Ví dụ Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Dạng 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên miền D

Ví dụ : 

Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:

a) Hàm số (y=x^3-3x^2-9x+5).

b) Hàm số (y=frac{x^2+2x+3}{x-1},xin(1;3].)

c. $y = frac{{x + sqrt {1 + 9{x^2}} }}{{8{x^2} + 1}}$ trên khoảng $left( {0; + infty } right).$

Lời giải:

a) Hàm số (y=x^3-3x^2-9x+5).

  • TXĐ: (D=mathbb{R}.)
  • (y’=3x^2-6x-9.)
  • (y’ = 0 Leftrightarrow 3{x^2} – 6x – 9 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = – 1\ x = 3 end{array} right.)
  • Bảng biến thiên:

Ví dụ Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Vậy hàm số Maxy=10 ; Miny = -22

b)  Xét hàm số (y=frac{x^2+2x+3}{x-1}) xác định trên ((1;3].)

  • ​(y’=frac{x^2-2x-5}{(x+1)^2})
  • (y’ = 0 Rightarrow {x^2} – 2x – 5 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = 1 + sqrt 6 notin left( {1;3} right]\ x = 1 – sqrt 6 notin left( {1;3} right] end{array} right.)
  • Bảng biến thiên:

Ví dụ Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

  • Vậy hàm số có giá trị nhỏ nhất (mathop {Min}limits_{x in (1;3]} y = 9), Hàm số không có giá trị lớn nhất.

c. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên khoảng $left( {0; + infty } right).$
$y = frac{{x + sqrt {9{x^2} + 1} }}{{8{x^2} + 1}}$ $ = frac{{9{x^2} + 1 – {x^2}}}{{left( {8{x^2} + 1} right)left( {sqrt {9{x^2} + 1} – x} right)}}$ $ = frac{1}{{sqrt {9{x^2} + 1} – x}}.$
Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên khoảng $left( {0; + infty } right)$ khi hàm số $fleft( x right) = sqrt {9{x^2} + 1} – x{rm{ }}$ đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng $left( {0; + infty } right).$
Ta có: $f’left( x right) = frac{{9x}}{{sqrt {9{x^2} + 1} }} – 1$ với mọi $x in left( {0; + infty } right).$
Ta tìm nghiệm của phương trình $f’left( x right)$ trên khoảng $left( {0; + infty } right).$
$f’left( x right) = 0,x in left( {0; + infty } right)$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x > 0\
sqrt {9{x^2} + 1} = 9x
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x > 0\
72{x^2} = 1
end{array} right. Leftrightarrow x = frac{1}{{6sqrt 2 }}.$
$mathop {min }limits_{x > 0} fleft( x right) = frac{{{rm{2}}sqrt {rm{2}} }}{{rm{3}}}$ khi $x = frac{{rm{1}}}{{{rm{6}}sqrt {rm{2}} }}$ $ Rightarrow mathop {{rm{max}}y}limits_{x > {rm{0}}} = frac{1}{{frac{{{rm{2}}sqrt {rm{2}} }}{{rm{3}}}}} = frac{{3sqrt 2 }}{4}$ khi $x = frac{{rm{1}}}{{{rm{6}}sqrt {rm{2}} }}.$
Hàm số không có giá trị nhỏ nhất khi $x > 0.$

Dạng 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn

Ví dụ:

Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:

a) Hàm số (y = fleft( x right) = – frac{1}{3}{x^3} + {x^2} – 2x + 1) trên đoạn (left[ { – 1;0} right]).

b) Hàm số (y = fleft( x right) = frac{{2x + 1}}{{x – 2}}) trên đoạn (left[ { – frac{1}{2};1} right]).

c) Hàm số (y = fleft( x right) = {sin ^2}x – 2cos x + 2).

Lời giải:

a) Hàm số (y = fleft( x right) = – frac{1}{3}{x^3} + {x^2} – 2x + 1) xác định trên đoạn (left[ { – 1;0} right]).

