty } y = 2$, $mathop {lim }limits_{x to – infty } y = 2$, suy ra đường thẳng $y = 2$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị $(C).$
$mathop {lim }limits_{x to – {1^ + }} y = – infty $, $mathop {lim }limits_{x to – {1^ – }} y = + infty $, suy ra đường thẳng $x = -1$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị $(C).$
b. $y = frac{{2 – 4x}}{{1 – x}}.$
$mathop {lim }limits_{x to + infty } y = 4$, $mathop {lim }limits_{x to – infty } y = 4$, suy ra đường thẳng $y = 4$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị $(C).$
$mathop {lim }limits_{x to – {1^ + }} y = – infty $, $mathop {lim }limits_{x to – {1^ – }} y = + infty $, suy ra đường thẳng $x = 1$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị $(C).$
c. $y = 2x + 1 – frac{1}{{x + 2}}.$
$mathop {lim }limits_{x to – {2^ – }} y = + infty $, $mathop {lim }limits_{x to – {2^ + }} y = – infty $, suy ra đường thẳng $x = -2$ là tiệm cận đứng của $(C).$
$mathop {lim }limits_{x to – infty } y = – infty $, $mathop {lim }limits_{x to + infty } y = + infty $.
$mathop {lim }limits_{x to – infty } [y – (2x + 1)] = 0$, $mathop {lim }limits_{x to + infty } [y – (2x + 1)] = 0$, suy ra đường thẳng $y = 2x + 1$ là tiệm cận xiên của $(C).$
d. $y = – x – 1 + frac{1}{{1 – x}}.$
$mathop {lim }limits_{x to {1^ – }} y = + infty $, $mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} y = – infty $, suy ra đường thẳng $x = 1$ là tiệm cận đứng của $(C).$
$mathop {lim }limits_{x to – infty } y = + infty $, $mathop {lim }limits_{x to + infty } y = – infty $.
$mathop {lim }limits_{x to – infty } [y – ( – x – 1)] = 0$, $mathop {lim }limits_{x to + infty } [y – ( – x – 1)] = 0$, suy ra đường thẳng $y = – x – 1$ là tiệm cận xiên của $(C).$


Ví dụ 2:

Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (y=frac{2x-1}{x+2}).

Lời giải:

  • TXĐ: (D = mathbb{R}backslash left{ -2 right})
  • Ta có:

​(begin{array}{l} mathop {lim }limits_{x to – infty } y = mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{2x – 1}}{{x + 2}} = 2\ mathop {lim }limits_{x to + infty } y = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{2x – 1}}{{x + 2}} = 2 end{array})

  • Vậy đường thẳng y=2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (y=frac{2x-1}{x+2}).
  • Ta có:

(begin{array}{l} mathop {lim }limits_{x to {{left( { – 2} right)}^ – }} y = mathop {lim }limits_{x to {{left( { – 2} right)}^ – }} frac{{2x – 1}}{{x + 2}} = – infty \ mathop {lim }limits_{x to {{left( { – 2} right)}^ + }} y = mathop {lim }limits_{x to {{left( { – 2} right)}^ + }} frac{{2x – 1}}{{x + 2}} = + infty end{array})

  • Vậy đường thẳng x=-2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (y=frac{2x-1}{x+2}).

Ví dụ 3:

Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (y = frac{{{x^2} – x + 1}}{{x – 1}}.)

Lời giải: 

  • TXĐ: (D = mathbb{R}backslash left{1 right})​
  • Ta có:

(begin{array}{l} mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} y = mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} frac{{{x^2} – x + 1}}{{x – 1}} = + infty \ mathop {lim }limits_{x to {1^ – }} y = mathop {lim }limits_{x to {1^ – }} frac{{{x^2} – x + 1}}{{x – 1}} = – infty end{array})

  • Vậy đường thẳng x=1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (y = frac{{{x^2} – x + 1}}{{x – 1}}.)
  • Ta có:

(begin{array}{l} mathop {lim }limits_{x to + infty } y = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{{x^2} – x + 1}}{{x – 1}} = + infty \ mathop {lim }limits_{x to – infty } y = mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{{x^2} – x + 1}}{{x – 1}} = – infty end{array})

  • Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Ví dụ 4:

Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (y = frac{{sqrt {{x^2} + 1} }}{x}.)

Lời giải:

  • TXĐ: (D = mathbb{R}backslash left{0right})​
  • Ta có:

(mathop {lim }limits_{x to – infty } y = mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{ – xsqrt {1 + frac{1}{{{x^2}}}} }}{x} = – 1)

  • Suy ra đường thẳng y=-1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (y = frac{{sqrt {{x^2} + 1} }}{x}.)
  • Ta có:

(mathop {lim }limits_{x to + infty } y = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{xsqrt {1 + frac{1}{{{x^2}}}} }}{x} = 1)

  • Suy ra đường thẳng y=1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (y = frac{{sqrt {{x^2} + 1} }}{x}.)
  • Ta có:

(mathop {lim }limits_{x to {0^ – }} y = mathop {lim }limits_{x to {0^ – }} frac{{sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = – infty)

(mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} y = mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} frac{{sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = + infty)

  • Suy ra đường thẳng x=0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (y = frac{{sqrt {{x^2} + 1} }}{x}.)

Ví dụ 5:

Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (y = 1 + sqrt {1 – {x^2}}).

Lời giải: 

  • Ta có: (y = 1 + sqrt {1 – {x^2}} Leftrightarrow left{ begin{array}{l} – 1 le x le 1\ y ge 1\ {x^2} + {(y – 1)^2} = 1 end{array} right.)
  • Do đó đồ thị hàm số là nửa đường tròn tâm I(0;1) bán kính R=1.
  • Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận.

The post Ví dụ Đường tiệm cận appeared first on Sách Toán – Học toán.

Goc hoc tap