Ví dụ minh họa Cực trị của hàm số

Tìm cực trị của hàm số không có tham số

Ví dụ 1:

Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a) (y = frac{1}{3}{x^3} – {x^2} – 3x + frac{4}{3})

b) (y = left| x right|left( {x + 2} right))

Lời giải:

a) (y = frac{1}{3}{x^3} – {x^2} – 3x + frac{4}{3})

Cách 1:

  • Hàm số có TXĐ: (D=mathbb{R})
  • (y’ = {x^2} – 2x – 3)
  • (y’ = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = – 1\ x = 3 end{array} right.)
  • Bảng biến thiên:

Ví dụ minh họa Cực trị của hàm số

  • Kết luận:
    • Hàm số đạt cực đại tại (x=-1), giá trị cực đại tương ứng là (y(-1)=3);
    • Hàm số đạt cực tiểu tại (x=3), giá trị cực tiểu tương ứng là (y_{CD}=-frac{23}{3}).

Cách 2: 

  • Hàm số có TXĐ: (D=mathbb{R})
  • (y’ = {x^2} – 2x – 3)
  • (y’ = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = – 1\ x = 3 end{array} right.)
  • (y ”= 2x – 2)
    •  (y”left( { – 1} right) = – 4 < 0) suy ra hàm số đạt cực đại tại (x=-1), giá trị cực đại tương ứng là (y(-1)=3).
    • ​(y”left( 3 right) = 4 > 0) suy ra hàm số đạt cực tiểu tại (x=3), giá trị cực tiểu tương ứng là (y_{CD}=-frac{23}{3}).

b) (y = left| x right|left( {x + 2} right))

  • Hàm số có TXĐ: (D=mathbb{R})
  • (y’ = frac{x}{{left| x right|}}left( {x + 2} right) + left| x right| = frac{{2left( {{x^2} + x} right)}}{{left| x right|}} (xne0))
  • Bảng biến thiên:

Ví dụ minh họa Cực trị của hàm số

  • Kết luận:
    • Hàm số đạt cực đại tại (x=-1,) giá trị cực đại tương ứng là (y(-1)=1;)
    • Hàm số đạt cực tiểu tại (x=0,) giá trị cực tiểu (y(0)=0.)

Ví dụ 2:

Tìm cực trị của hàm số (y=x-sin2x+2.)

Lời giải: 

  • Hàm số có TXĐ: (D=mathbb{R})
  • (y’ = 1 – 2cos 2x)
  • (y’=0 Leftrightarrow cos2xLeftrightarrow x = pm frac{pi }{6} + kpi (kinmathbb{Z}))
  • ​(y” = 4sin 2x)
    • (y”left( {frac{pi }{6} + kpi } right) = 4sin left( {frac{pi }{3} + 2kpi } right) = 2sqrt 3 > 0) suy ra hàm số đạt cực tiểu tại (x = frac{pi }{6} + kpi), giá trị cực tiểu tương ứng là (yleft( {frac{pi }{6} + kpi } right) = {textstyle{pi over 6}} + kpi – frac{{sqrt 3 }}{2} + 2).
    • ​(y”left( { – frac{pi }{6} + kpi } right) = 4sin left( { – frac{pi }{3} + 2kpi } right) = – 2sqrt 3 < 0) suy ra hàm số đạt cực đại tại (x = -frac{pi }{6} + kpi), giá trị cực đại tương ứng là (yleft( { – frac{pi }{6} + kpi } right) = – frac{pi }{6} + kpi – frac{{sqrt 3 }}{2} + 2).

The post Ví dụ minh họa Cực trị của hàm số appeared first on Sách Toán – Học toán.

Goc hoc tap

Bài viết liên quan:

  1. Chuyển động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có các phương trình là x1 = 4cos(10t + π/4) cm; x2 = 3cos(10t + 3π/4) cm. Gia tốc cực đại của vật trong quá trình dao động là
  2. Dao động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, ngược pha, có biên độ lần lượt là ({A_1}) và ({A_2}) . Biên độ dao động của vật bằng
  3. Chỉ ra câu sai . Khi tổng hợp hai dao động cùng phương, cùng tần số nhưng ngược pha nhau thì:
  4. Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, nhưng vuông pha nhau, có biên độ tương ứng là  A1 và  A2. Biết dao động tổng hợp có phương trình  (x = 16cos omega t) (cm) và lệch pha so với dao động thứ nhất một góc ({alpha _1}) . Thay đổi biên độ của hai dao động, trong đó biên độ của dao động thứ hai tăng lên  (sqrt {15} )  lần (nhưng vẫn giữ nguyên pha của hai dao động thành phần) khi đó dao động tổng hợp có biên độ không đổi nhưng lệch pha so với dao động thứ nhất một góc  ({alpha _2}) , với  ({alpha _1} + {alpha _2} = frac{pi }{2}) . Giá trị ban đầu của biên độ A2 là 
  5. Hai chất điểm M, N dao động điều hòa cùng tần số dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song với trục Ox. Vị trí cân bằng của M và N đều nằm trên một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với trục Ox. Trong quá trình dao động, hình chiếu của M và N trên Ox cách xa nhau nhất là  (sqrt 2 )cm. Biên độ dao động tổng hợp của M và N là 2 cm. Gọi AM, AN lần lượt là biên độ của M và N. Giá trị lớn nhất của (AM + AN) gần với giá trị nào nhất sau đây?