  • ({f^/}left( x right) = – {x^2} + 2x – 2)
  • ({f^/}left( x right) = 0 Leftrightarrow – {x^2} + 2x – 2 = 0)
  • Ta có: (fleft( { – 1} right) = frac{{11}}{3};fleft( 0 right) = 1).
  • Vậy: (mathop {max fleft( x right)}limits_{left[ { – 1;0} right]} = frac{{11}}{3}); (mathop {min fleft( x right)}limits_{left[ { – 1;0} right]} = 1)

b) Hàm số (y = fleft( x right) = frac{{2x + 1}}{{x – 2}}) xác định trên đoạn (left[ { – frac{1}{2};1} right])

  • ({f^/}left( x right) = – frac{5}{{{{left( {x – 2} right)}^2}}} < 0,forall x inleft [ -frac{1}{2};1 right ])
  • Ta có: (fleft( { – frac{1}{2}} right) = 0;fleft( 1 right) = – 3)
  • Vậy: (mathop {max fleft( x right)}limits_{left[ { – frac{1}{2};1} right]} = 0); (mathop {min fleft( x right)}limits_{left[ { – frac{1}{2};1} right]} = – 3)

c)  Hàm số (y = fleft( x right) = {sin ^2}x – 2cos x + 2).

  • TXĐ: (D=mathbb{R})
  • Ta có: (fleft( x right) = {sin ^2}x – 2cos x + 2 = – c{rm{o}}{{rm{s}}^2}x – 2co{mathop{rm s}nolimits} x + 3)
  • Đặt: (t = {cos ^2}x) suy ra (t in left[ { – 1;1} right];forall x in mathbb{R}).
  • Xét hàm số: (gleft( t right) = – {t^2} – 2t + 3) trên đoạn ([-1;1]).
    • Ta có: ({g^/}left( t right) = – 2t – 2)
    •   ({g^/}left( t right) = 0 Leftrightarrow t = – 1)
    • Tính: (gleft( { – 1} right) = 4;gleft( 1 right) = 0).
  • Vậy: (max f(x) = mathop {max }limits_{{rm{[}} – 1;1]} g(t) = 4); (min f(x) = mathop {min }limits_{{rm{[}} – 1;1]} g(t) = 0).

Dạng khác – Thực tế

Ví dụ 1. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:
a. $y = (x + 3)sqrt { – {x^2} – 2x + 3} .$
b. $y = sqrt {45 + 20{x^2}} + left| {2x – 3} right|.$

a. Hàm số xác định $ Leftrightarrow – {x^2} – 2x + 3 ge 0$ $ Leftrightarrow – 3 le x le 1.$
Vậy hàm số xác định trên $D = [ – 3;1].$
$y’ = frac{{ – 2{x^2} – 6x}}{{sqrt { – {x^2} – 2x + 3} }}$ $ Rightarrow y’ = 0$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x in ( – 3;1)\
– 2{x^2} – 6x = 0
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x in ( – 3;1)\
x = 0,x = – 3
end{array} right.$ $ Leftrightarrow x = 0.$
${rm{y}}left( { – {rm{ 3}}} right) = 0$, ${rm{y}}left( {rm{1}} right) = 0$, ${rm{y}}left( 0 right) = 3sqrt 3 .$
$f$ liên tục trên $[ – 3;1]$ và có đạo hàm trên $( – 3;1).$
Suy ra $mathop {max }limits_{x in D} y = 3sqrt 3 $ khi $x = 0$, $mathop {min }limits_{x in D} y = 0$ khi $x = – 3$ hoặc $x = 1.$
b. Áp dụng bất đẳng thức B.C.S (Bunyakovsky), ta có:
$sqrt {45 + 20{x^2}} = sqrt {5(9 + 4{x^2})} $ $ = sqrt {({2^2} + {1^2})[{3^2} + {{(2x)}^2}]}$ $mathop ge limits^{BCS} $ $left| {2.3 + 1.2x} right| = left| {6 + 2x} right|.$
Suy ra $y ge left| {6 + 2x} right| + left| {2x – 3} right|.$
Áp dụng bất đẳng thức $left| a right| + left| b right| ge left| {a + b} right|$, ta có:
$left| {6 + 2x} right| + left| {2x – 3} right|$ $ = left| {6 + 2x} right| + left| {3 – 2x} right|$ $ ge left| {6 + 2x + 3 – 2x} right| = 9.$
Suy ra $y ge 9.$
$y = 9$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
(6 + 2x)(3 – 2x) ge 0\
frac{{2x}}{1} = frac{3}{2}
end{array} right.$ $ Leftrightarrow x = frac{3}{4}.$
Vậy ${rm{miny}} = {rm{9}}$ khi $x = frac{3}{4}.$

Ví dụ 2Cho hai số thực $x, y$ thoả mãn: $left{ begin{array}{l}
x ge 0,{rm{ }}y ge 1\
x + y = 3
end{array} right.$. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức: $P = {x^3} + 2{y^2} + 3{x^2} + 4xy – 5x.$

Ta có $y = 3 – x ge 1$ $ Rightarrow x le 2 Rightarrow x in left[ {0;2} right].$
Khi đó: $P = {x^3} + 2{(3 – x)^2} + 3{x^2} + 4x(3 – x) – 5x$ $ = {x^3} + {x^2} – 5x + 18.$
Xét hàm số $f(x) = {x^3} + {x^2} – 5x + 18$ trên $left[ {0;2} right]$, ta có:
$f'(x) = 3{x^2} + 2x – 5$ $ Rightarrow f'(x) = 0 Leftrightarrow x = 1.$
Hơn nữa: $fleft( 0 right) = 18,$, $fleft( 1 right) = 15$, $fleft( 2 right) = 20.$
Vậy: $max P = mathop {max }limits_{{rm{x}} in {rm{[}}0;2]} f(x) = f(2) = 20$ khi $x = 2$, $min P = mathop {min }limits_{{rm{x}} in {rm{[}}0;2]} f(x) = f(1) = 15$ khi $x = 1.$

Ví dụ 3. Cho hai số thực $a,b ge 0$. Chứng minh: ${a^4} + {b^4} ge {a^3}b + {b^3}a$ $(1).$

+ Nếu một trong hai số $a, b$ bằng $0$ thì $(1)$ luôn đúng.
+ Với $a ne 0$, đặt $b = ta$. Khi đó $(1)$ trở thành:
${a^4}(1 + {t^4}) ge {a^4}(t + {t^3})$ $ Leftrightarrow {t^4} – {t^3} – t + 1 ge 0.$
Xét hàm số $f(t) = {t^4} – {t^3} – t + 1$, ta có: $f'(t) = 4{t^3} – 3{t^2} – 1$ $ = (t – 1)(4{t^2} + t + 1).$
$ Rightarrow f'(t) = 0 Leftrightarrow t = 1.$
Lập bảng biến thiên, từ đó suy ra $f(t) ge f(0) = 0$. Từ đó suy ra ${a^4} + {b^4} ge {a^3}b + {b^3}a$ với $a,b ge 0$.

Ví dụ 4. Cho các số thực dương $x, y$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P = frac{{4x{y^2}}}{{{{left( {x + sqrt {{x^2} + 4{y^2}} } right)}^3}}}.$

Đặt $x = ty$ ta có $P = frac{{4t}}{{{{left( {t + sqrt {{t^2} + 4} } right)}^3}}}.$
Xét $fleft( t right) = frac{{4t}}{{{{left( {t + sqrt {{t^2} + 4} } right)}^3}}}$, $t > 0.$
Ta có: $f’left( t right) = frac{{4left( {sqrt {{t^2} + 4} – 3t} right)}}{{sqrt {{t^2} + 4} {{left( {t + sqrt {{t^2} + 4} } right)}^3}}}$ và $f’left( t right) = 0 Leftrightarrow sqrt {{t^2} + 4} = 3t$ $ Leftrightarrow t = frac{1}{{sqrt 2 }}.$
Lập bảng biến thiên ta được $mathop {max }limits_{(0; + infty )} fleft( t right) = fleft( {frac{1}{{sqrt 2 }}} right) = frac{1}{8}.$
Vậy $max P = frac{1}{8}$ khi $x = frac{1}{{sqrt 2 }}y.$

Ví dụ 5. Tìm tất cả các giá trị của $a$ và $b$ thoả mãn điều kiện: $a ge – frac{1}{2}$ và $frac{a}{b} > 1$ sao cho biểu thức $P = frac{{2{a^3} + 1}}{{bleft( {a – b} right)}}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Từ giả thiết, ta suy ra $a ne 0$ và $b(a – b) > 0.$
Ta có: $0 < b(a – b) le frac{{{a^2}}}{4}$ và $2{a^3} + 1 > 0$ nên $P ge frac{{2{a^3} + 1}}{{{a^2}}} = f(a).$
Xét hàm số $f(a),{rm{ }}a ge – frac{1}{2}$ có $f'(a) = frac{{2{a^3} – 2}}{{{a^3}}}$ $ Rightarrow f(a) = 0 Leftrightarrow a = 1.$
Bảng biến thiên:

Ví dụ Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Từ bảng biến thiên $ Rightarrow f(a) ge 3{rm{ }}, forall a ge – frac{1}{2}$ $ Rightarrow P ge – frac{1}{2}.$
Đẳng thức xảy ra $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a = – frac{1}{2}\
b = – frac{1}{4}
end{array} right.$ hoặc $left{ begin{array}{l}
a = 1\
b = frac{1}{2}
end{array} right.$
Vậy $min P = 3$ khi $left( {a;b} right) = left( { – frac{1}{2}; – frac{1}{4}} right),left( {1;frac{1}{2}} right)$.

Ví dụ 6. Tìm GTLN và GTNN của hàm số sau: $y = frac{{sqrt {x + 1} + 2sqrt {3 – x} + 2}}{{2sqrt {x + 1} + sqrt {3 – x} + 1}}$ trên $left[ { – 1;3} right].$

Vì ${left( {sqrt {x + 1} } right)^2} + {left( {sqrt {3 – x} } right)^2} = 4$, suy ra tồn tại số thực $t in left[ {0;1} right]$ sao cho $sqrt {x + 1} = frac{{4t}}{{1 + {t^2}}}$, $sqrt {3 – x} = frac{{2(1 – {t^2})}}{{1 + {t^2}}}.$
Khi đó: $y = frac{{2{t^2} – 4t – 6}}{{{t^2} – 8t – 3}} = f(t)$, xét $f(t) = frac{{2{t^2} – 4t – 6}}{{{t^2} – 8t – 3}}$ với $t in left[ {0;1} right].$
Ta có: $f'(t) = frac{{ – 12{t^2} – 36}}{{{{({t^2} – 8t – 3)}^2}}} < 0$ $forall t in left[ {0;1} right]$ nên $f(t)$ nghịch biến trên đoạn $left[ {0;1} right].$
Hơn nữa: $f(0) = 2$, $f(1) = frac{4}{5}.$
Vậy $min y = mathop {min }limits_{t in left[ {0;1} right]} f(t) = f(0) = 2$ khi $x = 0$, $max y = mathop {max }limits_{t in left[ {0;1} right]} f(t) = f(1) = frac{4}{5}$ khi $x = 1.$

The post Ví dụ Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số appeared first on Sách Toán – Học toán.

Goc hoc tap